全国通用版201X201x高中数学 第一章 常用逻辑用语 141 全称量词 142 存.docx

全国通用版201X201x高中数学 第一章 常用逻辑用语 141 全称量词 142 存.docx

《全国通用版201X201x高中数学 第一章 常用逻辑用语 141 全称量词 142 存.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国通用版201X201x高中数学 第一章 常用逻辑用语 141 全称量词 142 存.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

全国通用版201X201x高中数学第一章常用逻辑用语141全称量词142存

1.4.1全称量词1.4.2存在量词

学习目标　1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题与特称命题的真假，并掌握其判定方法．

知识点一　全称量词、全称命题

思考　观察下面的两个语句，思考下列问题：

P：

m≤5；

Q：

对所有的m∈R，m≤5.

上面的两个语句是命题吗？

二者之间有什么关系？

答案　语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．

梳理　

（1）全称量词及全称命题的概念

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．

（2）表示

将含有变量x的语句用p（x），q（x），r（x），…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”可用符号简记为∀x∈M，p（x），读作“对任意x属于M，有p（x）成立”．

（3）全称命题的真假判定

要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p（x）成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x0∈M，使得p（x0）不成立即可．

知识点二　存在量词、特称命题

思考　找出下列命题的共同特征，并判断其真假．

（1）存在x0∈R，x≤0；

（2）有些三棱锥是正四面体．

答案　所给命题都是真命题，它们都表示“存在”的意思．

梳理　

（1）存在量词及特称命题的要命

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做特称命题．

（2）表示

特称命题“存在M中的元素x0，使p（x0）成立”可用符号简记为∃x0∈M，p（x0），读作“存在M中的元素x0，使p（x0）成立”．

（3）特称命题的真假判定

要判定一个特称命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p（x0）成立即可，否则这一特称命题就是假命题．

（1）“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．（×）

（2）全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．（√）

（3）全称命题中一定含有全称量词，特称命题中一定含有存在量词．（×）

类型一　判断命题的类型

例1　将下列命题用“∀”或“∃”表示．

（1）实数的平方是非负数；

（2）方程ax2＋2x＋1＝0（a＜1）至少存在一个负根；

（3）若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α.

考点　量词与命题

题点　全称（特称）命题的符号表示

解　

（1）∀x∈R，x2≥0.

（2）∃x0＜0，ax＋2x0＋1＝0（a＜1）．

（3）若∀a⊂α，l⊥a，则l⊥α.

反思与感悟　判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词．由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．

跟踪训练1　判断下列命题是全称命题还是特称命题．

（1）梯形的对角线相等；

（2）存在一个四边形有外接圆；

（3）二次函数都存在零点；

（4）过两条平行线有且只有一个平面．

考点　量词与命题

题点　全称（存在）量词的识别

解　命题

（1）完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显然为全称命题．

命题

（2）为特称命题．

命题（3）完整的表述为“所有的二次函数都存在零点”，故为全称命题．

命题（4）是命题“过任意两条平行线有且只有一个平面”的简写，故为全称命题．

类型二　判断命题的真假

例2　判断下列命题的真假．

（1）∀x∈R，x2－x＋1＞；

（2）∃α，β，cos（α－β）＝cosα－cosβ；

（3）存在一个函数既是偶函数又是奇函数；

（4）每一条线段的长度都能用正有理数表示；

（5）存在一个实数x0，使等式x＋x0＋8＝0成立．

考点　特称（全称）命题的真假性判断

题点　特称（全称）命题真假的判断

解　

（1）真命题，∵x2－x＋1－＝x2－x＋

＝2＋≥＞0，∴x2－x＋1＞恒成立．

（2）真命题，例如α＝，β＝，符合题意．

（3）真命题，函数f（x）＝0既是偶函数又是奇函数．

（4）假命题，如：

边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数．

（5）假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31＜0，故无实数解．

反思与感悟　要判定全称命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p（x）都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p（x0）不成立，那么这个全称命题就是假命题．

要判定特称命题“∃x0∈M，p（x0）”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p（x0）成立即可；如果在集合M中，使p（x）成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题．

跟踪训练2　判断下列命题的真假．

（1）有一些奇函数的图象过原点；

（2）∃x0∈R,2x＋x0＋1<0；

（3）∀x∈R，sinx＋cosx≤.

考点　特称（全称）命题的真假性判断

题点　特称（全称）命题真假的判断

解　

（1）该命题中含有“有一些”，是特称命题．如

y＝x是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题．

（2）该命题是特称命题．

∵2x＋x0＋1＝22＋≥>0，

∴不存在x0∈R，使2x＋x0＋1<0.故该命题是假命题．

（3）该命题是全称命题．

∵sinx＋cosx＝sin≤恒成立，

∴对任意实数x，sinx＋cosx≤都成立，故该命题是真命题．

类型三　利用全称命题和特称命题求参数的值或取值范围

例3　已知下列命题p（x）为真命题，求x的取值范围．

（1）命题p（x）：

x＋1>x；

（2）命题p（x）：

x2－5x＋6>0；

（3）命题p（x）：

sinx>cosx.

