word完整版浙教版九年级数学下册第二章.docx
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word完整版浙教版九年级数学下册第二章
2.1
【知识梳理1:
切线的判定】
1.切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线
2.切线判定的三种方法:
(1)和圆只有一个公共点的直线
(2)圆心到直线的距离等于圆的半径的直线
(3)切线判定定理
例题讲解
例1下列说法中,不正确的是()
A.与圆只有一个交点的直线是圆的切线
B.经过半径的外端,且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C.与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线
D.垂直于半径的直线是圆的切线
例2如图,AB是⊙O的直径,下列条件中,不能判定直线AT是⊙O的切线的是()
A.AB=4,AT=3,BT=5B.∠B=45°,AB=AT
C.∠B=55°,∠TAC=55°D.∠ATC=∠B
第2题 第3题
例3如图,已知AB是⊙O的弦,半径OC经过AB的中点D,CE∥AB,点F在⊙O上,连结OA,CF,BF,则下列结论中,不正确的是()
A.∠F=∠AOCB.AB⊥BFC.CE是⊙O的切线D.=
例4如图,已知AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,AB与CD交于点E,CE=DE,过点B作BF∥CD,交AC的延长线于点F,求证:
BF是⊙O的切线.
【变式训练】
1.如图,在平面直角坐标系中,过格点A,B,C作一圆弧,则点B与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是()
A.点(0,3)B.点(2,3)C.点(5,1)D.点(6,1)
(第1题) (第2题)
2.如图,已知∠ABC=90°,O为射线BC上一点.以点O为圆心,BO长为半径作⊙O.当射线BA绕点B按顺时针方向旋转______________(不超过360°)时与⊙O相切.
3.如图,四边形ABCD是平行四边形,以对角线BD为直径作⊙O,分别与BC,AD交于点E,F.
(1)求证:
四边形BEDF为矩形.
(2)若BD2=BE·BC,试判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由.
4.如图,在△AOB中,∠AOB=90°,OD⊥AB于点D.以点O为圆心,OD长为半径的圆交OA于点E,在BA上截取BC=OB,连结CE.求证:
CE是⊙O的切线.
5.如图,⊙O的直径为AB,点C在圆周上(不与点A,B重合),AD⊥CD.
(1)若BC=3,AB=5,求AC的长.
(2)若AC是∠DAB的平分线,求证:
直线CD是⊙O的切线.
【知识梳理2:
切线的性质】
1.切线的性质:
经过切点的半径垂直于切线
2.只要知道以下其中两个性质就可以推出第三个:
①过圆心;②过切点;③垂直于切线
例题讲解
例1如图,AB是⊙O的直径,C是AB延长线上的一点,且BC=OB,CD切⊙O于点D.
则∠A=()
A.15° B.30°C.60° D.75°
第1题第2题
例2如图,以点O为圆心的两个圆中,大圆的弦AB切小圆于点C,OA交小圆于点D.若OD=2,tan∠OAB=,则AB的长是()
A.4B.2C.8D.4
例3如图,AB为⊙O的直径,PQ切⊙O于点T,连结AT,AC⊥PQ于点C,交⊙O于点D.
(1)求证:
AT平分∠BAC.
(2)若AO=2,AT=2,求AC的长.
例4如图,在△ABC中,∠C=90°,AC+BC=8,O是斜边AB上一点,以点O为圆心的⊙O分别与AC,BC相切于点D,E.
(1)当AC=2时,求⊙O的半径.
(2)设AC=x,⊙O的半径为y,求y关于x的函数表达式.
【变式训练】
1.如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的切线与AB的延长线交于点P,连结AC.若∠A=30°,PC=3,则BP的长为_________.
第1题第2题
2.如图,半圆O与等腰直角三角形ABC的两腰CA,CB分别切于D,E两点,直径FG在AB上.若BG=-1,则△ABC的周长为__________
3.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与⊙O相切于E,F,G三点,过点D作⊙O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为()
A.B.C.D.2
第3题 第4题
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4.若动点D在线段AC上(不与点A,C重合)运动,过点D作DE⊥AC交AB边于点E.
(1)当点D运动到线段AC的中点时,DE=___________.
(2)若点A关于点D的对称点为点F,以FC为半径作⊙C,当DE=__________时,⊙C与直线AB相切.
5.如图,AB是⊙O的直径,AD是⊙O的弦,F是DA延长线上的一点,AC平分∠FAB交⊙O于点C,过点C作CE⊥DF,垂足为E.
(1)求证:
CE是⊙O的切线.
(2)若AE=1,CE=2,求⊙O的半径.
6.如图,AB为⊙O的直径,OC⊥AB,弦CD与OB交于点F,过点D,A分别作⊙O的切线交于点G,并与AB的延长线交于点E.
(1)求证:
∠1=∠2.
(2)若OF∶OB=1∶3,⊙O的半径为3,求AG的长.
【综合例题讲解】
例1如图,公路MN与公路PQ在点P处交会,且QPN=30°,在点A处有一所中学,AP=160m.假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受噪音影响,那么拖拉机在公路交会处沿PN方向行驶时,学校是否会受噪音影响?
如果不受影响,请说明理由;如果受影响,且已知拖拉机的速度为18km/h,则学校受影响的时间为多少秒?
