高中数学题库之数列综合部分百题尖子生高考数学分类汇编Word格式.docx

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30.观察下列各式：

，，，，，，则

二、填空题（共30小题；

31.在等比数列中，若，，则公比为 

．

32.数列中，，且，则的通项公式为 

33.若数列是各项均为正数的等比数列，且，．则的公比 

34.若，则 

35.等差数列中，，公差不为零，且，，恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于 

36.在中，三边，，成等比数列，，，成等差数列，则三边，，的关系为 

37.在中，已知角，，的对边，，成等比数列，且，则的值为 

38.设是由正数组成的等比数列，为其前项和，已知，，则的公比 

39.已知等比数列的前项和为，若，，则 

40.是数列的前项和，且，，则 

41.数列满足，（，），则 

42.已知为等差数列，为其前项和，，若，，则的值为 

43.已知等比数列的公比为正数，且，，则等于 

.

44.在数列中，，，且，则 

45.观察数表：

根据数表中所反映的规律，第行与第列的交叉点上的数应该是 

46.已知数列中，，，则 

47.设等差数列，的前项和分别为，若对任意自然数都有，则的值为 

48.数列满足，，则 

49.已知，数列满足，则的前项和为 

50.数列中，若，，，则数列的通项公式 

51.已知各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，则 

52.将正整数排成下表：

则数表中的出现在第 

行．

53.两个正数，的等差中项是，一个等比中项是，且，则椭圆的焦点坐标为 

54.设是等比数列，公比，为的前项和．记设为数列的最大项，则 

55.等比数列的公比．已知，，则的前项和 

56.若等差数列满足，，则当 

时，的前项和最大．

57.在数列中，，，记是数列的前项和，则 

58.已知实数，，的等差中项为，设，，则的最小值为 

59.若数列满足，，为非零常数，则称数列为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则的最小值是 

60.记数列的前项和为，若不等式对任意等差数列及任意正整数都成立，则实数的范围为 

三、解答题（共40小题；

共520分）

61.已知等差数列中，，，

（1）求的通项公式；

（2）求的前项和．

62.在等差数列中，已知，．

（1）求数列的通项；

（2）求数列的前项和；

（3）若，求数列的前项和．

63.已知数列满足，，

（1）求，；

（2）证明：

64.

（1）已知数列的前项和，求通项公式；

（2）在数列中，，，求数列的通项；

（3）在数列中，，前项和，求的通项公式；

（4）已知在每项均大于零的数列中，首项，且前项和满足，求．

65.在等差数列中，，前项和满足条件．

（1）求数列的通项公式和；

（2）记，求数列的前项和．

66.已知等比数列的前项和为，公比，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，为数列的前项和，求．

