正弦定理例题Word下载.docx
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15．在△ABC中，已知a＝2，cosC＝，S△ABC＝43，则b＝________.
16．在△ABC中，b＝43，C＝30°
，c＝2，则此三角形有________组解．
17．△ABC中，ab＝603，sinB＝sinC，△ABC的面积为3，求边b的长．
正弦定理
abasinB
解析：
选A.应用正弦定理得：
b＝6.
sinAsinBsinA
asinB
选C.A＝45°
，由正弦定理得b＝46.
sinA
abbsinA2
选C.由正弦定理＝sinB＝，又∵a>
b，∴BsinAsinBa2
选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6.5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°
A．1B.C．224
bc2×
sin30°
选A.C＝180°
－105°
－45°
＝30°
，由c＝1.
sinBsinCsin45°
cosAb
bsinBcosAsinB
选D.∵＝，∴＝
asinAcosBsinA
sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B
即2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝2
33B.243333D.242
ABAC3
选D.，求出sinC＝，∵AB＞AC，
sinCsinB2
∴∠C有两解，即∠C＝60°
或120°
，∴∠A＝90°
或30°
.
再由S△ABC＝AB·
ACsinA可求面积．
2
6B．23D.2
62
选D.由正弦定理得，
sin120°
sinC
∴sinC2
又∵C为锐角，则C＝30°
，∴A＝30°
，△ABC为等腰三角形，a＝c＝2.
π
ac
＝
sinAsinC
a·
sinC1
所以sinA＝.
c2
ππ
又∵a＜c，∴A＜CA＝36
π答案：
6
3ab
由正弦定理得＝
sinAsinB12bsinA3
?
sinB＝＝a432
答案：
C＝180°
－120°
－30°
，∴a＝c，
ab12×
sin30°
由＝得，a＝＝，sinAsinBsin120°
∴a＋c＝83.答案：
812．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．
由正弦定理，得a＝2R·
sinA，b＝2R·
sinB，代入式子a＝2bcosC，得2RsinA＝2·
2R·
sinB·
cosC，所以sinA＝2sinB·
cosC，即sinB·
cosC＋cosB·
sinC＝2sinB·
cosC，化简，整理，得sin（B－C）＝0.∵0°
＜B＜180°
，0°
＜C＜180°
，∴－180°
＜B－C＜180°
，∴B－C＝0°
，B＝C.答案：
等腰三角形
a＋b＋ca311
由正弦定理得＝＝＝12，又S△ABC＝bcsinA，∴
22sinA＋sinB＋sinCsinAsin60°
×
12×
sin60°
c＝183，
∴c＝6.
126
由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3得，∠A＝30°
，∠C＝90°
，
a1
∴2R＝＝2，
sinAsin30°
又∵a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
a－2b＋c2R?
sinA－2sinB＋sinC?
∴＝＝2R＝2.sinA－2sinB＋sinCsinA－2sinB＋sinC答案：
2
1
221
依题意，sinC＝S△ABC＝absinC＝43，
解得b＝23.答案：
23
∵bsinC＝＝23且c＝2，
∴c17．如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角（指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°
的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°
，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°
，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？
解：
在△ABC中，BC＝＝20，
∠ABC＝140°
－110°
，∠ACB＝（180°
－140°
）＋65°
＝105°
，所以∠A＝180°
－（30°
＋105°
）＝45°
，由正弦定理得
BC·
sin∠ABCAC＝
20sin30°
＝2（km）．sin45°
即货轮到达C点时，与灯塔A的距离是102km.
CC1
18．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝23，cos，sinBsinC
224
A
＝cosA、B及b、c.
CC11
由sinsinC＝
2242
π5π
又C∈（0，π），所以CC＝66A
由sinBsinC＝cos
21
sinBsinC－cos（B＋C）]，
即2sinBsinC＝1－cos（B＋C），
即2sinBsinC＋cos（B＋C）＝1，变形得cosBcosC＋sinBsinC＝1，
即cos（B－C）＝1，所以B＝C＝B＝C＝（舍去），
66
2π
A＝π－（B＋C）＝3abc
由正弦定理，得
sinAsinBsinC
12sinB
b＝c＝a22.
sinA3
2ππ
故A＝，B＝b＝c＝2.
36
19．（2019年高考四川卷）在△ABC中，A、B为锐角，角A
、B、C所对应的边分别为a、b、
310
c，且cos2A＝，sinB.
