高中数学 第一章 统计 17 相关性教案 北师大版必修3.docx
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高中数学第一章统计17相关性教案北师大版必修3
2019-2020年高中数学第一章统计1.7相关性教案北师大版必修3
教学分析
变量之间的关系是人们感兴趣的问题．教科书通过身高与体重的关系，引导学生考察变量之间的关系，在教师的引导下，可使学生认识到在现实世界中存在不能用函数模型描述的变量关系，从而体会研究变量之间的相关关系的重要性．
三维目标
1．通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系．
2．明确事物间的相互联系．认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外，仍存在大量的非确定性的相关关系，并利用散点图直观体会这种相关关系．
重点难点
教学重点：
通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系；利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系；根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．
教学难点：
变量之间相关关系的理解；作散点图和理解两个变量的正相关和负相关．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.在学校里，老师对学生经常这样说：
“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题．”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系．这种说法有没有根据呢？
请同学们如实填写下表（在空格中打“√”）：
好
中
差
你的数学成绩
你的物理成绩
学生讨论：
我们可以发现自己的数学成绩和物理成绩存在某种关系（似乎就是数学好的，物理也好；数学差的，物理也差，但又不全对．）.物理成绩和数学成绩是两个变量，从经验看，由于物理学习要用到比较多的数学知识和数学方法．数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定影响的，但决非唯一因素，还有其他因素，如是否喜欢物理，用在物理学习上的时间等．（总结：
不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定他的物理成绩能达到多少．但这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系．如何通过数学成绩的结果对物理成绩进行合理估计有非常重要的现实意义．）为很好地说明上述问题，我们开始学习变量之间的相关关系和两个变量的线性相关．（教师板书课题）
思路2.某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿的出生率低，于是，他就得出一个结论：
天鹅能够带来孩子．你认为这样得到的结论可靠吗？
如何证明这个结论的可靠性？
教师点出课题．
推进新课
1．粮食产量与施肥量有关系吗？
“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平也越高．教师的水平与学生的水平有什么关系？
你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的成语吗？
2．两个变量间的相关关系是什么？
有几种？
3．如何判断两个变量间的相关关系？
讨论结果：
1．粮食产量与施肥量有关系，一般是在标准范围内，施肥越多，粮食产量越高；教师的水平与学生的水平是相关的；能举出，如水滴石穿，三人行必有我师等．
我们还可以举出现实生活中存在的许多相关关系的问题．例如：
商品销售收入与广告支出经费之间的关系．商品销售收入与广告支出经费有着密切的联系，但商品销售收入不仅与广告支出多少有关，还与商品质量、居民收入等因素有关．
粮食产量与施肥量之间的关系．在一定范围内，施肥量越大，粮食产量就越高．但是，施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素．因为粮食产量还要受到土壤质量、降雨量、田间管理水平等因素的影响．
人体内的脂肪含量与年龄之间的关系．在一定年龄段内，随着年龄的增长，人体内的脂肪含量会增加，但人体内的脂肪含量还与饮食习惯、体育锻炼等有关，可能还与个人的先天体质有关．
应当说，对于上述各种问题中的两个变量之间的相关关系，我们都可以根据自己的生活、学习经验作出相应的判断，因为“经验当中有规律”．但是，不管你的经验多么丰富，如果只凭经验办事，还是很容易出错的．因此，在分析两个变量之间的相关关系时，我们需要一些有说服力的方法．
在寻找变量之间相关关系的过程中，统计同样发挥着非常重要的作用．因为上面提到的这种关系，并不像匀速直线运动中时间与路程的关系那样是完全确定的，而是带有不确定性．这就需要通过收集大量的数据（有时通过调查，有时通过实验），在对数据进行统计分析的基础上，发现其中的规律，才能对它们之间的关系作出判断．
2．相关关系的概念：
自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫作相关关系．两个变量之间的关系分两类：
①确定性的函数关系，例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等；
②带有随机性的变量间的相关关系，例如“身高者，体重也重”，我们就说身高与体重这两个变量具有相关关系．相关关系是一种非确定性关系．
如商品销售收入与广告支出经费之间的关系．（商品销售收入还与商品质量、居民收入、生活环境等有关）
3．两个变量间的相关关系的判断：
①作出散点图．②根据散点图中变量的对应点的离散程度，可以准确地判断两个变量是否具有相关关系．
例如：
在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：
年龄
23
27
38
41
45
49
50
脂肪
9.5
17.8
21.2
25.9
27.5
26.3
28.2
年龄
53
54
56
57
58
60
61
脂肪
29.6
30.2
31.4
30.8
33.5
35.2
34.6
分析数据：
大体上来看，随着年龄的增加，人体中脂肪的百分比也在增加．我们可以作散点图来进一步分析．
散点图的概念：
将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫作散点图，如图1.