例2如图,在平面直角坐标系中,原点为O,点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(-1,0),以AB的中点P为圆心,AB长为直径作⊙P交y轴正半轴于点C.
(1)求经过A,B,C三点的抛物线所对应的函数表达式.
(2)设M为
(1)中抛物线的顶点,求直线MC对应的函数表达式.
(3)试说明直线MC与⊙P的位置关系,并证明你的结论.
【变式训练】
1.如图①,以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E,过点E作⊙O的切线交AC于点D,且ED⊥AC.
(1)试判断△ABC的形状,并说明理由.
(2)如图②,若线段AB,DE的延长线交于点F,∠C=75°,CD=2-,求⊙O的半径和BF的长.
2.如图,射线QN与等边三角形ABC的两边AB,BC分别交于点M,N,且AC∥QN,AM=MB=2cm,QM=4cm.动点P从点Q出发,沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动,经过t(s),以点P为圆心,cm为半径的圆与△ABC的边相切(切点在边上),请求出t可取的一切值
2.2
知识要点:
切线长定理】
1.切线长定理:
过圆外一点所作的圆的两条切线长相等
2.注意切线和切线长两个不同的概念
【例题讲解】
例1如图,从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB的长是()
A.4B.8C.4D.8
例1图变式1图
【变式训练】
1.如图,PA,PB,CD分别与⊙O相切于点A,B,E,若PA=7,则△PCD的周长为_________
2.如图,PA,PB分别切⊙O于点A,B,CD切⊙O于点E,分别交PA,PB于点C,D.若⊙O的半径为r,△PCD的周长为3r,连结OA,OP,则的值是_________
变式2图变式3图
3.如图,⊙O与△ABC中AB,AC的延长线及BC边相切,且∠ACB=90°,∠A,∠B,∠C所对的边长依次为3,4,5,则⊙O的半径是___________.
例2如图,PA,PB分别切⊙O于点A,B,连结OP与⊙O交于点C,连结AC,BC.
求证:
AC=BC.
【变式训练】
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O交AB于点D,过点D作⊙O的切线交BC于点E,EF⊥AB,垂足为F.
(1)求证:
DE=BC.
(2)若AC=6,BC=8,求S△ACD∶S△EDF的值.
2.如图,O是△ABC内一点,⊙O与BC相交于F,G两点,且与AB,AC分别相切于点D,E,DE∥BC,连结DF,EG.
(1)求证:
AB=AC.
(2)若AB=10,BC=12,求当四边形DFGE是矩形时⊙O的半径.
3.如图,已知正方形ABCD的边长为2,M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点(不与点M,C重合),以AB为直径作⊙O,过点P作⊙O的切线交AD于点F,切点为E.求四边形CDFP的周长.
【综合例题讲解】
1.如图,已知AB是⊙O的直径,CD与⊙O相切于点C,BE∥CO.
(1)求证:
BC是∠ABE的平分线;
(2)若DC=8,⊙O的半径OA=6,求CE的长.
2.如图,AB为⊙O的直径,直线CD切⊙O于点D,AM⊥CD于点M,BN⊥CD于点N.
(1)求证:
∠ADC=∠ABD;
(2)求证:
AD2=AM·AB;
(3)若AM=,sin∠ABD=,求线段BN的长.
2.3【知识要点:
三角形的内切圆】
1.三角形内、外心的区别
名称
确定方法
图形
性质
外心
三角形_____________的交点
内心
三角形_____________的交点
2.注意“接”与“切”,“内”与“外”的区别,任意一个三角形都有________的内切圆和外接圆,但圆有__________个外切三角形和内接三角形.
解题小技巧:
(1)已知△ABC的面积为S,内切圆半径为r,三边长为a,b,c,则有:
S=(a+b+c)r
(2)已知Rt△ABC两直角边为a,b,斜边为c,则该直角三角形的内切圆半径:
r=(a+b+c)
例题讲解
例1给出下列说法:
①任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆;
②任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形;
③任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆;
④任意一个圆一定有一个外切三角形,并且只有一个外切三角形.
其中正确的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【变式训练】
1.下列说法中,不正确的是()
A.三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点
B.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部
C.垂直于半径的直线是圆的切线
D.三角形的内心到三角形的三边的距离相等
例2如图,△ABC是一块绿化带,将阴影部分修建为花圃,已知AB=15,AC=9,BC=12,阴影部分是△ABC的内切圆,一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上,则小鸟落在花圃上的概率为()
A.B.C.D.
例2图变式1图
【变式训练】
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,⊙O为△ABC的内切圆,D是斜边AB的中点,则tan∠ODA=()
A.B.C.D.2
例3如图,在平面直角坐标系中,有一正方形AOBC.反比例函数y=的图象经过正方形AOBC对角线的交点,半径为4-2的圆内切于△ABC,求k的值.
【变式训练】
1.如图,⊙O是以∠ACB为直角的△ABC的内切圆,切点分别是D,E,F.
(1)填空:
当_____________时,EF∥AB(填上符合题目要求的一个条件即可).
(2)当EF∥AB时,设⊙O的半径r=1,DE,AC的延长线交于点G,求GF的长.
2.如图,在△ABC中,AC=BC,I为△ABC的内心,O为BC上一点,过B,I两点的⊙O交B