高中数学 18相关关系教学设计 北师大版必修3Word文件下载.docx
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
身高/cm
165
157
155
175
168
178
160
163
体重/kg
52
44
45
55
54
47
62
50
53
如何刻画两组数据之间的关系呢？
学生根据以前的经验能够意识到可以通过画图来直观地体现两组数据的关系，并独立作出下图：
（2）观察上图，你有什么发现？
在独立思考的基础上，学生可能回答：
1．身高越高，体重整体上在增长。
2．同一身高157cm对应着不同的体重44kg，47kg，体重不是身高的函数。
3．这些点看上去近似在一条直线上。
随着身高的增长，体重基本上是直线增加的趋势。
散点图：
在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图叫做变量之间的散点图。
借助上面的散点图，教师介绍线性相关、非线性相关、不相关关系。
正相关：
从刚才的散点图发现：
身高越高，体重整体上在增长，点的位置散布在从左下角到右上角的区域。
称它们成正相关。
负相关：
但有的两个变量的相关，如下图所示：
如高原含氧量与海拔高度的相关关系，海平面以上，海拔高度越高，含氧量越少。
作出散点图发现，它们散布在从左上角到右下角的区域内。
又如汽车的载重和汽车每消耗1升汽油所行使的平均路程，称它们成负相关.
即学即用
1.下列关系中,是带有随机性相关关系的是.
①正方形的边长与面积的关系;
②水稻产量与施肥量之间的关系;
③人的身高与年龄之间的关系;
④降雪量与交通事故发生之间的关系.
答案：
②③④
2.下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）
A．角度和它的余弦值
B.正方形边长和面积
C．正ｎ边形的边数和它的内角和
D.人的年龄和身高
答案;
D
典例分析：
一．利用散点图判断两个变量的相关性
例1：
某班5个学生的数学和物理成绩如表：
学生
学科
A
B
C
D
E
数学
80
75
70
65
60
物理
66
68
64
画出散点图，并判断它们是否有相关关系？
解 以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得相应的散点图如下图所示：
由散点图可见，两者之间具有相关关系．
例2：
有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出热饮杯数与当天气温的对比表：
温度
（℃）
－5
12
15
19
23
27
31
36
热饮
杯数
156
150
132
128
130
116
104
89
93
76
（1）画出散点图；
（2）你能从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律吗？
解题导引 判断变量间是否线性相关，一种常用的简便可行的方法就是作散点图．
散点图是由大量数据点分布构成的，是定义在具有相关关系的两个变量基础之上的，对于性质不明确的两组数据可先作散点图，直观地分析它们有无关系及关系的密切程度．
解
（1）以x轴表示温度，以y轴表示热饮杯数，可作散点图，如图所示．
（2）从图中可以看出，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间是负相关关系，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少．
从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线附近．
二、回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线就叫做回归直线。
这条回归直线的方程，简称为回归方程。
1.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，变量之间具有函数关系
2.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系
3.如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系
只有散点图中的点呈条状集中在某一直线周围的时候，才可以说两个变量之间具有线性关系，才有两个变量的正线性相关和负线性相关的概念，才可以用回归直线来描述两个变量之间的关系
如何具体的求出这个回归方程呢？
方案一：
采用测量的方法：
先画一条直线，测量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就得到回归方程。
整体上最接近
方案二:
在图中选取两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同。
方案三:
在散点图中多取几组点，确定几条直线的方程，分别求出各条直线的斜率和截距的平均数，将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距。
上述三种方案均有一定的道理，但可靠性不强，我们回到回归直线的定义。
求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看，各点与直线的偏差最小”。
自测自评
1.下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）
A．角度和它的余弦值B.正方形边长和面积
C．正ｎ边形的边数和它的内角和D.人的年龄和身高
1．答案：
2．对变量x，y有观测数据（xi，yi）（i＝1,2，…，10），得散点图
（1）；
对变量u，v有观测数据（ui，vi）（i＝1,2，…，10），得散点图
（2）．由这两个散点图可以判断（ ）
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
2.答案：
C
3.下列两个变量之间的关系不具有线性关系的是（）
A.小麦产量与施肥值
B.球的体积与表面积
C.蛋鸭产蛋个数与饲养天数
D.甘蔗的含糖量与生长期的日照天数
4.下列变量之间是函数关系的是（）
A.当速度一定时，路程和时间
B.光照时间和果树亩产量
C.降雪量和交通事故发生率
D.每亩施用肥料量和粮食亩产量
5．下面现象间的关系属于线性相关关系的是（）
A.圆的周长和它的半径之间的关系
B.价格不变条件下,商品销售额与销售量之间的关系
C.家庭收入愈多,其消费支出也有增长的趋势
D.正方形面积和它的边长之间的关系
6．下列关系中是函数关系的是（）
A.球的半径长度和体积的关系
B.农作物收获和施肥量的关系
C.商品销售额和利润的关系
D.产品产量与单位成品成本的关系
课堂小结
1.变量间相关关系的概念
2.散点图正相关负相关
3.回归直线
2019-2020年高中数学1.9最小二乘估计教学设计北师大版必修3
【目标引领】
1．教学目标：
了解非确定性关系中两个变量的统计方法；
掌握散点图的画法及在统计中的作用，掌握
回归直线方程的求解方法。
2．教法指导：
①求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实标意义．否则，求出的回归直线方程毫无意义．因此，对一组数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性．
②求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a、b，由于求a、b的计算量较大，计算时仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误．