图1
通过散点图我们可以看出，年龄越大，体内脂肪含量越高．图中点的趋势表明两个变量之间确实存在一定的关系，这个图支持了我们从数据表中得出的结论．
如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系．如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．
正相关与负相关的概念：
如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，称为正相关．如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，称为负相关．（注：
散点图的点如果几乎没有什么规则，则这两个变量之间不具有相关关系）
思路1
例1下列关系中，带有相关关系的是________（填序号）．
①正方形的边长与面积之间的关系
②水稻产量与施肥量之间的关系
③人的身高与年龄之间的关系
④降雪量与交通事故的发生率之间的关系
分析：
两变量之间的关系有两种：
函数关系与带有随机性的相关关系．①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具备相关关系．④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．因此填②④.
答案：
②④
例2有关法律规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语．吸烟是否一定会引起健康问题？
有些人说：
“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”，这种说法对吗？
解：
从已经掌握的知识来看，吸烟会损害身体的健康，但是除了吸烟之外，还有许多其他的随机因素影响身体健康，人体健康是很多因素共同作用的结果．我们可以找到长寿的吸烟者，也更容易发现由于吸烟而引发健康问题的患病者，所以吸烟不一定引起健康问题，但吸烟引起健康问题的可能性较大．因此“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”这种说法是不对的．
点评：
在探究问题的过程中，如果能够从两个变量的观察数据之间发现相关关系是极为有意义的，由此可以进一步研究二者之间是否蕴涵因果关系，从而发现引起这种相关关系的本质原因是什么．本题的意义在于引导学生重视对统计结果的解释，从中发现进一步研究的问题．
思路2
例1有时候，一些东西吃起来口味越好，对我们的身体越有害．下表给出了不同类型的某种食品的数据．第二列表示此种食品所含热量的百分比，第三列数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价：
品牌
所含热量的百分比
口味记录
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
25
34
20
19
26
20
19
24
19
13
89
89
80
78
75
71
65
62
60
52
（1）作出这些数据的散点图．
（2）关于两个变量之间的关系，你能得出什么结论？
解：
（1）作出的散点图如图2.
图2
（2）这两个变量之间基本成正相关关系，即食品所含热量越高，口味越好．
例2一般说来，一个人的身高越高，他的手就越大，相应地，他的右手一拃长就越长，因此，人的身高与右手一拃长之间存在着一定的关系．为了对这个问题进行调查，我们收集了北京市某中学xx年高三年级96名学生的身高与右手一拃长的数据如下表．
性别
身高/cm
右手一拃长/cm
性别
身高/cm
右手一拃长/cm
女
152
18.5
女
153
16.0
女
156
16.0
女
157
20.0
女
158
17.3
女
159
20.0
女
160
15.0
女
160
16.0
女
160
17.5
女
160
17.5
女
160
19.0
女
160
19.0
女
160
19.0
女
160
19.5
女
161
16.1
女
161
18.0
女
162
18.2
女
162
18.5
女
163
20.0
女
163
21.5
女
164
17.0
女
164
18.5
女
164
19.0
女
164
20.0
女
165
15.0
女
165
16.0
女
165
17.5
女
165
19.5
女
166
19.0
女
167
19.0
女
167
19.0
女
168
16.0
女
168
19.0
女
168
19.5
女
170
21.0
女
170
21.0
女
170
21.0
女
171
19.0
女
171
20.0
女
171
21.5
女
172
18.5
女
173
18.0
女
173
22.0
男
162
19.0
男
164
19.0
男
165
21.0
男
168
18.0
男
168
19.0
男
169
17.0
男
169
20.0
男
170
20.0
男
170
21.0
男
170
21.5
男
170
22.0
男
171
21.5
男
171
21.5
男
171
22.3
男
172
21.5
男
172
23.0
男
173
20.0
男
173
20.0
男
173
20.0
男
173
20.0
男
173
21.0
男
174
22.0
男
174
22.0
男
175
16.0
男
175
20.0
男
175
21.0
男
175
21.2
男
175
22.0
男
176
16.0
男
176
19.0
男
176
20.0
男
176
22.0
男
176
22.0
男
177
21.0
男
178
21.0
男
178
21.0
男
178
22.5
男
178
24.0
男
179
21.5
男
179
21.5
男
179
23.0
男
180
22.5
男
181
21.1
男
181
21.5
男
181
23.0
男
182
18.5
男
182
21.5
男
182
24.0
男
183
21.2
男
185
25.0
男
186
22.0
男
191
21.0
男
191
23.0
（1）根据上表中的数据，制成散点图．你能从散点图中发现身高与右手一拃长之间的近似关系吗？
（2）如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系．
（3）如果一个学生的身高是188cm，你能估计他的右手一拃大概有多长吗？
解：
根据上表中的数据，制成的散点图如图3.
