专题1一元二次方程重难点题型举一反三Word格式文档下载.docx
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④﹣x2＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
⑤（x﹣1）2+y2＝2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；
⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程．
综上所述，一元二次方程共有2个．
【变式1-2】
（2021春•仓山区校级月考）下列关于x的方程：
①ax2+bx+c＝0；
②x2
4＝0；
③2x2﹣3x+1＝0；
④x2﹣2+x3＝0．其中是一元二次方程的个数是（ ）
①ax2+bx+c＝0，当a＝0时，该方程不是一元二次方程；
4＝0属于分式方程；
③2x2﹣3x+1＝0符合一元二次方程的定义；
④x2﹣2+x3＝0的最高次数是3，属于一元三次方程；
综上所述，其中一元二次方程的个数是1个．
A．
【变式1-3】
（2020秋•茌平区期末）下面关于x的方程中：
②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1；
5＝0；
④x2+5x3﹣6＝0；
⑤3x2＝3（x﹣2）2；
⑥12x﹣10＝0．是一元二次方程个数是（ ）
关于x的方程中：
⑥12x﹣10＝0．只有②是一元二次方程．
【题型2利用一元二次方程的概念求字母的值】
【例2】
（2020秋•昌图县期末）已知（m﹣1）x|m+1|+2mx+4＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是 ．
∵（m﹣1）x|m+1|+2mx+4＝0是关于x的一元二次方程，
∴|m+1|＝2，m﹣1≠0，
解得：
m＝﹣3，
故答案为：
﹣3．
【变式2-1】
（2020秋•铁锋区期末）若关于x的方程（a﹣1）x
7x+3＝0是一元二次方程，则a＝ ．
∵关于x的方程（a﹣1）x
7x+3＝0是一元二次方程，
∴a2+1＝2且a﹣1≠0，
a＝﹣1．
﹣1．
【变式2-2】
（2020秋•扬州期末）已知关于x的方程
为一元二次方程，则a的取值范围是
∵方程是一元二次方程，
∴a﹣3≠0，得a≠3，
又∵二次根式
有意义，
∴a﹣1≥0，得a≥1，
∴a≥1且a≠3．
故本题的答案是a≥1且a≠3．
【变式2-3】
（2020秋•新都区校级月考）关于x的方程（m2﹣4）x2+（m﹣2）x﹣2＝0，当m满足 时，方程为一元二次方程，当m满足 时，方程为一元一次方程．
由题意得：
m2﹣4≠0，
m≠±
2，
m2﹣4＝0，且m﹣2≠0，
m＝﹣2，
2；
m＝﹣2．
【题型3一元二次方程的一般形式】
【例3】
（2021春•拱墅区校级期中）方程（3x+2）（2x﹣3）＝5化为一般形式是 ；
其中二次项系数是 ．
（3x+2）（2x﹣3）＝5，
去括号：
6x2﹣9x+4x﹣6＝5，
移项：
6x2﹣9x+4x﹣6﹣5＝0，
合并同类项：
6x2﹣5x﹣11＝0．
故一般形式为：
6x2﹣5x﹣11＝0，
二次项系数为：
6．
6x2﹣5x﹣11＝0；
【变式3-1】
（2020秋•乌苏市月考）将一元二次方程
x（x﹣2）＝5化为二次项系数为“1”的一般形式是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
x（x﹣2）＝5，
x2
x﹣5＝0，
x2﹣2x﹣15＝0，
二次项系数是1，一次项系数是﹣2，常数项是﹣15，
x2﹣2x﹣15＝0；
1；
﹣2；
﹣15．
【变式3-2】
（2020秋•渝北区校级月考）若关于x的一元二次方程（a
）x2﹣（4a2﹣1）x+1＝0的一次项系数为0，则a的值为 ．
﹣（4a2﹣1）＝0，且a
0，
a
，
．
【变式3-3】
（2020秋•南岗区校级月考）阅读理解：
定义：
如果关于x的方程
（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与
（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：
求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：
由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”．
请用以上方法解决下面问题：
（1）填空：
写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是 ．
（2）若关于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值．
（1）由题意得：
方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0，
﹣x2﹣4x﹣3＝0；
（2）由﹣5x2﹣x＝1，
移项可得：
﹣5x2﹣x﹣1＝0，
∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x﹣1＝0为对称方程，
∴m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，
m＝0，n＝﹣1，
∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1，
答：
（m+n）2的值是1．