（1）求A＋B的值；
（2）若a－b＝2－1，求a，b，c的值．
510
10
（1）∵A、B为锐角，sinB＝，
3∴cosB＝1－sinB＝103525
又cos2A＝1－2sin2AsinA＝cosA＝
555
∴cos（A＋B）＝cosAcosB－sinAsinB253105102＝－.
5105102
又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝4
3π
（2）由
（1）知，C＝sinC＝.
42abc
由正弦定理：
得
5a＝10b＝2c，即a＝2b，c5b.
∵a－b＝2－12b－b＝2－1，∴b＝1.∴a2，c＝5.
20．△ABC中，ab＝603，sinB＝sinC，△ABC的面积为3，求边b的长．
由S＝sinC得，3＝×
603×
sinC，
∴sinC＝C＝30°
或150°
又sinB＝sinC，故∠B＝∠C.当∠C＝30°
时，∠B＝30°
，∠A＝120°
ab
又∵ab＝603，＝b＝15.
sinAsinB
当∠C＝150°
时，∠B＝150°
（舍去）．
篇二：
正弦定理习题及答案
正弦定理习题及答案
一、选择题（每小题5分，共20分）
11．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinB＝2，sinA＝，2
则b的值为（）
A．2
C．6
由正弦定理得b＝B．4D．8asinB24.sinA12
B
2．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC是（）
A．等边三角形
C．直角三角形
∵sin2A＝sin2B＋sin2C.
∴由正弦定理可得a2＝b2＋c2
∴△ABC是直角三角形．
C
3．在△ABC中，若A＝60°
，b＝6，则a等于（）A.
C.6B．3D．36B．等腰三角形D．锐角三角形
∵B＝180°
－（60°
＋75°
36×
2bsinA∴a＝＝36.sinB2
D
4．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）
A．b＝10，A＝45°
，B＝70°
C．a＝7，b＝5，A＝80°
B．a＝60，c＝48，B＝100°
D．a＝14，b＝16，A＝45°
D中，bsinA＝2，a＝14，所以bsinAD.
二、填空题（每小题5分，共10分）
5．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比为a∶b∶c为________．
解析：
∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°
∴A＝90°
，B＝60°
，C＝30°
设abc＝＝k，sinAsinBsinC
3k，c＝ksinC＝22则a＝ksinA＝k，b＝ksinB＝
∴a∶b∶c＝2∶3∶1.
23∶1
6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知a＝15，b＝2，A＝60°
，则tanB＝________.
bsinA231解析：
由正弦定理得sinB＝×
，a1525
根据题意，得b故BcosB＝1－sinB＝
sinB1故tanB＝＝cosB21答案：
三、解答题（每小题10分，共20分）
7．
（1）在△ABC中，已知A＝30°
，a＝6，b＝3，求B.
（2）在△ABC中，已知A＝60°
，a＝6，b＝2，求B.
623解析：
（1）在△ABC中，由正弦定理可得＝sin30°
sinB
解得sinB＝222.5
∵b>
a，∴B>
A.
∴B＝45°
62
（2）在△ABC中，由正弦定理可得＝sin60°
解得sinB＝22
∵b∴B＝45°
a28．在△ABC中，若sinB＝＝B为锐角，试判断△ABC的形状．c2
∵sinB＝
2，且B为锐角，22
∴B＝45°
a2∵＝.c2
sinA∴由正弦定理得，sinC2
又∵A＋C＝135°
∴sin（135°
－C）整理得cosC＝0.
∴C＝90°
，A＝45°
∴△ABC是等腰直角三角形．尖子生题库☆☆☆
9．（10分）△ABC的各边均不相等，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且acosA＝bcosa＋bB的取值范围．c
∵acosA＝bcosB，
∴sinAcosA＝sinBcosB，
∴sin2A＝sin2B.
∵2A,2B∈（0,2π），
∴2A＝2B或2A＋2B＝π，
π∴A＝B或A＋B＝.2
如果A＝B，则a＝b不符合题意，
π∴A＋B＝2
a＋bsinA＋sinB∴sinA＋sinB＝sinA＋cosAcsinC
π2sin（A＋，4
π∵a≠b，C＝2
ππ0，且A∴A∈?
?