图3
从散点图上可以发现，身高与右手一拃长之间的总体趋势是成一直线，也就是说，它们之间是线性相关的．那么，怎样确定这条直线呢？
同学1：
选择能反映直线变化的两个点，例如（153,16），（191,23）两点确定一条直线．
同学2：
在图中放上一根细绳，使得上面和下面点的个数相同或基本相同．
同学3：
多取几组点对，确定几条直线方程．再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值，作为所求直线的斜率、截距．
同学4：
从左端点开始，取两条直线，如图4.再取这两条直线的“中间位置”作一条直线．
图4
同学5：
先求出相同身高同学右手一拃长的平均值，画出散点图，如图5，再画出近似的直线，使得在直线两侧的点数尽可能一样多．
图5
同学6：
先将所有的点分成两部分，一部分是身高在170cm以下的，一部分是身高在170cm以上的；然后，每部分的点求一个“平均点”——身高的平均数作为平均身高，右手一拃长的平均数作为平均右手一拃长，即（164,19），（177,21）；最后，将这两点连接成一条直线．
同学7：
先将所有的点按横坐标从小到大的顺序进行排列，尽可能地平均分成三等份；每部分的点按照同学3的方法求一个“平均点”，最小的点为（161.3,18.2），中间的点为（170.5，20.1），最大的点为（179.2,21.3）．如图6.求出这三个点的“平均点”为（170.3,19.9）．再用直尺连接最大点与最小点，然后平行地推，画出过点（170.3,19.9）的直线．
图6
同学8：
取一条直线，使得在它附近的点比较多．
在这里需要强调的是，身高和右手一拃长之间没有函数关系．我们得到的直线方程，只是对其变化趋势的一个近似描述．对一个给定身高的人，人们可以用这个方程来估计这个人的右手一拃长，这是十分有意义的．
一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：
零件数x/个
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
加工时间y/min
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122
（1）画出散点图；
（2）关于加工零件的个数与加工时间，你能得出什么结论？
答案：
（1）画出的散点图如图7.
图7
（2）加工零件的个数与所花费的时间呈正线性相关关系．
以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：
房屋面积/m2
115
110
80
135
105
销售价格/万元
24.8
21.6
18.4
29.2
22
（1）画出数据对应的散点图；
（2）指出是正相关还是负相关；
（3）关于销售价格y和房屋的面积x，你能得出什么结论？
解：
（1）数据对应的散点图如图8所示．
图8
（2）因为散点图中的点分布在从左下角到右上角的区域内，所以是正相关．
（3）关于销售价格y和房屋的面积x，房屋的面积越大，价格越高，它们呈正线性相关关系．
通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系．
习题1—7 1,2.
