两组不同的实数解
内切
d＝|r1－r2|（r1≠r2）
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|（r1≠r2）
无解
知识拓展
1．圆的切线方程常用结论
（1）过圆x2＋y2＝r2上一点P（x0，y0）的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
（2）过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2上一点P（x0，y0）的圆的切线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2.
（3）过圆x2＋y2＝r2外一点M（x0，y0）作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆的位置关系与公切线的条数：
①内含：
0条；②内切：
1条；③相交：
2条；④外切：
3条；⑤外离：
4条．
（2）当两圆相交时，两圆方程（x2，y2项系数相同）相减便可得公共弦所在直线的方程．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．（ × ）
（2）如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．（ × ）
（3）从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．
（ × ）
（4）过圆O：
x2＋y2＝r2上一点P（x0，y0）的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.（ √ ）
（5）过圆O：
x2＋y2＝r2外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.（ √ ）
（6）如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．（ √ ）
题组二 教材改编
2．[P128T4]若直线x－y＋1＝0与圆（x－a）2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．[－3，－1]B．[－1,3]
C．[－3,1]D．（－∞，－3]∪[1，＋∞）
答案 C
解析 由题意可得，圆的圆心为（a,0），半径为，
∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
3．[P133A组T9]圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．
答案 2
解析 由
得两圆公共弦所在直线为x－y＋2＝0.
又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝.由勾股定理得弦长的一半为＝，所以所求弦长为2.
题组三 易错自纠
4．若直线l：
x－y＋m＝0与圆C：
x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是（ ）
A．[－，]
B．[－2，2]
C．[－－1，－1]
D．[－2－1,2－1]
答案 D
解析 圆C的标准方程为（x－2）2＋（y－1）2＝4，圆心为（2,1），半径为2，圆心到直线的距离d＝，若直线与圆恒有公共点，则≤2，
解得－2－1≤m≤2－1，故选D.
5．（2018·石家庄模拟）设圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点（4,1），则两圆心的距离|C1C2|等于（ ）
A．4B．4
C．8D．8
答案 C
解析 因为圆C1，C2和两坐标轴相切，且都过点（4,1），所以两圆都在第一象限内，设圆心坐标为（a，a），则|a|＝，解得a＝5＋2或a＝5－2，
可取C1（5＋2，5＋2），C2（5－2，5－2），
故|C1C2|＝＝8，故选C.
6．过点A（3,5）作圆O：
x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为__________．
答案 5x－12y＋45＝0或x－3＝0
解析 化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得（x－1）2＋（y－2）2＝4，其圆心为（1,2），
∵|OA|＝＝>2，∴点A（3,5）在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k（x－3），即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为（1,2），半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝＝2，
即|3－2k|＝2，∴k＝，
故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.
题型一 直线与圆的位置关系
1．已知点M（a，b）在圆O：
x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是（ ）
A．相切B．相交
C．相离D．不确定
答案 B
解析 因为M（a，b）在圆O：
x2＋y2＝1外，
所以a2＋b2>1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离
d＝＝<1.
所以直线与圆相交．
2．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0（t∈R）的位置关系为（ ）
A．相离B．相切
C．相交D．以上都有可能
答案 C
解析 直线2tx－y－2－2t＝0恒过点（1，－2），
∵12＋（－2）2－2×1＋4×（－2）＝－5<0，
∴点（1，－2）在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内，
直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交，
故选C.
思维升华判断直线与圆的位置关系的常见方法
（1）几何法：
利用d与r的关系．
（2）代数法：
联立方程之后利用Δ判断．
（3）点与圆的位置关系法：
若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
题型二 圆与圆的位置关系
典例已知圆C1：
（x－a）2＋（y＋2）2＝4与圆C2：
（x＋b）2＋（y＋2）2＝1外切，则ab的最大值为
（ ）
A.B.C.D．2
答案 C
解析 由圆C1与圆C2外切，
可得＝2＋1＝3，即（a＋b）2＝9，根据基本不等式可知ab≤2＝，当且仅当a＝b时等号成立，ab的最大值为.