【题型4利用一元二次方程的解求字母的值】
【例4】
（2021春•黄冈月考）关于x的方程3x2﹣2（3m﹣1）x+2m＝15有一个根为﹣2，则m的值等于（ ）
A．2B．
C．﹣2D．
把x＝﹣2代入方程3x2﹣2（3m﹣1）x+2m＝15得3×
4﹣2（3m﹣1）×
（﹣2）+2m＝15，
解得m
D．
【变式4-1】
（2020秋•兰州期末）若
是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，c的值是（ ）
A．2
B．
C．﹣1D．1
∵
是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，
∴（2
）2﹣4（2
）+c＝0，
c＝1．
【变式4-2】
（2021春•东城区期中）若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+a2﹣4＝0有一个根为0，则a的值为（ ）
A．﹣2B．2C．±
2D．±
把x＝0代入方程得：
a2﹣4＝0，
（a﹣2）（a+2）＝0，
可得a﹣2＝0或a+2＝0，
a＝2或a＝﹣2，
当a＝2时，a﹣2＝0，此时方程不是一元二次方程，舍去；
则a的值为﹣2．
【变式4-3】
（2021春•柯桥区月考）若t是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，设P＝1﹣ac，Q＝（at+1）2，则P与Q的大小关系正确的是（ ）
A．P＜QB．P＝QC．P＞QD．不确定
∵t是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，
∴at2+2t+c＝0，
∴c＝﹣at2﹣2t，
∵P＝1﹣ac＝1﹣a（﹣at2﹣2t）＝a2t2+2at+1＝（at+1）2，
而Q＝（at+1）2，
∴P＝Q．
【题型5利用一元二次方程的解求代数式的值】
【例5】
（2021春•招远市期中）已知m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，则代数式1+6m﹣2m2的值为（ ）
A．5B．﹣5C．3D．﹣3
∵m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，
∴m2﹣3m﹣2＝0，
∴m2﹣3m＝2，
∴1+6m﹣2m2
＝1﹣2（m2﹣3m）
＝1﹣2×
2
＝1﹣4
＝﹣3，
【变式5-1】
（2021春•阜阳月考）若a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则代数式2
a的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．5
∵a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，
∴a2﹣3a+1＝0，
∵a≠0，
∴a﹣3
0，即a
3，
∴2
a＝2﹣（a
）＝2﹣3＝﹣1．
【变式5-2】
（2020秋•平邑县期末）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为（ ）
A．2020B．﹣2020C．2019D．﹣2019
∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a2﹣1＝a，﹣a2+a＝﹣1，
∴﹣a3+2a+2020＝﹣a（a2﹣1）+a+2020＝﹣a2+a+2020＝2019．
C．
【变式5-3】
（2020秋•麦积区期末）已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，则
的值为（ ）
A．2017B．2018C．2019D．2020
∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，
∴a2﹣2020a+1＝0，即a2+1＝2020a，a2＝2020a﹣1，
则
2020a﹣1﹣2019a
a﹣1
1
1＝2019．
【题型6赋值法求一元二次方程的定根】
【例6】
（2021春•余杭区月考）若a﹣b+c＝0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一根是（ ）
A．0B．1C．﹣1D．无法确定
∵a﹣b+c＝0，
∴a×
12﹣b×
1+c＝0，
∴方程ax2﹣bx+c＝0必有一根为1，
【变式6-1】
（2021春•唐山月考）关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2020＝0满足a+b＝2020，则方程必有一根为（ ）
A．1B．﹣1C．±
1D．无法确定
当x＝﹣1时，a+b﹣2020＝0，则a+b＝2020，
所以若a+b＝2020，则此方程必有一根为﹣1．
【变式6-2】
（2021春•萧山区期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
对于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2即a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，
设t＝x﹣1，
所以at2+bt+2＝0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，
所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2021，