67.已知是等比数列，前项和为，且，．

（1）求的通项公式；

（2）若对任意的，是和的等差中项，求数列的前项和．

68.已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的，是和的等比中项．

（1）设，，求证：

数列是等差数列；

（2）设，，，求证：

69.已知为等差数列，前项和为，是首项为的等比数列，且公比大于，，，．

（1）求和的通项公式；

（2）求数列的前项和．

70.已知为等差数列，前项和为，是首项为的等比数列，且公比大于，，，．

71.已知是等比数列，前项和为，且，．

72.设数列满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

73.已知数列的首项，前项和为，．

（2）设，求数列的前项和．

74.已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且，，．

（1）求数列与的通项公式；

（2）记，是否存在实数，，，对于任意，都有，若存在求出，，的值，若不存在说明理由．

75.已知数列和满足，若为等比数列，且，．

（1）①求和；

②设，记数列的前项和为，求．

（2）求正整数，使得对任意均有．

76.设为数列的前项和，对任，都有（为正常数）．

（1）求证：

数列是等比数列；

（2）数列满足，（，），求数列的通项公式；

（3）在满足②的条件下，求数列的前项和．

77.数列的前项和为，且．

（2）若数列满足：

，求数列的通项公式；

（3）令，求数列的项和．

78.已知等比数列满足，．

（2）记，求数列的前项和；

（3）设数列的前项和为，若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围．

79.已知数列，，，，为该数列的前项和．

（1）计算，，，；

（2）根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法证明．

80.已知直线与函数的图象相切于点．

（1）求实数的值；

（2）证明除切点外，直线总在函数的图象的上方；

（3）设，，是两两不相等的正实数，且，，成等比数列，试判断与的大小关系，并证明你的结论．

81.数列满足，．

（1）设，求证是等比数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）设，数列的前项和为，求证：

82.已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且，，．

（2）记，，证明．

83.已知和均为给定的大于的自然数．设集合，集合．

（1）当，时，用列举法表示集合；

（2）设，，，其中，．证明：

若，则．

84.已知数列满足（为实数，且），，，，且，，成等差数列．

（1）求的值和的通项公式；

（2）设，，求数列的前项和．

85.各项均为正数的数列中，，是数列的前项和，对任意，有

（1）求常数的值；

（3）记，求数列的前项和．

86.

（1）等差数列的前项和是，已知，，求；

（2）设等差数列的前项和是，若，，求；

（3）若一个等差数列前项的和为，最后项的和为，且所有项的和为，求这个数列的项数；

（4）已知数列的通项公式是，求数列的前项和并说出判断数列是等差数列的基本方法．

87.已知数列的前项和为，，．

（2）求；

（3）证明：

存在，使得．

88.已知数列的前项和为，且满足．

（1）求，的值；

89.正项数列的前n项和满足：

（2）令，数列的前项和为，证明：

对于任意的，都有．

90.已知数列与满足，．

（1）若，且，求数列的通项公式；

（2）设的第项是最大项，即，求证：

数列的第项是最大项；

（3）设，，求的取值范围，使得有最大值与最小值，且．

91.已知数列中，，，数列满足．

（2）求数列中的最大项和最小项，并说明理由．

92.在数列中，，，其中．

（3）证明存在，使得对任意均成立．

93.设数列的前项和为．已知．

（2）若数列满足，求的前项和．

94.已知数列，满足，并且（为非零参数，）．

（1）若，，成等比数列，求参数的值；

（2）当时，证明；

（3）当时，证明

．

95.已知等差数列的公差为，等比数列的公比为．设，．

（1）若，，，求的值；

（2）若，证明，；

（3）若正整数满足，设和是的两个不同的排列，，，证明．

96.在数列中，，且对任意，，，成等差数列，其公差为．

（1）证明，，成等比数列；

（3）记，证明．

97.在数列与中，，，数列的前项和满足，为与的等比中项，．

（2）求数列与的通项公式；

（3）设，，证明，．

98.在数列中，，且对任意．，，成等差数列，其公差为．

（1）若，证明，，成等比数列；

（2）若对任意，，，成等比数列，其公比为．

（i）设．证明是等差数列；

（ii）若，证明．

99.各项均为正数的等比数列，，，单调递增数列的前项和为，，且

（1）求数列，的通项公式

（2）令

（1）求数列的前项和

（2）若，证明：

对任意的整数，有

100.已知数列与满足：

，，，且，．

（1）求，，的值；

（2）设，，证明：

是等比数列；

（3）设，，证明：

答案

第一部分

1.A2.D【解析】解析：

由题意知=S_{1}·

S_{4}，则（a_{1}+a_{1}-1）^2=a_{1}（4a_{1}-6），解得a_{1}=-．故选D．

答案：

D

3.B4.B【解析】由题意解得或

因为等比数列的项不能为零，故．

所以公差为．

5.D

【解析】若，，则不为递减数列，若为递减数列，则还可能，，所以既不充分，也不必要．

6.A【解析】由，解得，，所以

7.B【解析】因为为等差数列，且，，成等比数列，

所以，

所以，．

8.B【解析】因为，所以，于是，当且仅当即时“”成立．

9.B10.A

11.B【解析】本题计算的是：

12.D【解析】由，，得

解得，从而

13.C【解析】设等差数列的公差为，

因为，，

所以解得，．

所以．

14.B【解析】由，得，即，．

又，所以．

15.D

【解析】因为，所以，所以，即．

16.B【解析】该程序表达的是以为首项，公差为的等差数列，

若输出，则上一步为，

17.B【解析】由题意，，，

所以，，解得，所以．

18.C【解析】，．

19.C20.B

【解析】由题意知：

因为数列为调和数列，

所以是等差数列，

又因为，

21.C【解析】因为，

22.C【解析】设数列的首项为，则，即，

故是的必要而不充分条件．

23.B24.B【解析】设等比数列公比为，则，又因为，

所以，解得，所以.

