学年高一上学期期末考试数学试题 2.docx
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学年高一上学期期末考试数学试题2
一、选择题：
（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）
1.已知cos（＋φ）＝且|φ|<，则tanφ等于（ ）
A.－B.－C.D.
【答案】B
【解析】利用诱导公式可得：
，
结合可得：
，
利用同角三角函数基本关系有：
.
本题选择B选项.
2.已知,,则用表示为（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由对数的运算法则结合换底公式有：
，
且：
，
据此可得：
.
本题选择C选项.
3.下列大小关系正确的是（）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】试题分析：
根据指数的性质可知：
，，根据对数的性质,所以，故选择D.
考点：
1.指数对数的比较大小；2.指数、对数的运算性质.
4.已知函数，则函数y=f（x）的大致图象为（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】函数是一个非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故排除，又当时，函数值等于，故排除，故选A.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择综合考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
5.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】由弦长公式，可得，其中是弦所在的圆的半径，是弦所对圆心角，是弦长，解得，所以这个圆心角所对的弧长为，故选B.
6.下列关系正确的是（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由集合与元素的关系可得：
，...............
由集合与集合的关系可得：
，
结合所给选项可知只有A选项正确.
本题选择A选项.
7.设函数，则的值为（）
A.B.1C.2D.0
【答案】C
【解析】由题意可知：
，故，故选C.
8.下列函数中在区间上为增函数的是（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】的对称轴在区间上不是增函数，故错；又的底数大于小于，单调递减，故错；的底数大于小于，为减函数，故错；中，指数在单调递增，故正确，故选C.
9.设函数，且为奇函数，则（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】设，则，由奇函数的性质有：
，
则.
本题选择D选项.
10.根据表格中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是（）
－1
0
1
2
3
0．37
1
2．72
7．39
20．09
1
2
3
4
5
A.（－1，0）B.（1，2）C.（0，1）D.（2，3）
【答案】B
【解析】令，则函数具有连续性，结合题中所给的表格可知：
，
利用函数零点存在定理可得：
方程的一个根所在的区间是（1，2）.
本题选择B选项.
点睛：
利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）＜0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点．
11.可推得函数在区间上为增函数的一个条件是（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】当时，，函数是R上的减函数，不合题意，
否则，满足题意时同时考查二次函数的开口方向和对称轴应有：
或.
只有选项D符合题意.
本题选择D选项.
点睛：
二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：
①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
12.已知函数，若实数是方程的解，且，则的值（ ）
A.恒为正值B.恒为负值C.等于0D.不能确定
【答案】A
【解析】由于实数是方程的解，则，
由于在上递减,在上递增，
则在上递减，
由于,则，
即有，
本题选择A选项.
二、填空题：
（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
在答题卡上的相应题目的答题区域内作答）
13.求值：
________
【答案】
【解析】由题意结合对数、指数的运算法则有：
.
14.方程的实数解为_______.
【答案】
【解析】试题分析：
令t=3x（t＞0）
则原方程可化为：
（t﹣1）2=9（t＞0）
∴t﹣1=3，t=4，即x=log34可满足条件
即方程的实数解为log34．
考点：
函数的零点
点评：
本题考查的知识点是根的存在性，利用换元法将方程转化为一个一元二次方程是解答本题的关键，但在换元过程中，要注意对中间元取值范围的判断
视频
15.已知函数,则=____________
【答案】-2
【解析】时，，，，故答案为.
【思路点睛】本题主要考查函数的周期性、诱导公式以及特殊角的三角函数、分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是高考命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清出，思路清晰.本题解答分两个层次：
首先利诱导公式以及特殊角的三角函数用求出的值，再利用周期性求出的值，然后求和即可得结果.
16.给出下列命题，其中正确的序号是__________________（写出所有正确命题的序号）
①函数的图像恒过定点；
②已知集合，则映射中满足的映射共有1个；
③若函数的值域为，则实数的取值范围是；
④函数的图像关于对称的函数解析式为
【答案】①④
【解析】①当时，总有，函数的图像恒过定点，故①正确；②已知集合，则映射中满足的映射共有个，故②错误；③若函数的值域为，则，故实数的取值范围是，故③错误；④因为函数与互为反函数，所以的图象关于直线对称的函数解析式为，故④正确，故答案为①④.
三、解答题．（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）
17.已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】
（1）；
（2）．
【解析】试题分析：
（1）当时，，求交集即可；
（2），即A是B的子集，结合数轴分析即可得到不等关系，从而求解.
