高届理科数学一轮复习课件金太阳新考案第十五单元156二项分布与正态分布.docx
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高届理科数学一轮复习课件金太阳新考案第十五单元156二项分布与正态分布
§15.6 二项分布与正态分布
一
条件概率及其性质
1.对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率叫作 ,用符号 来表示,其公式为P（B|A）=（P（A）＞0）.在古典概型中,若用n（A）表示事件A中基本事件的个数,则P（B|A）=（n（AB）表示AB共同发生的基本事件的个数）.
2.条件概率具有的性质:
（1） ;
（2）若B和C是两个互斥事件,则P（B∪C|A）= .
二
相互独立事件
1.对于事件A,B,若A的发生与B的发生互不影响,则称 .
2.若A与B相互独立,则P（B|A）= ,P（AB）=P（B|A）P（A）= .
3.若A与B相互独立,则A与,与B,与也都相互独立.
4.若P（AB）=P（A）P（B）,则 .
三
独立重复试验与二项分布
1.独立重复试验:
在 条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.Ai（i=1,2,…,n）表示第i次试验结果,则P（A1A2A3…An）= .
2.二项分布:
在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率是p,此时称随机变量X服从二项分布,记作 ,并称p为 .在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P（X=k）= （k=0,1,2,…,n）.
四
正态分布
1.定义
如果对于任何实数a,b（a＜b）,随机变量X满足P（a＜X≤b）=φμ,σ（x）dx,其中φμ,σ（x）=e－,x∈（－∞,＋∞）,那么称随机变量X服从正态分布,记为 .
2.正态曲线的性质
（1）曲线位于x轴 ,与x轴不相交,与x轴之间的面积为1;
（2）曲线是单峰的,它关于直线 对称;
（3）曲线在 处达到峰值;
（4）当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ ,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越集中;σ ,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;
（5）当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.
3.正态分布在三个特殊区间内取值的概率值
（1）P（μ－σ＜X≤μ＋σ）= ;
（2）P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）= ;
（3）P（μ－3σ＜X≤μ＋3σ）= .
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一、1.条件概率 P（B|A）
2.
（1）0≤P（B|A）≤1
（2）P（B|A）＋P（C|A）
二、1.A,B是相互独立事件 2.P（B） P（A）P（B）
4.A与B相互独立
三、1.相同 P（A1）P（A2）…P（An）
2.X~B（n,p） 成功概率 pk（1－p）n－k
四、1.X~N（μ,σ2）
2.
（1）上方
（2）x=μ （3）x=μ （4）越小 越大
3.
（1）0.6827
（2）0.9545 （3）0.9973
1某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）.
A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45
【试题解析】记事件A表示“一天的空气质量为优良”,事件B表示“随后一天的空气质量为优良”,P（A）=0.75,P（AB）=0.6.由条件概率,得P（B|A）===0.8.
【参考答案】A
2先后抛掷硬币三次,则至少一次正面朝上的概率是（ ）.
A.B.C.D.
【试题解析】三次均反面朝上的概率是=,所以至少一次正面朝上的概率是1－=.
【参考答案】D
3一袋中有大小相同的5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取1个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X次球,则P（X=12）等于（ ）.
A.C1012×0×
B.2×0×
C.1×0×
D.1×0×
【试题解析】由题意知,第12次取到红球,前11次中恰有9次红球和2次白球.因为每次取到红球的概率为,所以P（X=12）=1×××=1×0×.
【参考答案】D
4设随机变量ξ~N（2,1）,若P（ξ＞3）=m,则P（1＜ξ＜3）等于（ ）.
A.－2m
B.1－m
C.1－2m
D.－m
【试题解析】因为随机变量ξ~N（2,1）,所以随机变量ξ服从正态分布,且正态曲线的对称轴为x=2.因为P（ξ＞3）=m,所以P（ξ＜1）=m,因此P（1＜ξ＜3）=1－2P（ξ＞3）=1－2m.
【参考答案】C
题型一
条件概率
【例1】
（1）从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A为“取到的2个数之和为偶数”,事件B为“取到的2个数均为偶数”,则P（B|A）=（ ）.
A.B.C.D.
（2）如图,EFGH是以O为圆心,1为半径的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”,则P（B|A）= .
【试题解析】
（1）（法一）事件A包括的基本事件有（1,3）,（1,5）,（3,5）,（2,4）,共4个,即n（A）=4.事件AB发生的结果只有（2,4）一种情形,即n（AB）=1.故由古典概型概率公式得P（B|A）==.故选B.
（法二）P（A）==,P（AB）==.由条件概率计算公式得P（B|A）===.故选B.
（2）由题意得,P（A）===.
事件AB表示“豆子落在△OHE内”,
则P（AB）===.
故P（B|A）===.
【参考答案】
（1）B
（2）
计算概率,有两种思路:
（1）利用定义,分别求P（A）和P（AB）,得P（B|A）=,这是求条件概率的一般方法;
（2）借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n（A）,再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n（AB）,得P（B|A）=.