则x﹣1＝2021，
解得x＝2022，
所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为x＝2022．
【变式6-3】
（2021春•瑶海区期中）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0），满足3a﹣b
c＝0，则方程必有一根为 ．
当把x＝﹣3代入方程ax2+bx+c＝0能得出9a﹣3b+c＝0，即3a﹣b
c＝0，
即方程一定有一个根为x＝﹣3，
故答案是：
x＝﹣3．
【题型7根据面积问题列一元二次方程】
【例7】
（2020秋•官渡区期末）《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办、昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长为32m，宽为20m的矩形场地ABCD（如图所示）上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行、另一条与AD平行，其余部分种草坪，若使每一块草坪的面积为95m2，求道路的宽度、若设道路的宽度为xm，则x满足的方程为（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝95B．（32﹣2x）（20﹣x）＝95
C．（32﹣x）（20﹣x）＝95×
6D．（32﹣2x）（20﹣x）＝95×
6
设道路的宽度为xm，则六块草坪可合成长（32﹣2x）m，宽（20﹣x）m的矩形，
依题意得：
（32﹣2x）（20﹣x）＝95×
【变式7-1】
（2021春•鹿城区校级期中）在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x（m），则可列方程（ ）
A．（30﹣2x）（20﹣x）＝468B．（20﹣2x）（30﹣x）＝468
C．30×
20﹣2•30x﹣20x＝468D．（30﹣x）（20﹣x）＝468
设入口的宽度为xm，由题意得：
（30﹣2x）（20﹣x）＝468．
【变式7-2】
（2021春•瓯海区期中）如图，在一块长方形草地上修建两条互相垂直且宽度相同的平行四边形通道，其中∠KHB＝60°
，已知AB＝20米，BC＝30米，四块草地总面积为503m2，设GH为x米，则可列方程为（ ）
A．（20﹣x）（30﹣x）＝503B．
C．20x+30x﹣x2＝97D．
过H作HM⊥LG于M，
∵∠KHB＝60°
，LG⊥KH，
∴∠HGM＝∠KHB＝60°
∵∠HMG＝90°
∴HM
x，
∵长方形的面积＝20×
30＝600（cm）2，
∴四块草地总面积为503m2，
∴通道的面积为：
20x+30x
x2＝97，
【变式7-3】
（2021春•蜀山区校级期中）如图，将边长为12的正方形纸片，沿两边各剪去一个一边长为x的长方形，剩余的部分面积为64，则根据题意可列出方程为 ．（方程化为一般式）
设剪去的边长为x，
那么根据题容易列出方程为122﹣（12x×
2﹣x2）＝64，
化为一般形式为：
x2﹣24x+80＝0，
x2﹣24x+80＝0．
【题型8根据实际问题列一元二次方程】
【例8】
（2021春•瓯海区期中）某市大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全市学校的设施和设备进行全面改造，2019年投入10亿元，若每年的增长率相同，预计2021年投资14.4亿元，设年平均增长率为x，则由题意可列方程 ．
设每年投资的增长率为x，
根据题意，得：
10（1+x）2＝14.4，
10（1+x）2＝14.4．
【变式8-1】
（2021春•长兴县月考）2021年元旦，某班同学之间为了相互鼓励，每两人之间进行一次击掌，共击掌595次．设全班有x名同学，则可列方程为 ．
x（x﹣1）＝595．
【变式8-2】
（2021春•西湖区校级期中）某快递公司今年一月份完成投递的快递总件数为10万件，二月份、三月份每月投递的件数逐月增加，第一季度总投递件数为33.1万件，问：
二、三月份平均每月的增长率是多少？
设平均每月增长的百分率为x，根据题意得方程（ ）
A．10（1+x）2＝33.1
B．10（1+x）+10（1+x）2＝33.1
C．10+10（1+x）2＝33.1
D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝33.1
依题意，得：
10+10（1+x）+10（1+x）2＝33.1．
【变式8-3】
（2021春•海淀区校级期中）《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？
”其内容可以表述为：
“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？
”（说明：
1丈＝10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（ ）
A．102+（x﹣1）2＝x2B．（x+1）2＝x2+102
C．x2＝（x﹣1）2+12D．（x+1）2＝x2+12
如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x﹣1）尺，
在Rt△ABC中，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴102+（x﹣1）2＝x2，
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