24
a＋b∴（12）．c
2sinC，2
篇三：
正弦定理典型例题与知识点
正弦定理
教学重点：
教学难点：
正弦定理的正确理解和熟练运用,边角转化。
多解问题
1.正弦定理：
在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即
abc
==siAnsinBsinC
2.三角形面积公式
在任意斜△ABC当中S△ABC=absinC?
acsinB?
bcsinA3.正弦定理的推论：
===2R（R为△ABC外接圆半径）sinAsinBsinC
12
4.正弦定理解三角形
1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角；
2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。
3）已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:
（多解情况）
1若A为锐角时:
○
无解?
a?
bsinA?
一解（直角）?
bsinA
bsinA?
b二解（一锐,一钝）?
b一解（锐角）?
已知边a,b和?
A
a无解
a=CH=bsinA仅有一个解
CH=bsinA?
b无解
2若A为直角或钝角时:
○
b一解（锐角）
1、已知中，，，则角等于（D）
A．B．C．D．
2、ΔABC的内角
A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sinA=，
b
=sinB，则a等于（D）
A．3B．C．D．
1.在?
ABC中，若sin2A?
sin2B，则?
ABC一定是（）
3.在Rt△ABC中，C=
，则sinAsinB的最大值是_______________.
[解析]∵在Rt△ABC中，C=
，∴sinAsinB?
sinAsin（
A）?
sinAcosA
1?
1sin2A，∵0?
A?
∴0?
2A?
∴A?
时，sin
AsinB取得最大值。
13,cosB?
，则角C的大小是__________210
4.
若?
ABC中，tanA?
解析
tanA?
cosB?
O?
B?
?
sinB?
tanB?
23?
tanC?
tan（?
B）?
tan（A?
tanA?
tanB3?
1,?
C?
tanAtanB?
14
7.在△ABC中，已知2a?
b?
c，sinA?
sinBsinC，试判断△ABC的形状。
由正弦定理
abcab
2R得：
sinA?
，sinB?
，sinAsinBsinC2R2R
sinC?
c。
2R
2R2R
2a2bc2
）?
所以由sinA?
sinBsinC可得：
（，即：
bc。
又已知2a?
c，所以4a2?
（b?
c）2，所以4bc?
c）2，即（b?
c）2?
0，因而b?
c。
故由2a?
c得：
2a?
2b，a?
b。
所以a?
c，△ABC为等边三角形。
６．在?
ABC中，
sinBsinA
是A?
B成立的（C）ab
Ａ．必要不充分条件Ｂ．充分不必要条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件
1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°
则a等于
A.答案D
3.下列判断中正确的是
（）
B.2
C.3D.2
A.△ABC中，a=7，b=14，A=30°
有两解B.△ABC中，a=30,b=25,A=150°
，有一解C.△ABC中，a=6,b=9，A=45°
，有两解D.△ABC中，b=9,c=10,B=60°
无解答案B
4.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC一定是
A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形答案B
10.在△ABC中，已知a=3,b=,B=45°
求A、C和c.解∵B=45°
＜90°
且asinB＜b＜a,∴△ABC有两解.由正弦定理得sinA=
asinB3sin45?
==,b22
则A为60°
①当A=60°
时，C=180°
-（A+B）=75°
c=
bsinC2sin75?
==sinBsin45?
2sin（45?
30?
）?
=.
sin45?
②当A=120°
-（A+B）=15°
bsinC2sin15?
故在△ABC中，A=60°
C=75°
c=
6?
2?
或A=120°
C=15°
c=.
22
12.在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a+b）sin（A-B）=（a-b）sin（A+B），判断三角形的形状.
解方法一已知等式可化为a［sin（A-B）-sin（A+B）］=b［-sin（A+B）-sin（A-B）］∴2acosAsinB=2bcosBsinA
由正弦定理可知上式可化为：
sinAcosAsinB=sinBcosBsinA
∴sinAsinB（sinAcosA-sinBcosB）=0∴sin2A=sin2B,由0＜2A,2B＜2?
得2A=2B或2A=?
-2B,即A=B或A=
-B,∴△ABC为等腰或直角三角形.2
方法二同方法一可得2acosAsinB=2bsinAcosB
222
b2?
c2?
a22a?
c?
b22222222
由正、余弦定理,可得ab=ba∴a（b+c-a）=b（a+c-b）
2bc2ac
即（a-b）（a+b-c）=0∴a=b或a+b=c∴△ABC为等腰或直角三角形.
2．在△ABC中，已知∠B＝45°
，c＝2，b＝A等于（）
3A．15°
B．75°
C．105°
D．75°
或15°
22222222
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