全国通用版版高考数学一轮复习第十七单元随机变量及其分布学案理.docx
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全国通用版版高考数学一轮复习第十七单元随机变量及其分布学案理
第十七单元随机变量及其分布
教材复习课“随机变量及其分布”相关基础知识一课过
条件概率、相互独立事件、n次独立重复试验
[过双基]
1．条件概率
（1）定义
设A，B为两个事件，且P（A）>0，称P（B|A）＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．
（2）性质
①0≤P（B|A）≤1；
②如果B和C是两个互斥事件，则P（B∪C|A）＝P（B|A）＋P（C|A）．
2．事件的相互独立性
（1）定义
设A，B为两个事件，如果P（AB）＝P（A）·P（B），则称事件A与事件B相互独立．
（2）性质
①若事件A与B相互独立，则P（B|A）＝P（B），P（A|B）＝P（A），P（AB）＝P（A）P（B）．
②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
3．独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．Ai（i＝1,2，…，n）表示第i次试验结果，则P（A1A2A3…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）．
1．一位家长送孩子去幼儿园的路上要经过4个有红绿灯的路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.则这位家长送孩子上学到第三个路口时首次遇到红灯的概率为（ ）
A. B.
C.D.
解析：
选C 设“这位家长送孩子上学到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A，因为事件A等于事件“这位家长送孩子在第一个路口和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为P（A）＝××＝.
2．箱中装有标号分别为1,2,3,4,5,6的六个球（除标号外完全相同），从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，若两球的号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸球，恰好有3人获奖的概率是（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选B 由题可得，一次摸球中获奖的概率为p＝＝.所以4人中恰有3人获奖的概率为C3×＝.
3．设由0,1组成的三位编号中，若用A表示“第二位数字为0的事件”，用B表示“第一位数字为0的事件”，则P（A|B）＝________.
解析：
因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P（B）＝，第一位数字为0且第二位数字也是0，即事件A，B同时发生的概率P（AB）＝×＝，所以P（A|B）＝＝＝.
答案：
[清易错]
1．P（B|A）与P（A|B）易混淆为等同
前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．
2．易混“相互独立”和“事件互斥”
两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．
1．在我国的传统节日“端午节”这天，小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A＝“取到的两个为同一种馅”，事件B＝“取到的两个都是豆沙馅”，则P（B|A）＝（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选A 由题意知，事件A包含的基本事件有4个，事件B在事件A的基础上，所包含的基本事件有3个，则P（B|A）＝.
2．某知识竞赛规则如下：
在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立．则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．
解析：
依题意，该选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题回答正误均有可能．
由相互独立事件概率计算公式得，所求概率P＝（0.2＋0.8）×0.2×0.82＝0.128.
答案：
0.128
离散型随机变量的均值与方差
[过双基]
1．均值
（1）一般地，若离散型随机变量X的分布列为：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
（2）若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E（aX＋b）＝aE（X）＋b.
（3）①若X服从两点分布，则E（X）＝；
②若X～B（n，p），则E（X）＝np.
2．方差
（1）设离散型随机变量X的分布列为：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则（xi－E（X））2描述了xi（i＝1,2，…，n）相对于均值E（X）的偏离程度．而D（X）＝（xi－E（X））2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E（X）的平均偏离程度．称D（X）为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差．
（2）D（aX＋b）＝a2D（X）．
（3）若X服从两点分布，则D（X）＝p（1－p）．
（4）若X～B（n，p），则D（X）＝np（1－p）．
1．已知随机变量X的分布列为P（X＝k）＝，k＝1,2,3，则E（3X＋5）＝（ ）
A．6B．9
C．11D．14
解析：
选C 由题意得P（X＝1）＝P（X＝2）＝P（X＝3）＝，所以E（X）＝（1＋2＋3）×＝2，故E（3X＋5）＝3E（X）＋5＝11.
2．现有8件产品，其中5件一等品，3件二等品，从中随机选出3件产品，其中一等品的件数记为随机变量X，则X的数学期望E（X）＝________.
解析：
易知，任取一件产品，是一等品的概率p＝，是二等品的概率为1－p＝，
因此，X服从二项分布B～X，
所以X的数学期望E（X）＝3×＝.
