天津市南开中学届高三数学理统练18.docx

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天津市南开中学届高三数学理统练18

一、选择题（共8小题，每题5分）

1.如果抛物线的准线是直线，那么实数的值为（）

A．B．C．D．

2.设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）．

A.B．5C．D．

3.设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（）.

A.B.C.D.

4.过双曲线的右顶点作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,若，则双曲线的离心率是（）

A．B．C．D．

5.已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

6.已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为（）

A．B.C.D.

7.已知点,过点的直线与抛物线交于另外两点,则是（）

A．锐角三角形B．钝角三角形C.直角三角形D.不确定

8.点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且

，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是（）

A．直线上的所有点都是“点”

B．直线上仅有有限个点是“点”

C．直线上的所有点都不是“点”

D．直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”

二、填空题（共8道小题，每题5分）

9.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为　　　　　．

10.设双曲线的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为　　　　　　．

11.设集合,当在上变动时,所含元素个数组成的集合是.

12.在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为．

13.以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为

14.设为坐标原点，,是双曲线的焦点，若在双曲线上存在点，满足，,则该双曲线的渐近线方程为.

三、解答题

15.已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于、两点.（Ⅰ）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；

（Ⅱ）在轴上是否存在点，使为常数？

若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

16.已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于4？

若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

17．已知抛物线．过动点且斜率为1的直线与该抛物线

交于不同的两点,．

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线交轴于点，求面积的最大值．

18.设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．

（Ⅰ）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

（Ⅱ）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？

若存在，请指出共有几个这样的点？

并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

19.已知,动圆与均外切.

（Ⅰ）求动圆的圆心的轨迹的方程;

（Ⅱ）延长与曲线交于另一点,求的最小值;

20.抛物线C的方程为，过抛物线C上一点P（x0,y0）（x0≠0）作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A（x1,y1）,B（x2,y2）两点（P,A,B三点互不相同），且满足.

（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；

（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上；

（Ⅲ）当=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.

天津南开中学2015届高三数学统练18（理科·圆锥曲线）

一、选择题（共8小题，每题5分）

1.如果抛物线的准线是直线，那么实数的值为（）

A．B．C．D．

2.设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）．

A.B．5C．D．

3.设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（）.

A.B.C.D.

4.过双曲线的右顶点作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,若，则双曲线的离心率是（）

A．B．C．D．

5.已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

6.已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为（）

A．B.C.D.

7.已知点,过点的直线与抛物线交于另外两点,则是（）

A．锐角三角形B．钝角三角形C.直角三角形D.不确定

8.点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且

，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是（）

A．直线上的所有点都是“点”

B．直线上仅有有限个点是“点”

C．直线上的所有点都不是“点”

D．直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”

二、填空题（共6道小题，每题5分）

9.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为　　　　　．

10.设双曲线的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为　　　　　　．

11.设集合,当在上变动时,所含元素个数组成的集合是.

12.在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为．

13.以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为

14.设为坐标原点，,是双曲线的焦点，若在双曲线上存在点，满足，,则该双曲线的渐近线方程为.

三、解答题

15.已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于、两点.（Ⅰ）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；

（Ⅱ）在轴上是否存在点，使为常数？

若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

16.已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于4？

若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

17．已知抛物线．过动点且斜率为1的直线与该抛物线

交于不同的两点,．

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线交轴于点，求面积的最大值．

18.设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．

（Ⅰ）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

（Ⅱ）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？

若存在，请指出共有几个这样的点？

并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

19.已知,动圆与均外切.

（Ⅰ）求动圆的圆心的轨迹的方程;

（Ⅱ）延长与曲线交于另一点,求的最小值;

20.抛物线C的方程为，过抛物线C上一点P（x0,y0）（x0≠0）作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A（x1,y1）,B（x2,y2）两点（P,A,B三点互不相同），且满足.

（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；

（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上；

（Ⅲ）当=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.

天津南开中学2015届高三数学统练18答案

一、选择题BDCCCACA

二、填空题9.310.11.12.13.14.

三、解答题

16.已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于4？

若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

16.（Ⅰ）依题意，可设椭圆C的方程为，且可知左焦点为

，从而有，解得，

又，所以，故椭圆的方程为.

（Ⅱ）假设存在符合题意的直线，其方程为，由得，因为直线与椭圆有公共点，所以有，解得，又由直线与的距离4可得：

，从而，

由于，所以符合题意的直线不存在.

17．已知抛物线．过动点且斜率为1的直线与该抛物线

交于不同的两点,．

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线交轴于点，求面积的最大值．

17．（Ⅰ）直线的方程为，将，

得．设直线与抛物线两个不同交点的坐标为、，

则又，

∴．∵，∴．

解得．

（Ⅱ）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为，则由中点坐标公式，得

，．

∴．又为等腰直角三角形，

∴，∴

即面积最大值为

18.设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．

（Ⅰ）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

（Ⅱ）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？

若存在，请指出共有几个这样的点？

并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

18.解.（Ⅰ）由得，

当得，G点的坐标为，

，，过点G的切线方程为

即，

令得，点的坐标为，

由椭圆方程得点的坐标为，

即，即椭圆和抛物线的

方程分别为和.

（Ⅱ）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,

以为直角的只有一个，同理以为直角的只有一个.若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和，

.令

则,由韦达定理,该方程有正负各一根.

所以关于的二次方程有一大于零的解，因此有两解，即以为直角的有两个,因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形.

19.已知,动圆与均外切.

（Ⅰ）求动圆的圆心的轨迹的方程;

（Ⅱ）延长与曲线交于另一点,求的最小值;

由是焦点,则

=,故的最小值为6.

20.解：

（Ⅰ）由抛物线的方程（）得，焦点坐标为，准线方程为．

（Ⅱ）证明：

设直线的方程为，直线的方程为．点和点的坐标是方程组

的解．将②式代入①式得，于是，故　③

又点和点的坐标是方程组的解．将⑤式代入④式得．于是，故．由已知得，，则．　　⑥

设点的坐标为，由，则．

将③式和⑥式代入上式得，即．

∴线段的中点在轴上．

（Ⅲ）因为点在抛物线上，所以，抛物线方程为．

由③式知，代入得．将代入⑥式得，代入得．因此，直线、分别与抛物线的交点、的坐标为，．

于是，，则有

．因为钝角且、、三点互不相同，故必有．求得的取值范围是或．又点的纵坐标满足，故当时，；当时，．即.