关于e和ex级数型展开式的规律分析数学专业毕业设计.docx

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关于e和ex级数型展开式的规律分析数学专业毕业设计

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关于和级数型展开式的规律分析

xxx

xxx大学数学与计算机科学学院数学与应用数学专业2009级数学班

【摘要】：

众所周知，的幂级数展开形式为：

其中，取时，得到：

下面，我们问：

级数，，，，是什么？

事实上，研究幂函数级数更为方便，因为我们可以用微积分作工具。

对令，由于右端幂级数的收敛半径为：

，故对有定义。

特别地，当时，有。

本文通过计算论证，得出：

，其中是关于的一个次多项式这一结论。

将多项式的系数作成一个无穷阶的矩阵：

，文中对矩阵的各行、列、斜方向进行分析、总结，从而得出结论。

【关键词】：

幂级数的展开；微积分；递推公式；多项式；矩阵

Aboutandseriestypeexpansionanalysisofthelaw

xxx

Grade2009,Mathclass,mathematicsandappliedmathematicsmajor，SchoolofMathematics&Computerscienceofxxxxxxx

Instructor:

xx

Abstract:

Aseveryoneknows,formofpowerseriesexpansion:

Amongthem,take,are:

Below,weask:

whatistheprogression，，，，.

Infact,researchofthepowerfunctionprogressionmoreconvenient,becausewecanusecalculusasatool.

For,,duetotheradiusofconvergenceoftherightendpowerseriesareasfollows:

Therefore,toisdefined.Inparticular,when,.

Demonstratedbycalculation,thispaperconcludesthat:

Amongthemisaboutxkpolynomialoftheconclusion.Willofpolynomialcoefficientintoamatrixofinfiniteorder,rememberto,ofthematrixrows,columnsandobliquedirectionofanalysis,summarized,todrawconclusions.

Keywords:

Thedevelopmentofpowerseries;Differentialandintegralcalculus;Therecursiveformula;Polynomial;Matrix

在微积分中，我们知道：

更一般地，有：

下面，我们首先来研究，当时，：

令

猜想1：

其中。

下面，我们需要验证猜想1是否正确。

答案：

猜想1正确。

在验证猜想1之前，我们先来讨论当时的情形，即

当时，有：

令

由微积分知：

有上述运算可得下面定理：

定理1：

满足下列递推公式：

证明：

，

。

由定理1可知：

由上述计算，我们猜想2：

其中，是关于的多项式。

下面我们来验证猜想2是否正确。

因为

所以

则

所以

综上，有以下定理：

定理2：

满足下列递推公式：

证明：

见上述分析。

有定理2知：

于是，有

故，有成立，且是关于的次多项式。

由上述分析，我们可以归纳为：

将多项式的系数排列成一个无穷阶矩阵，即：

当时，有以下关系：

因为

所以

即：

据此，我们验证了猜想1是正确的。

一般地，有：

当时，；

当时,，，

因为

所以

故其中，。

下面，我们对无穷阶矩阵作以下分析：

、纵向关系（列关系）

当时，符合条件

故有：

、斜向关系（对角线关系）

当时，，

即：

故有：

、横向关系（行关系）

第一行：

第二行：

第三行：

第四行：

第五行：

第六行：

第行：

当时，

即：

其中不存在

其中不存在

所以时，条件满足。

故有：

其中为行数且

综上述三种情况分析，我们有以下计算公式：

其中，。

总结：

本文通过计算找规律的方法，得出幂级数函数的递推公式，即定理1。

本文还验证了两个猜想，使文章更加严密。

本文通过计算论证，得出：

，其中是关于的一个次多项式这一结论。

在定理1的基础上我们得到了关于多项式的递推公式，即定理2。

将多项式的系数作成一个无穷阶的矩阵：

，文中对矩阵的各行、列、斜方向进行分析、总结，从而得出：

其中，的结论。

致谢

感谢和我一起走过大学四年的好朋友们,是他们一路的陪伴与爱护,才有了我现在的成绩．他们是我成长的见证,有着值得我永远珍惜的友情．他们的待人处事,治学态度将会影响我的一生．

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].第三版.北京：

高等教育出版社，2001（2009重印）.

[2]易大义，沈云宝，李有法.计算方法[M].第二版.杭州：

浙江大学出版社，2007.1（2010.7重印）.

[3]筑生.数学分析新讲[M].北京:

北京大学出版社,1990.

[4]刘玉莲,傅沛仁.数学分析讲义[M].第二版.北京:

高等教育出版社,1996.

[5]刘鸿基.数学分析习题讲义[M].江苏:

中国矿业大学出版社,1999.

[6]石建成,李佩芝,徐文雄.高等数学例题与习题集[M].西安:

西安交通大学出版社,2002.

[7]李惜雯.数学分析例题解析及难点注释[M].西安:

西安交通大学出版社,2004.

[8]周建莹,李正元.高等数学解题指南[M].北京:

北京大学出版社,2002.

[9]刘剑秋,徐绥,高立仁.高等数学习题集（上）[M].天津:

天津大学出版社,1987.

[10]张贤科，许甫华.高等代数[M].清华大学出版社，1998.

[11]张禾瑞,高等代数[M].北京：

高等教育出版社，1989，7.