专题67 费马点中三线段模型与最值问题解析版.docx

专题67 费马点中三线段模型与最值问题解析版.docx

《专题67 费马点中三线段模型与最值问题解析版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题67 费马点中三线段模型与最值问题解析版.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

专题67费马点中三线段模型与最值问题解析版

专题67费马点中三线段模型与最值问题

【专题说明】

费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。

主要分为两种情况：

（1）当三角形三个内角都小于120°的三角形，通常将某三角形绕点旋转60度，从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。

（2）当三角形有一个内角大于120°时，费马点就是此内角的顶点.

费马点问题解题的核心技巧：

旋转60°构造等边三角形将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上利用两点之间线段最短求解问题

【模型展示】

问题：

在△ABC内找一点P，使得PA+PB+PC最小．

【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：

两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．

（1）如图，分别以△ABC中的AB、AC为边，作等边△ABD、等边△ACE．

（2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：

△ADC≌△ABE．

（3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点．（到这一步其实就可以了）

（4）以BC为边作等边△BCF，连接AF，必过点P，有∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．

在图三的模型里有结论：

（1）∠BPD=60°；

（2）连接AP，AP平分∠DPE．

有这两个结论便足以说明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识！

【精典例题】

1、如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（　　）

A．B．C．D．

【答案】D

【详解】

解：

如图，

∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，

∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，

∴△BFG是等边三角形．

∴BF=BG=FG，．

∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．

根据“两点之间线段最短”，

∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，

过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，

∴∠EBF=180°-120°=60°，

∵BC=4，

∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中，

∵EF2+FC2=EC2，

∴EC=4．

∵∠CBE=120°，

∴∠BEF=30°，

∵∠EBF=∠ABG=30°，

∴EF=BF=FG，

∴EF=CE=，

故选：

D．

2、如图，将绕点逆时针旋转60°得到，与交于点，可推出结论：

问题解决：

如图，在中，，，．点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是___________

【答案】

【详解】

如图，将△MOG绕点M逆时针旋转60°，得到△MPQ，

显然△MOP为等边三角形，

∴，OM＋OG＝OP＋PQ，

∴点O到三顶点的距离为：

ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，

∴当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ON＋OM＋OG最小，

此时，∠NMQ＝75°+60°＝135°，

过Q作QA⊥NM交NM的延长线于A，则∠MAQ=90°，

∴∠AMQ＝180°-∠NMQ=45°，

∵MQ＝MG＝4，

∴AQ＝AM＝MQ•cos45°=4，

∴NQ＝，

故答案为：

.

3、如图，四边形是菱形，B=6，且∠ABC=60°，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM的最小值为________．

【答案】

【详解】

将△BMN绕点B顺时针旋转60度得到△BNE，∵BM=BN，∠MBN=∠CBE=60°，∴MN=BM∵MC=NE∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．

∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=．

故答案为．

4、如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝_____．

【答案】

【详解】

如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．

∵AB=AC，AH⊥BC，

∴∠BAP=∠CAP，

∵PA=PA，

∴△BAP≌△CAP（SAS），

∴PC=PB，

∵MG=PB，AG=AP，∠GAP=60°，

∴△GAP是等边三角形，

∴PA=PG，

∴PA+PB+PC=CP+PG+GM，

∴当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，

∵AP+BP+CP的最小值为2，

∴CM=2，

∵∠BAM=60°，∠BAC=30°，

∴∠MAC=90°，

∴AM=AC=2，

作BN⊥AC于N．则BN=AB=1，AN=，CN=2-，

∴BC=．

故答案为．

5、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.

⑴求证：

△AMB≌△ENB；

⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；

⑶当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.

【答案】

（1）△AMB≌△ENB，证明略。

（2）①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.

②连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，

AM＋BM＋CM的值最小，图略

（3）

【解析】（满分13分）解：

⑴∵△ABE是等边三角形，

∴BA＝BE，∠ABE＝60°.

∵∠MBN＝60°，

∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.

即∠BMA＝∠NBE.

又∵MB＝NB，

∴△AMB≌△ENB（SAS）.………………5分

⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.………………7分

②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，

AM＋BM＋CM的值最小.………………9分

理由如下：

连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，

∴AM＝EN.

∵∠MBN＝60°，MB＝NB，

∴△BMN是等边三角形.

∴BM＝MN.

∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.………………10分

根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短

∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.……11分

⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，

∴∠EBF＝90°－60°＝30°.

设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.

在Rt△EFC中，

∵EF2＋FC2＝EC2，

∴（）2＋（x＋x）2＝.………………12分

解得，x＝（舍去负值）.

∴正方形的边长为.………………13分

6、在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=；

（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；

①把图形补充完整（无需写画法）；②求的取值范围；

（2）如图2，求BE+AE+DE的最小值．

【答案】

（1）①补图见解析；②；

（2）

【详解】

（1）①如图△DCF即为所求；

②∵四边形ABCD是正方形，

∴BC＝AB＝2，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，

∴AC＝＝AB＝4，

∵△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，

∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，

∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°，

设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4−x，

∴y＝（4−x）2＋x2＝2x2−8x＋160（0＜x≤4）．

即y＝2（x−2）2＋8，

∵2＞0，

∴x＝2时，y有最小值，最小值为8，

当x＝4时，y最大值＝16，

∴8≤EF2≤16．

（2）如图中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．

由旋转的性质可知，△AEG是等边三角形，

∴AE＝EG，

∵DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，

∴AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长．

在Rt△AFH中，∠FAH＝30°，AB＝=AF，

∴FH＝AF＝，AH＝＝，

在Rt△DFH中，DF＝＝，

∴BE＋AE＋ED的最小值为．