25.A

【解析】等差数列中，

因为，

设公差等于，则有，故．

26.B【解析】因为是等差数列的前项和，

所以数列是等差数列．

所以公差，首项为，

27.A【解析】由题意，

因为为等比数列，

所以也为等比数列，

且，，

28.B【解析】因为，，

所以当时，，

所以数列中奇数项、偶数项分别成等比数列，

29.C【解析】因为，

所以，，

累加得，

30.C

【解析】，，，，，，

通过观察发现，从第项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和，

因此，，，，，．

第二部分

31.

32.

【解析】由知，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.

33.

【解析】设等比数列的公比为，依题意有

，解得，．

34.

35.

【解析】公差．

36.

【解析】由题意知，，，所以，所以，又，所以．

37.

【解析】由题意，，，

38.

39.

40.

41.

42.

【解析】首项，公差．

43.16

【解析】由题意可得所以．

44.

【解析】由递推公式，得

则奇数项是常数列；

偶数项是公差为的等差数列，

所以，

45.

【解析】由数表看出，第行的第一个数为，且每一行中的数构成以为公差的等差数列，

则第行与第列的交叉点上的数应该是．

46.

47.

【解析】由等差数列的性质和求和公式可得：

48.

49.

【解析】因为，

则，

的前项和为

50.

【解析】因为数列中，，，，

所以，，，

51.

【解析】设等比数列的公比为，

由，，成等差数列，可得，所以，即．

解得，或（舍去）．

52.

【解析】由表可知：

第行个数；

所以第行个数．

所以不妨令，解得，所以应为第行．

53.，

54.

【解析】

当且仅当，即时等号成立．

55.

【解析】因为是等比数列，

所以可化为，

所以．，

56.

【解析】由已知

所以当时，有最大值．

57.

所以当为奇数时，，即数列的奇数项构成一个首项为，公差为的等差数列，

当为偶数时，．

所以

58.

59.

【解析】因为为“梦想数列”，

所以，即，是以为公比的等比数列．

所以，又因为，所以．

60.

第三部分

61.

（1）因为

所以

（2）因为

62.

（1）设等差数列的公差为，

依题意得解得，．

（2）．

（3），

所以是首项，公比的等比数列，

所以．

63.

（1）因为，所以，．

（2）由已知，故

64.

（1）因为，

所以时，；

时，

由时，，

（2）因为，，

所以时，

时，也成立．

（3），前项和，

所以时，，

化为：

，

所以

时也成立．

（4）因为，

所以数列是等差数列，首项为，公差为，

65.

（1）设等差数列的公差为，由得，所以．

，所以，所以．

（2）由，得．

得：

66.

（1）因为，，所以，即，

所以，所以或（舍去）．

又，所以，所以，所以，．

（2），

记，

则．

记

则

①-②得

67.

（1）设数列的公比为．由已知，有，解得或．

又由，知，所以．

解得，所以．

（2）由题意得，，

即是首项为，公差为的等差数列．

设数列的前项和为，则

68.

（1），

为定值．

所以为等差数列．

由已知，

将代入式得，

所以，得证．

69.

（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．

由已知，得，而，

又因为，解得．

所以，．

由，可得

联立，解得，，由此可得．

所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为．

（2）设数列的前项和为，

由，，有，

故，

，

上述两式相减，得

得．

所以，数列的前项和为．

70.

（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．

由，可得．

由，可得，联立①②，解得，，由此可得．

所以，的通项公式为，的通项公式为．

（2）设数列的前项和为，由，有