1、专题67 费马点中三线段模型与最值问题解析版专题67 费马点中三线段模型与最值问题【专题说明】费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。主要分为两种情况:(1)当三角形三个内角都小于120的三角形,通常将某三角形绕点旋转60度,从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上,利用两点之间线段最短解决问题。(2)当三角形有一个内角大于120时,费马点就是此内角的顶点.费马点问题解题的核心技巧:旋转60 构造等边三角形 将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上 利用两点之间线段最短求解问题【模型展示】问题:在ABC内找一点P,使得PA+PB+PC最小【分析】在之前的最值问题中
2、,我们解决的依据有:两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等(1)如图,分别以ABC中的AB、AC为边,作等边ABD、等边ACE(2)连接CD、BE,即有一组手拉手全等:ADCABE(3)记CD、BE交点为P,点P即为费马点(到这一步其实就可以了)(4)以BC为边作等边BCF,连接AF,必过点P,有PAB=BPC=CPA=120在图三的模型里有结论:(1)BPD=60;(2)连接AP,AP平分DPE有这两个结论便足以说明PAB=BPC=CPA=120原来在“手拉手全等”就已经见过了呀,只是相逢何必曾相识!【精典例题】1、如图,四边形ABCD是菱
3、形,AB=4,且ABC=ABE=60,G为对角线BD(不含B点)上任意一点,将ABG绕点B逆时针旋转60得到EBF,当AG+BG+CG取最小值时EF的长()A B C D【答案】D【详解】解:如图,将ABG绕点B逆时针旋转60得到EBF,BE=AB=BC,BF=BG,EF=AG,BFG是等边三角形BF=BG=FG,AG+BG+CG=FE+GF+CG根据“两点之间线段最短”,当G点位于BD与CE的交点处时,AG+BG+CG的值最小,即等于EC的长,过E点作EFBC交CB的延长线于F,EBF=180-120=60,BC=4,BF=2,EF=2,在RtEFC中,EF2+FC2=EC2,EC=4CBE
4、=120,BEF=30,EBF=ABG=30,EF=BF=FG,EF=CE=,故选:D2、如图,将绕点逆时针旋转60得到,与交于点,可推出结论:问题解决:如图,在中,点是内一点,则点到三个顶点的距离和的最小值是_【答案】【详解】如图,将MOG绕点M逆时针旋转60,得到MPQ,显然MOP为等边三角形,OMOGOPPQ,点O到三顶点的距离为:ONOMOGONOPPQ,当点N、O、P、Q在同一条直线上时,有ONOMOG最小,此时,NMQ75+60135,过Q作QANM交NM的延长线于A,则MAQ=90,AMQ180-NMQ=45,MQMG4,AQAMMQcos45=4,NQ,故答案为:.3、如图,四
5、边形 是菱形,B=6,且ABC=60 ,M是菱形内任一点,连接AM,BM,CM,则AM+BM+CM 的最小值为_【答案】【详解】将BMN绕点B顺时针旋转60度得到BNE,BM=BN,MBN=CBE=60,MN=BM MC=NEAM+MB+CM=AM+MN+NE当A、M、N、E四点共线时取最小值AEAB=BC=BE=6,ABH=EBH=60,BHAE,AH=EH,BAH=30,BH=AB=3,AH=BH=,AE=2AH=故答案为4、如图,ABC中,BAC30且ABAC,P是底边上的高AH上一点若AP+BP+CP的最小值为2,则BC_【答案】 【详解】如图将ABP绕点A顺时针旋转60得到AMG连接
6、PG,CMAB=AC,AHBC,BAP=CAP,PA=PA,BAPCAP(SAS),PC=PB,MG=PB,AG=AP,GAP=60,GAP是等边三角形,PA=PG,PA+PB+PC=CP+PG+GM,当M,G,P,C共线时,PA+PB+PC的值最小,最小值为线段CM的长,AP+BP+CP的最小值为2,CM=2,BAM=60,BAC=30,MAC=90,AM=AC=2,作BNAC于N则BN=AB=1,AN=,CN=2-,BC=故答案为5、如图,四边形ABCD是正方形,ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60得到BN,连接EN、AM、CM. 求证:AM
7、BENB; 当M点在何处时,AMCM的值最小;当M点在何处时,AMBMCM的值最小,并说明理由; 当AMBMCM的最小值为时,求正方形的边长.【答案】(1)AMBENB,证明略。(2)当M点落在BD的中点时,AMCM的值最小.连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时,AMBMCM的值最小,图略(3)【解析】(满分13分)解:ABE是等边三角形,BABE,ABE60.MBN60,MBNABNABEABN.即BMANBE.又MBNB,AMBENB(SAS). 5分当M点落在BD的中点时,AMCM的值最小. 7分如图,连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时,AMBMCM的值最小. 9分理由如下:连
8、接MN.由知,AMBENB,AMEN.MBN60,MBNB,BMN是等边三角形.BMMN.AMBMCMENMNCM. 10分根据“两点之间线段最短”,得ENMNCMEC最短当M点位于BD与CE的交点处时,AMBMCM的值最小,即等于EC的长.11分过E点作EFBC交CB的延长线于F,EBF906030.设正方形的边长为x,则BFx,EF.在RtEFC中,EF2FC2EC2,()2(xx)2. 12分解得,x(舍去负值).正方形的边长为. 13分6、在正方形ABCD中,点E为对角线AC(不含点A)上任意一点,AB=;(1)如图1,将ADE绕点D逆时针旋转90得到DCF,连接EF;把图形补充完整(
9、无需写画法); 求的取值范围;(2)如图2,求BE+AE+DE的最小值【答案】(1)补图见解析;(2)【详解】(1)如图DCF即为所求;四边形ABCD是正方形,BCAB2,B90,DAEADC45,ACAB4,ADE绕点D逆时针旋转90得到DCF,DCFDAE45,AECF,ECFACDDCF90,设AECFx,EF2y,则EC4x,y(4x)2x22x28x160(0x4)即y2(x2)28,20,x2时,y有最小值,最小值为8,当x4时,y最大值16,8EF216(2)如图中,将ABE绕点A顺时针旋转60得到AFG,连接EG,DF作FHAD于H由旋转的性质可知,AEG是等边三角形,AEEG,DFFGEGDE,BEFG,AEBEDE的最小值为线段DF的长在RtAFH中,FAH30,AB=AF,FHAF,AH,在RtDFH中,DF,BEAEED的最小值为
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