中考复习专题中考数学 等腰三角形与直角三角形Word文档格式.docx
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,BD、CE是角平分线,则图中的等腰三角形共有( )
A.8个B.7个C.6个D.5个
6.(2017大连)如图,在△ABC中,∠ACB=90°
,CD⊥AB,垂足为D,点E是AB的中点,CD=DE=a,则AB的长为( )
A.2aB.2aC.3aD.a
第6题图第7题图
7.如图,在△ABC中,D是BC上一点,AB=AD,E、F分别是AC、BD的中点,EF=2,则AC的长是( )
A.3B.4C.5D.6
第8题图
8.(2017滨州)如图,在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC=30°
,点D是CB延长线上的一点,且BD=BA,则tan∠DAC的值为( )
A.2+B.2C.3+D.3
9.(2017荆州)《九章算术》中的“折竹抵地”问题:
今有竹高一丈,来折抵地,去根六尺,问折高者几何?
意思是:
一根竹子,原高一丈(一丈=10尺),一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部6尺远,问折断处离地面的高度是多少?
设折断处离地面的高度为x尺,则可列方程为( )
A.x2-6=(10-x)2B.x2-62=(10-x)2
C.x2+6=(10-x)2D.x2+62=(10-x)2
10.(2017丽水)等腰三角形的一个内角为100°
,则顶角的度数是________.
11.(2017淮安)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,点D,E分别是AB,AC的中点,点F是AD的中点,若AB=8,则EF=________.
第11题图第12题图
12.(2017益阳)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°
,DE是线段AC的垂直平分线,若BE=a,AE=b,则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为________.
13.(2017绥化)在等腰△ABC中,AD⊥BC交直线BC于点D,若AD=BC,则△ABC的顶角的度数为________.
14.(2017淄博)在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF=________.
15.在△ABC中,BC=2,AB=2,AC=b,且关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根,则AC边上的中线长为________.
16.(2017常德)如图,已知Rt△ABE中,∠A=90°
,∠B=60°
,BE=10,D是线段AE上的一动点,过D作CD交BE于C,并使得∠CDE=30°
,则CD长度的取值范围是________.
第16题图 第17题图
17.如图,在等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°
,AB=CB=2,点D为AC的中点,点E,F分别是线段AB,CB上的动点,且∠EDF=90°
,若ED的长为m,则△BEF的周长是________(用含m的代数式表示).
18.(6分)(2017北京)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°
,BD平分∠ABC交AC于点D.
求证:
AD=BC.
第18题图
19.(8分)在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.
某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.
第19题图
能力提升训练
1.(2017海南)已知△ABC的三边长分别为4、4、6,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可能( )条.
第2题图
2.(2017台州)如图,已知等腰三角形ABC,AB=AC.若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是( )
A.AE=ECB.AE=BE
C.∠EBC=∠BACD.∠EBC=∠ABE
3.如图,△ABC是等边三角形,BD平分∠ABC,点E在BC的延长线上,且CE=1,∠E=30°
,则BC=________.
第3题图第4题图
4.(2017杭州)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°
,AB=15,AC=20,点D在边AC上,AD=5,DE⊥BC于点E,连接AE,则△ABE的面积等于________.
5.若点P是△ABC内一点,且它到三角形三个顶点的距离之和最小,则P点叫△ABC的费马点(Fermatpoint).
已经证明:
在三个内角均小于120°
的△ABC中,当∠APB=∠APC=∠BPC=120°
时,P就是△ABC的费马点.若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点,则PD+PE+PF=________.
拓展培优训练
1.(2017杭州)如图,在△ABC中,AB=AC,BC=12,E为AC边的中点,
第1题图
线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD=x,tan∠ACB=y,则( )
A.x-y2=3
B.2x-y2=9
C.3x-y2=15
D.4x-y2=21
2.已知等腰三角形顶角为36°
,则底与腰的比值等于________.
答案
1.C 【解析】当3为底边时,其它两边都为7,3、7、7可以构成三角形,周长为17;
当3为腰时,其他两边为3和7,∵3+3=6<7,∴不能构成三角形,故舍去,∴该等腰三角形的周长为17.