引申探究
1．若将本典例中的“外切”变为“内切”，求ab的最大值．
解 由C1与C2内切得＝1.
即（a＋b）2＝1，又ab≤2＝，当且仅当a＝b时等号成立，故ab的最大值为.
2．若将本典例条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程．
解 由题意把圆C1，圆C2的方程都化为一般方程，得
圆C1：
x2＋y2－2ax＋4y＋a2＝0，①
圆C2：
x2＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0，②
由②－①得（2a＋2b）x＋3＋b2－a2＝0，
即（2a＋2b）x＋3＋b2－a2＝0为所求公共弦所在直线方程．
思维升华 判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是
（1）确定两圆的圆心坐标和半径长；
（2）利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；
（3）比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．
跟踪训练（2017·重庆调研）如果圆C：
x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：
x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是______________________．
答案 （－2，0）∪（0,2）
解析 圆C的标准方程为（x－a）2＋（y－a）2＝4，圆心坐标为（a，a），半径为2.
依题意得0<<2＋2，∴0<|a|<2.
∴a∈（－2，0）∪（0,2）．
题型三 直线与圆的综合问题
命题点1 求弦长问题
典例（2016·全国Ⅲ）已知直线l：
mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2，则|CD|＝________.
答案 4
解析 设AB的中点为M，
由题意知，圆的半径R＝2，
|AB|＝2，所以|OM|＝3，
由|OM|＝＝3，
解得m＝－，
所以直线l：
x－y＋6＝0.
由
解得A（－3，），B（0，2），
则AC的直线方程为y－＝－（x＋3），
BD的直线方程为y－2＝－x，令y＝0，
解得C（－2,0），D（2,0），所以|CD|＝4.
命题点2 直线与圆相交求参数范围
典例已知过点A（0,1）且斜率为k的直线l与圆C：
（x－2）2＋（y－3）2＝1交于M，N两点．
（1）求k的取值范围；
（2）若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解
（1）由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，
因为l与C交于两点，所以<1.
解得所以k的取值范围为.
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．
将y＝kx＋1代入方程（x－2）2＋（y－3）2＝1，整理得
（1＋k2）x2－4（1＋k）x＋7＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
·＝x1x2＋y1y2
＝（1＋k2）x1x2＋k（x1＋x2）＋1
＝＋8.
由题设可得＋8＝12，解得k＝1，
所以l的方程为y＝x＋1.
故圆心C在l上，所以|MN|＝2.
命题点3 直线与圆相切的问题
典例已知圆C：
（x－1）2＋（y＋2）2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
（1）与直线l1：
x＋y－4＝0平行；
（2）与直线l2：
x－2y＋4＝0垂直；
（3）过切点A（4，－1）．
解
（1）设切线方程为x＋y＋b＝0，
则＝，∴b＝1±2，
∴切线方程为x＋y＋1±2＝0.
（2）设切线方程为2x＋y＋m＝0，
则＝，∴m＝±5，
∴切线方程为2x＋y±5＝0.
（3）∵kAC＝＝，
∴过切点A（4，－1）的切线斜率为－3，
∴过切点A（4，－1）的切线方程为y＋1＝－3（x－4），
即3x＋y－11＝0.
思维升华直线与圆综合问题的常见类型及解题策略
（1）处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
（2）圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
跟踪训练
（1）过点（3,1）作圆（x－2）2＋（y－2）2＝4的弦，其中最短弦的长为________．
答案 2
解析 设P（3,1），圆心C（2,2），则|PC|＝，半径r＝2，由题意知最短的弦过P（3,1）且与PC垂直，所以最短弦长为2＝2.
（2）过点P（2,4）引圆（x－1）2＋（y－1）2＝1的切线，则切线方程为__________________．
答案 x＝2或4x－3y＋4＝0
解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k（x－2），即kx－y＋4－2k＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝＝＝1，
解得k＝，
∴所求切线方程为x－y＋4－2×＝0，
即4x－3y＋4＝0.
综上，切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
高考中与圆交汇问题的求解
考点分析 与圆有关的最
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