③回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用．应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对情况进行估测、补充．因此，学过回归直线方程以后，应增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识．
1．解析视屏：
1．相关关系的概念
在实际问题中，变量之间的常见关系有两类：
一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示。
例如正方形的面积S与其边长之间的函数关系（确定关系）；
一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达。
例如一块农田的水稻产量与施肥量的关系（非确定关系）
相关关系：
自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。
相关关系与函数关系的异同点：
相同点：
均是指两个变量的关系。
不同点：
函数关系是一种确定关系；
而相关关系是一种非确定关系；
函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；
而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。
2．求回归直线方程的思想方法
观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近，思考：
类似图中的直线可画几条？
引导学生分析，最能代表变量x与y之间关系的直线的特征：
即n个偏差的平方和最小，其过程简要分析如下：
设所求的直线方程为，其中a、b是待定系数。
则
，于是得到各个偏差。
显见，偏差的符号有正负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n个偏差的平方和
表示n个点与相应直线在整体上的接近程度。
记。
上述式子展开后，是一个关于a，b的二次多项式，应用配方法，可求出使Q为最小值时的a，b的值，即
其中
以上方法称为最小二乘法。
2．经典回放：
下列各组变量哪个是函数关系，哪个是相关关系？
（1）电压U与电流I
（2）圆面积S与半径R
（3）自由落体运动中位移s与时间t
（4）粮食产量与施肥量
（5）人的身高与体重
（6）广告费支出与商品销售额
分析：
解：
前三小题中一个变量的变化可以确定另一个变量的变化，两者之间是函数关系。
对于粮食与施肥量，两者确实有非常密切的关系，实践证明，在一定的范围内，施肥量越多，粮食产量就越高，但是，施肥量并不能完全确定粮食产量，因为粮食产量还与其他因素的影响有关，如降雨量、田间管理水平等。
因此，粮食与施肥量之间不存在确定的函数关系。
人的身高与人的体重也密切相关，一般来说，一个人的身高越高，体重也越重，但同样身高的人，其体重不一定相同，身高和体重这两个变量之间并不是严格的函数关系。
广告费支出与商品销售额有密切的关系，但广告费的支出不能完全决定商品的销售额。
由此可见，后三小题各对变量之间的关系是相关关系。
点评：
不要认为两个变量间除了函数关系，就是相关关系，事实是上，两个变量间可能毫无关系。
比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系。
已知10只狗的血球体积及红血球的测量值如下：
ｘ
42
46
48
35
58
40
39
y
6.53
6.30
9.25
7.50
6.99
5.90
9.49
6.20
6.55
7.72
ｘ（血球体积，ｍｍ），ｙ（血红球数，百万）
（1）画出上表的散点图;
（2）求出回归直线并且画出图形。
（１）见下图
（２）
设回归直线为，
，
所以所求回归直线的方程为，图形如下:
对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数a、b的计算公式，算出a、b．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误．求线性回归方程的步骤：
计算平均数；
计算的积，求；
计算；
将结果代入公式求ａ；
用求ｂ；
写出回归方程。
例3 随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚．车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题．某汽车销售公司做了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限x与所支出的总费用y（万元）有如下的数据资料：
使用年限x
总费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料，知y对x呈线性相关关系．试求：
（1）线性回归方程y＝bx＋a的回归系数a、b；
（2）估计使用年限为10年时，车的使用总费用是多少？
解
（1）列表：
i
xi
yi
xiyi
4.4
11.4
22.0
32.5
42.0
x
16
25
＝4，
＝5，
＝90，
iyi＝112.3
于是b＝
＝
＝1.23；
a＝
－b
＝5－1.23×
4＝0.08.
（2）线性回归方程是y＝1.23x＋0.08，当x＝10（年）时，y＝1.23×
10＋0.08＝12.38（万元），即估计使用10年时，支出总费用约是12.38万元．
点评 求线性回归方程应给出线性回归系数公式，在求解时为了使计算更准确可以先制表，这样使计算过程更具条理性．
【课堂练习】
1.下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ D ）
2．某市纺织工人的月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为y=50+80x，则下列说法中正确的是（C）
A．劳动生产率为1000元时，月工资为130元
B．劳动生产率提高1000元时，月工资提高约为130元
C．劳动生产率提高1000元时，月工资提高约为80元
D．月工资为210元时，劳动生产率为xx元
3．设有一个回归方程为y=2-1.5x，则变量x每增加一个单位时，y平均（C）
A．增加1.5单位B．增加2单位C．减少1.5单位D．减少2单位
4．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人们，体重y（kg）依身高x（cm）的回归方程为y=0.72x-58.5。
张红红同学不胖不瘦，身高1米78，他的体重应在（69.66）kg左右。
5.给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：
施化肥量x
20
30
水稻产量y
330
345
365
405
445
450
455
（1）画出上表的散点图;
（2）求出回归直线并且画出图形
（1）散点图（略）．
（2）表中的数据进行具体计算，列成以下表格
4950
6900
9125
12150
15575
18000
20475
故可得到
。
6．在某种产品表面进行腐蚀线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间对应的一组数据：
时间t（s）
10
90
120
深度y（μm）
13
17
29
（2）试求腐蚀深度y对时间t的回归直线方程。
（1）散点图略，呈直线形.
（2）经计算可得：
故所求的回归直线方程为。
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