2.B 【解析】设∠C=x,∵AD=DC,∴∠DAC=∠C=x,∴∠ADB=2x,∵AB=BD,∴∠BAD=∠ADB=2x,∴∠B=180°
-4x,∵BA=AC,∴∠B=∠C,∴180°
-4x=x,解得x=36°
,∴∠B=∠C=36°
.
3.B 【解析】∵∠A=30°
,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=75°
,又∵l为AB的垂直平分线,∴DB=DA,∴∠DBA=∠A=30°
,∴∠CBD=∠CBA-∠DBA=75°
-30°
=45°
第4题解图
4.D 【解析】如解图,过点B作BC⊥AO于点C,∵△AOB是等边三角形,∴OC=AO=1,∴在Rt△BOC中,BC==,∴B点的坐标为(1,).
5.A 【解析】∵AB=AC,∠A=36°
,∴∠ABC=∠ACB=(180°
-∠A)=72°
,∵BD,CE是角平分线,∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°
,∠ACE=∠ECB=36°
,∴∠A=∠ABD=∠ACE,∠DBC=∠ECB,∴∠BDC=180°
-∠ACB-∠DBC=180°
-72°
-36°
=72°
,同理∠BEC=72°
,∴∠BDC=∠ACB,∠BEC=∠EBC,∴∠EOB=180°
-∠BEC-∠EBD=180°
,同理∠DOC=72°
,∴∠BEO=∠BOE,∠CDO=∠COD,即等腰三角形有△OBC,△ADB,△AEC,△BEC,△BDC,△ABC,△EBO,△DCO,共8个.
6.B 【解析】在Rt△CDE中,CD=DE=a,∴DE===a,∵点E为Rt△ACB斜边AB的中点,∴CE=AE=BE=AB,∴AB=2CE=2a.
第7题解图
7.B 【解析】如解图,连接AF,∵AB=AD,F是BD的中点,∴AF⊥BD,∵在Rt△ACF中,∠AFC=90°
,E是AC的中点,EF=2,∴AC=2EF=4.
8.A 【解析】设AC=x,∵AC⊥BC,∠ABC=30°
,∴AB=2x,BC=x,∵AB=BD,∴BD=2x,∴CD=BC+BD=(2+)x,∵tan∠DAC=,∴tan∠DAC==2+.
第9题解图
9.D 【解析】如解图,在直角三角形ABC中,利用勾股定理,列方程为x2+62=(10-x)2.
10.100°
【解析】由三角形内角和定理可知,若等腰三角形的一个内角为100°
,则这个内角为顶角,此时两底角均为40°
,即该三角形顶角的度数是100°
11.2 【解析】在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,点D是AB的中点,∴CD=AB=4,∵点E是AC的中点,点F是AD的中点,∴EF是△ADC的中位线,∴EF=CD=2.
12.2a+3b 【解析】∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°
,∴∠ABC=∠ACB=72°
,∵DE垂直平分AC,∴CE=AE,∠ECA=∠A=36°
,∴∠BEC=∠A+∠ECA=72°
,∴∠BEC=∠B,∴CE=BC=b,∴△ABC的周长为AB+AC+BC=2AB+BC=2(a+b)+b=2a+3b.
13.30°
,90°
或150°
【解析】如解图,
第13题解图
解图①中△ABC是等腰直角三角形,∴顶角是90°
,解图②中AC=BC,在直角三角形ADC中,AD=AC,∴∠ACD=30°
,∴∠ACB=180°
-∠ACD=150°
,解图③中,AC=BC,在直角三角形ADC中,AD=AC,∴∠ACD=30°
,综上所述,△ABC顶角的度数分别是30°
14.2 【解析】假设点D与点B重合,可得DE+DF为等边三角形AC边上的高,再由等边三角形的边长为4,根据勾股定理得AC边上的高为2.
15.2 【解析】∵方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根,∴Δ=16-4b=0,解得b=4,又∵BC=2,AB=2,AC=b=4,∴AB2+BC2=
(2)2+22=42=AC2,∴∠B=90°
,∴AC边上的中线长为2.
第16题解图
16.0<
CD≤5 【解析】如解图,取BE的中点F,连接AF,∵∠A=90°
,则AF=EF=BE=5,∴∠EAF=∠E=30°
,又∵∠CDE=30°
,∴∠CDE=∠EAF,∴CD∥AF,∴=,当D与A重合时,CD取最大值为5;
当D接近于E时,DE越小,CD越小,∵线段CD不能为0,∴0<
CD≤5.