答案：
3.从装有6个白球和4个红球的口袋中任取一个球，用X表示“取到的白球个数”，即则D（X）＝____________.
解析：
由题可得P（X＝1）＝，P（X＝0）＝，即X服从两点分布，所以D（X）＝×＝.
答案：
[清易错]
1．理解均值E（X）易失误，均值E（X）是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E（X）是不变的，它描述X值的取值平均状态．
2．注意E（aX＋b）＝aE（X）＋b，D（aX＋b）＝a2D（X）易错．
1．已知随机变量ξ和η，其中η＝10ξ＋2，且E（η）＝20，若ξ的分布列如下表，则m的值为（ ）
ξ
1
2
3
4
P
m
n
A.B.
C.D.
解析：
选A 因为E（η）＝10E（ξ）＋2，所以E（ξ）＝，
故解得m＝.
2．已知ξ～B，并且η＝2ξ＋3，则方差D（η）＝（ ）
A. B.
C.D.
解析：
选A 由题意知，D（ξ）＝4××＝，
∵η＝2ξ＋3，∴D（η）＝4·D（ξ）＝4×＝.
超几何分布、二项分布、正态分布
[过双基]
1．超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P（X＝k）＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布.
X
0
1
…
m
P
…
2．二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P（X＝k）＝Cpk（1－p）n－k（k＝0,1,2，…，n），此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并称p为成功概率．
3．正态分布
（1）正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④曲线与x轴之间的面积为；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
（2）正态分布的三个常用数据
①P（μ－σ＜X≤μ＋σ）≈0.682_7；
②P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）≈0.954_5；
③P（μ－3σ＜X≤μ＋3σ）≈0.997_3.
1．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P（X＝12）等于（ ）
A．C102B．C102
C．C102D．C102
解析：
选D 由题意得，取到红球的概率P＝，停止时共取了12次球，其中前11次取到9次红球，2次白球，第12次取到的为红球，所以P（X＝12）＝C92×＝C102.
2．某校高考数学成绩ξ近似地服从正态分布N（100,52），且P（ξ<110）＝0.96，则P（90<ξ<100）的值为（ ）
A．0.49B．0.48
C．0.47D．0.46
解析：
选D 由题意可知，正态曲线的对称轴为x＝100，因为P（ξ<110）＝0.96，所以P（90<ξ<100）＝P（100<ξ<110）＝0.96－0.5＝0.46.
3．若同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在3次试验中至少有1次成功的概率是（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选C 一次试验中，至少有5点或6点出现的概率为1－×＝1－＝，设X为3次试验中成功的次数，所以X～B，故所求概率P（X≥1）＝1－P（X＝0）＝1－C×0×3＝.
4．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________．
解析：
η的所有可能值为0,1,2.
P（η＝0）＝＝，P（η＝1）＝＝，
P（η＝2）＝＝.
∴η的分布列为
η
0
1
2
P
答案：
η
0
1
2
P
一、选择题
1．设随机变量ξ～N（2,1），若P（ξ>3）＝m，则P（1<ξ<3）等于（ ）
A.－2m B．1－m
C．1－2mD.－m
解析：
选C 因为随机变量ξ～N（2,1），所以随机变量ξ服从正态分布，且正态曲线的对称轴为x＝2，因为P（ξ>3）＝m，所以P（ξ<1）＝m，因此P（1<ξ<3）＝1－2P（ξ>3）＝1－2m.
2．已知离散型随机变量X的概率分布列为
X
0
1
2
3
P
a
则随机变量X的数学期望为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选C ∵a＝1－＝，∴E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
3．随机变量ξ的概率分布规律为P（ξ＝k）＝，k＝1,2,3,4，其中c是常数，则P的值为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选D 由题可得，c1－＋－＋－＋－＝c×＝1，解得c＝.所以P＝P（ξ＝1）＋P（ξ＝2）＝×＝.
4．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他在第1次取到的是螺口灯泡的条件下，第2次取到的是卡口灯泡的概率为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选D 设事件A为“第一次取到的是螺口灯泡”，事件B为“第二次取到的是卡口灯泡”，则P（A）＝，P（AB）＝×＝，故所求概率为P（B|A）＝＝＝.
5．（2018·邢台摸底）一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P（X＝4）的值为（ ）
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