试题解析：
（1）若，
集合，．
则；
（2）若，则即，
所以实数的取值范围是．
点睛：
本题考查集合的交并补运算，涉及函数定义域值域问题，属于容易题.解决集合问题，首先要化简集合，一般要进行不等式求解，函数定义域、值域等相关问题的处理，化简完成后，进行集合的交并补相关运算，注意利用数轴，数形结合，特别是端点处值的处理，一定要细心谨慎.
18.设函数（且），若的图象过点（1，7）．
（1）求的值及的零点．
（2）求不等式的解集
【答案】
（1）;
（2）
【解析】试题分析：
（1）由的图象过点得，令求解零点即可；
（2）由即，进而得，有即可得解.
试题解析：
（）∵经过点，
即，
又∵，
∴，
∴时，
解得，
零点为．
（）∵即，
∴，
∴，
∴，
∴不等式解集为．
19.已知cos（75°＋α）＝，α是第三象限角，
（1）求sin（75°＋α）的值．
（2）求cos（α－15°）的值．
（3）求sin（195°－α）+cos（105o－α）的值．
【答案】
（1）－;
（2）－;（3）.
【解析】试题分析：
（1）由题意可得是第四象限角，结合同角三角函数基本关系可得；
（2）利用诱导公式和
（1）的结论可得cos（α－15°）的值为
（3）由题意结合诱导公式可得：
sin（195°－α）+cos（105o－α）＝－sin[90°－（75°＋α）]－cos（75°＋α）.
试题解析：
（1）∵cos（75°＋α）＝>0，α是第三象限角，
∴75°＋α是第四象限角，
且sin（75°＋α）＝
（2）cos（α－15°）=cos[90°－（75°＋α）]=sin（75°＋α）=－
（3）sin（195°－α）+cos（105o－α）
＝sin[180°＋（15°－α）]+cos[180oo－（75°＋α）]
＝－sin（15°－α）－cos（75°＋α）
＝－sin[90°－（75°＋α）]－cos（75°＋α）
＝－2cos（75°＋α）＝.
20.已知角的张终边经过点，且为第二象限．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】
（1）;
（2）.
【解析】试题分析：
（1）由三角函数的定义可得，解得，又为第二象限角，所以。
（2）由
（1）可得，化简，代入的值可得结果。
试题解析：
（1）由三角函数定义可知，
解得
为第二象限角，
.
（2）由知,
21.已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）若函数的最小值为，求的值.
【答案】
（1）.
（2）.
【解析】试题分析：
（1）根据对数函数的真数大于零列不等式组，解不等式组即可求得函数的定义域；
（2）根据对数的运算法则化简函数的解析式，利用对数函数的单调性，结合二次函数的最值，求出函数的最小值，列出关于的方程，解出即可.
试题解析：
（1）要使函数有意义，则有，
解得，所以定义域为.
（2）函数可化为
，
又，，即的最小值为
由，得，.
【方法点晴】本题主要考查函数的定义域、二次函数的最值以及复合函数的单调性，属于中档题.定义域的三种类型及求法：
（1）已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式（组）求解；
（2）对实际问题：
由实际意义及使解析式有意义构成的不等式（组）求解；（3）若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.
22.已知函数（＞0，≠1，≠﹣1），是定义在（﹣1，1）上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）当=1时，判断函数在（﹣1，1）上的单调性，并给出证明；
（3）若且，求实数的取值范围.
【答案】
（1）m=1．
（2）见解析；（3）.
【解析】试题分析：
（1）由函数是奇函数，对定义域内的所有自变量成立，可得对定义域内的都成立，可得，从而可求出实数的值；
（2）先先根据单调性的定义判断并证明真数的单调性，分别两种情况讨论对数底数的范围，结合复合函数的单调性即可判断函数在上的单调性；（3）先根据得到的范围，再结合其为奇函数把转化为，利用第二问的单调性即可求出实数的取值范围.
试题解析：
（1）∵函数是奇函数，∴
∴∴；∴
∴，
整理得对定义域内的都成立．∴．
所以或（舍去）∴．
（2）由
（1）可得；令
设，则
∵∴，∴．
当时，，即．
∴当时，在（﹣1，1）上是减函数．
当时，，即．
∴当时，在（﹣1，1）上是增函数．
（3）∵，∴，
由，得，
∵函数是奇函数，∴，
故由
（2）得在（﹣1，1）上是增函数，∴
解得∴实数的取值范围是。
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