17.2+m 【解析】如解图,连接BD,∵∠C=∠EBD,BD=CD,∠CDF=∠BDE,∴△BED≌△CFD,∴BE=CF,DE=DF,则BE+BF+EF=BC+EF=2+EF,在Rt△DEF中,DE=DF=m,∴EF=m,则△BEF的周长是2+m.
第17题解图
18.证明:
∵AB=AC,∠A=36°
,
∴在△ABC中,∠ABC=∠C=(180°
又∵BD为∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°
=∠A,
∴△ABD是以点D为顶点的等腰三角形,
∴AD=BD,
∵∠CBD=36°
,∠C=72°
∴∠BDC=180°
-∠CBD-∠C=72°
=∠C,
∴△BCD是以点B为顶点的等腰三角形,
∴BC=BD,
∴AD=BC.
19.解:
设BD=x,则CD=14-x,根据勾股定理可得,
AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,
即152-x2=132-(14-x)2,
解得x=9,
∴AD2=152-x2=152-92=144,
∵AD>
0,
∴AD=12,
∴S△ABC=×
BC×
AD=×
14×
12=84.
能力提升训练
1.B 【解析】符合条件的直线共有4条:
(1)如解图①,在边BC上截取CE=CA,BF=BA,连接AE、AF,得到等腰三角形△CEA,△BAF;
(2)如解图②,分别作AB、AC的中垂线交BC于点M、N,连接AM,AN,得到等腰三角形△MAB,△NCA,综上所述,直线AE、AF、AM、AN均满足题意.
2.C 【解析】由题图知,BC=BE,∴∠BCE=∠BEC,∵AB=AC,∴∠BCA=∠CBA,∴∠BCE=∠BEC=∠CBA,∵∠EBC=180°
-∠BCE-∠BEC,∠BAC=180°
-∠BCA-∠CBA,∴∠EBC=∠BAC.
3.2 【解析】∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°
,BA=BC,∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠E=30°
,BD⊥AC,∴∠BDC=90°
,∴BC=2DC,∵∠ACB=∠E+∠CDE,∴∠CDE=∠E=30°
,∴CD=CE=1,∴BC=2CD=2.
4.78 【解析】如解图,过A作AH⊥BC,∵AB=15,AC=20,∠BAC=90°
,∴由勾股定理得,BC==25,∵AD=5,∴DC=20-5=15,∵DE⊥BC,∠BAC=90°
,∴△CDE∽△CBA,∴=,∴CE=×
20=12,∴BE=BC-CE=13.∴BC·
AH=AB·
AC,AH===12,∴S△ABE=×
12×
13=78.
第5题解图
5.+1 【解析】如解图,等腰Rt△DEF中,DE=DF=,过点D作DM⊥EF于点M,过E、F分别作∠MEP=∠MFP=30°
,从而可找到点P,则DM=EM=EF=×
2=1,在Rt△PEM中,PM=tan30°
·
EM=,∴PE=,∴DP=1-,PF=,∴PD+PE+PF=+1.
1.B 【解析】如解图,连接DE,过点A作AF⊥BC,垂足为F,过E作EG⊥BC,垂足为G,∵AB=AC,AF⊥BC,BC=12,∴BF=FC=6,又∵E是AC的中点,EG⊥BC,∴EG∥AF,∴CG=FG=CF=3,∵在Rt△CEG中,tanC=,∴EG=CG×
tanC=3y,∴DG=BF+FG-BD=6+3-x=9-x,∵HD是BE的垂直平分线,∴BD=DE=x,∵在Rt△EGD中,由勾股定理得,ED2=DG2+EG2,∴x2=(9-x)2+(3y)2,化简整理得2x-y2=9.
第1题解图
2. 【解析】如解图,设等腰△ABC底边为a,腰为b,作∠B的平分线交AC于D,则∠B=(180°
)=72°
,∴△BCD、△DAB均为等腰三角形,则BD=AD=BC=a,而CD=b-a,由△BCD∽△ABC,∴=,即=,
∴()2+()-1=0,解得=或(舍去).
第2题解图