【追踪训练1】
（1）袋中装有标号为1,2,3的三个小球,从中任取一个,记下它的号码,放回袋中,这样连续做三次.若抽到各球的机会均等,事件A表示“三次抽到的号码之和为6”,事件B表示“三次抽到的号码都是2”,则P（B|A）=（ ）.
A.B.C.D.
（2）已知甲在上班途中要经过两个路口,在第一个路口遇到红灯的概率为0.5,两个路口连续遇到红灯的概率为0.4,则甲在第一个路口遇到红灯的条件下,第二个路口遇到红灯的概率为（ ）.
A.0.6B.0.7C.0.8D.0.9
【试题解析】
（1）因为P（A）==,P（AB）==,所以P（B|A）==.
（2）设“第一个路口遇到红灯”为事件A,“第二个路口遇到红灯”为事件B,则P（A）=0.5,P（AB）=0.4,所以P（B|A）==0.8.故选C.
【参考答案】
（1）A
（2）C
题型二
相互独立事件的概率
【例2】已知甲、乙、丙三人同时到某用人单位应聘,他们能被聘用的概率分别为,,,且各自能否被聘用是相互独立的,求:
（1）三人都被聘用的概率;
（2）有两人被聘用的概率;
（3）三人中有几人被聘用的事件最易发生.
【试题解析】设甲、乙、丙能被聘用的事件分别为A、B、C,则P（A）=,P（B）=,P（C）=.
（1）设三人都被聘用的概率为P1,因为事件A,B,C相互独立,所以P1=P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=××=.
（2）设三人中有两人被聘用的概率为P2,可分为以下三种情况:
甲未被聘用,乙、丙被聘用,则P（BC）=P（）P（B）P（C）=××=;
乙未被聘用,甲、丙被聘用,则P（C）=P（A）P（）P（C）=××=;
丙未被聘用,甲、乙被聘用,则P（）=P（A）P（B）P（）=××=.
上述三个事件是两两互斥的,所以P2==.
（3）三人都未被聘用的概率为P3,则P3=P（）=P（）P（）P（）=××=,
三人中有且只有一人被聘用的概率为P4,则P4=1－（P1＋P2＋P3）=1－=.
又,所以三人中有且只有一人被聘用的概率最大,即此事件最易发生.
求相互独立事件同时发生的概率的主要方法:
（1）利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解;
（2）正面计算较烦琐（如求用“至少”表述的事件的概率）时,可从其对立事件入手计算.
【追踪训练2】某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为、.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.
（1）求至少有一种新产品研发成功的概率.
（2）若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.
【试题解析】记E={甲组研发新产品成功},F={乙组研发新产品成功},由题设知P（E）=,P（）=,P（F）=,P（）=,且事件E与F,E与,与F,与都相互独立.
（1）记H={至少有一种新产品研发成功},则=,于是P（）=P（）=P（）P（）=×=,
故所求的概率为P（H）=1－P（）=1－=.
（2）设企业可获利润为X（万元）,则X的可能取值为0,100,120,220,因为P（X=0）=P（）=×=,P（X=100）=P（F）=×==,
P（X=120）=P（E）=×=,P（X=220）=P（EF）=×==.
故所求的分布列为
X
0
100
120
220
P
题型三
独立重复试验与二项分布
【例3】近几年来,我国许多地区经常出现雾霾天气,某学校为了学生的健康,对课间操活动做了如下规定:
课间操时间若有雾霾则停止组织集体活动,若无雾霾则组织集体活动.预报得知,这一地区在未来5天的课间操时间出现雾霾的概率是前3天均为50%,后2天均为80%,且每一天出现雾霾与否是相互独立的.
（1）求未来5天至少1天停止组织集体活动的概率;
（2）求未来5天不需要停止组织集体活动的天数X的分布列;
（3）用η表示该校未来5天停止组织集体活动的天数,记“函数f（x）=x2－ηx－1在（3,5）上有且只有一个零点”为事件A,求事件A发生的概率.
【试题解析】
（1）未来5天都组织集体活动的概率P=·=,
则至少有一天停止组织集体活动的概率是1－P=.
（2）X的可能取值是0,1,2,3,4,5,
则P（X=0）=,
P（X=1）=×××==,
P（X=2）=×××=,
P（X=3）=×××=,
P（X=4）=×××=,P（X=5）==.
所以X的分布列是
X
0
1
2
3
4
5
P
（3）函数f（x）=x2－ηx－1在（3,5）上有且只有一个零点,且0≤η≤5,
则f（3）f（5）＜0,＜η＜,故η=3或η=4,
故P（A）=×××＋××××==.
常见的二项分布的简单应用问题是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率.解题的一般思路是根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n,p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率.
【追踪训练3】某气象站天气预报的准确率为80%,求:
（结果保留到小数点后第2位）
（1）5次预报中恰有2次准确的概率;
（2）5次预报中至少有2次准确的概率;
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