考点　全称命题的真假性判断

题点　恒成立求参数的取值范围

解　

（1）∵x＋1>x，∴1>0（此式恒成立），∴x∈R.

（2）∵x2－5x＋6>0，∴（x－2）（x－3）>0，

∴x>3或x<2.

（3）∵sinx>cosx，∴2kπ＋

反思与感悟　已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路．

解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制．

跟踪训练3　已知命题p：

“∃x0∈R，sinx0＜m”，命题q：

“∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立”，若p，q均为真命题，求实数m的取值范围．

考点　简单逻辑联结词的综合应用

题点　由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围

解　因为“∃x0∈R，sinx0＜m”是真命题，所以m＞－1.

又因为“∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立”是真命题，

所以Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.

又p，q均为真命题，

所以实数m的取值范围是（－1,2）.

1．下列命题中，是正确的全称命题的是（　　）

A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0

B．菱形的两条对角线相等

C．∃x0，＝x0

D．对数函数在定义域上是单调函数

考点　全称量词与全称命题

题点　全称命题的识别

答案　D

2．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是（　　）

A．存在一个α，使tan（90°－α）＝tanα

B．存在实数x0，使sinx0＝

C．对一切α，sin（180°－α）＝sinα

D．对任意α，β，sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

考点　特称命题的真假性判断

题点　特称命题真假的判断

答案　A

3．命题“有些负数满足不等式（1＋x）（1－9x）＞0”用“∃”或“∀”可表述为____________．

考点　存在量词与特称命题

题点　特称命题的符号表示

答案　∃x0＜0，（1＋x0）（1－9x0）＞0

4．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假．

（1）所有实数x都能使x2＋x＋1＞0成立；

（2）对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；

（3）一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立；

（4）所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数．

考点　量词与命题

题点　全称（特称）命题的符号表示

解　

（1）∀x∈R，x2＋x＋1＞0；真命题．

（2）∀a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解；假命题．

（3）∃x0，y0∈Z,3x0－2y0＝10；真命题．

（4）∀x∈Q，x2＋x＋1是有理数；真命题．

利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧

（1）转化为恒成立问题：

含参数的全称命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理，最终通过构造函数转化为求函数的最值问题．

（2）转化为方程或不等式有解问题：

含参数的特称命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决．

一、选择题

1．下列说法正确的个数是（　　）

①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题；

②命题“∀x∈R，x2＋2＜0”是全称命题；

③命题“∃x0∈R，x＋4x0＋4≤0”是特称命题．

A．0B．1C．2D．3

考点　量词与命题

题点　特称（全称）命题的识别

答案　C

解析　只有②③正确．

2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是（　　）

A．锐角三角形的内角是锐角或钝角

B．至少有一个实数x，使x2≤0

C．两个无理数的和必是无理数

D．存在一个负数x，使＞2

考点　存在量词与特称命题

题点　特称命题的真假判断

答案　B

3．已知命题“∃x0∈R，使2x＋（a－1）x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1）B．（－1,3）

C．（－3，＋∞）D．（－3,1）

考点　特称命题的真假性判断

题点　由特称命题真假性求参数的取值范围

答案　B

解析　原命题的否定为∀x∈R,2x2＋（a－1）x＋>0，

由题意知，原命题的否定为真命题，则Δ＝（a－1）2－4×2×<0，则－2

4．已知命题“∃x0∈R，x＋ax0－4a<0”为假命题，则实数a的取值范围为（　　）

A．[－16,0]B．（－16,0）C．[－4,0]D．（－4,0）

考点　特称命题的真假性判断

题点　由特称命题真假性求参数的取值范围

答案　A

解析　由题意可知“∀x∈R，x2＋ax－4a≥0”为真命题，

∴Δ＝a2＋16a≤0，解得－16≤a≤0，故选A.

5．下面命题是真命题的是（　　）

A．∀x∈R，x3≥x

B．∃x0∈R，x＋1＜2x0

C．∀xy＞0，x－y≥2

D．∃x0，y0∈R，sin（x0＋y0）＝sinx0－siny0

考点　量词与命题

题点　全称（特称）命题的真假性判断

答案　D

6．若“∀x∈，cosx≤m”是真命题，则实数m的最小值为（　　）

A．－B．－C.D.

考点　全称命题的真假性判断

题点　恒成立求参数的取值范围

答案　C

7．下列全称命题中真命题的个数为（　　）

①负数没有对数；

②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；

③二次函数f（x）＝x2－ax－1与x轴恒有交点；

④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.

A．1B．2C．3D．4

考点　全称量词与全称命题

题点　全称命题的真假性判断

答案　C

解析　①②③为真命题；当x＝y＝0时，x2＋|y|＝0，

④为假命题．

二、填空题

8．若“∀x∈，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为_____