本节课学习了变量之间的相关关系和两个变量的线性相关的部分内容，通过身边的具体实例说明了两个变量的相关关系，并学会了利用散点图及其分布来说明两个变量的相关关系的种类，为下一节课作了铺垫，思路1和思路2的例题对知识进行了巩固和加强，另外，本节课通过选取一些学生特别关心的身边事例，对学生进行思想情操教育、意志教育和增强学生的自信心，促使学生养成良好的学习态度和学习方法．
数学家关肇直
关肇直（1919.2.13—1982.11.12），中国科学院院士，中国数学家，生于北京．原籍广东省南海县．父亲关葆麟早年留学德国，回国后任铁道工程师多年，于1932年去世；母亲陆绍馨，是北平女子师范大学的毕业生，曾从教于北京师范大学．关葆麟去世后，母亲以微薄的收入艰难地抚育关肇直及其弟妹多人．全国解放后，关肇直尽心亲侍慈母，直至其母亲1967年去世．关肇直于1959年1月与刘翠娥结婚，他们有两个女儿．刘翠娥系中国科学院工程物理研究所研究人员．
关肇直于1927年进入北京培华中学附属小学学习.1931年进入英国人办的崇德中学学习．学校对英文要求十分严格，加上关肇直自小就由父母习以英文、德文，为日后掌握英文、德文、法文、西班牙文和俄文奠定了良好基础.1936年高中毕业后考入清华大学土木工程系，后于1938年转入燕京大学数学系学习．毕业后在燕京大学（后迁成都）任教．参加成都教授联谊会，担任学生进步组织的导师，积极支持抗日救国学生运动.1946年春，从成都返回北平（北京），不久从燕京大学转到北京大学数学系任教.1947年通过考试成为国民政府派遣的中法交换生赴法国留学．名义上去瑞士学哲学，实际上去了巴黎大学庞加莱研究所研究数学，导师是著名数学家、一般拓朴与泛函分析的创始人弗雷歇（M.R.Frechetl），1948年参加革命团体“中国科学工作者协会”，是该会旅法分会的创办人之一.1949年10月，新中国诞生，他毅然决定放弃获得博士学位的机会．于12月回到祖国，满腔热情地参加了新中国的建设．他立即参加了组建中国科学院的工作．他和其他同志一起，协助郭沫若院长筹划建院事宜，确定科学院的方向、任务、体制等，组建科学院图书馆，担任图书管理处处长，编译局处长.1952年参加筹建中国科学院数学研究所的工作，并在数学研究所从事数学研究，历任副研究员、研究员、研究室主任、副所长、学术委员会副主任．他还是中国科学院声学研究所学术委员会委员及原子能研究所学术委员会委员．从1952年起，兼任北京师范大学、北京大学、中国人民大学和中国科技大学等校教授以及华南工学院名誉教授；并兼任过中国科学院成都分院学术顾问、该院数理科学研究室主任、中国科学院武汉数学物理研究所顾问、研究员．他还是国家科委数学学科组副组长、自动化学科组成员；曾担任北京数学会理事长，中国数学会秘书长，国际自动控制联合会理论委员会成员及《中国科学》《科学通报》《数学学报》和《系统科学与数学》等杂志的编委或主编等职.1980年，他与其他科学家一起创建中国科学院系统科学研究所，担任研究所所长．他还担任中国自动化学会副理事长、中国系统工程学会理事长.1980年当选为中国科学院数理学部委员．关肇直长期从事泛函分析、数学物理、现代控制理论等领域的研究，成绩卓著，为我国的社会主义现代化建设作出了重大贡献，1978年获全国科学大会奖，1980年获国防科委、国工办科研奖十几项，1982年获国家自然科学二等奖；关肇直参与主持的项目“‘尖兵一号’返回型卫星和‘东方红一号’”获1985年国家科技进步特等奖，他本人获“科技进步”奖章．
（设计者：
安天林）
2019-2020年高中数学第一章统计2.2分层抽样与系统抽样教学案北师大版必修3
预习课本P12～15，思考并完成以下问题
（1）分层抽样的概念是什么？
（2）分层抽样的应用范围是什么？
其抽样步骤是什么？
（3）系统抽样的概念是什么？
（4）系统抽样的应用范围是什么？
其抽样步骤是什么？
1．分层抽样
（1）定义：
将总体按其属性特征分成若干类型（有时称作层），然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样．
（2）适用范围：
当总体是由差异明显的几部分组成时，往往选用分层抽样．
（3）抽样步骤：
①将总体按一定标准进行分层；
②计算各层的个体数与总体的个体数的比；
③按各层的个体数占总体的比例确定各层应抽取的样本容量；
④在每一层进行抽样（可用简单随机抽样或下面讲的系统抽样）．
[点睛]
（1）在每层进行抽样时，大多数情况下是采用简单随机抽样，有时也会采用其他方法，这要根据问题的需要来决定．
（2）每个个体被抽到的可能性都是
，与层数无关．
2．系统抽样
（1）定义：
系统抽样是将总体的个体进行编号，等距分组，按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按分组的间隔（称为抽样距）抽取其他样本．
系统抽样又叫等距抽样或机械抽样．
（2）适用范围：
适用于样本容量较大，且个体之间无明显差异的情况．
（3）抽样步骤：
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．
第一步，编号：
先将总体的N个个体进行编号；
第二步，分段：
确定分段间隔k，对编号进行分段，当n能整除N时，k＝
；当n不能整除N时（设整除所得余数为r），先从总体中随机剔除（可采用简单随机抽样方法剔除）r个个体，此时k＝
；
第三步：
定起始编号：
在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号l（l≤k）；
第四步，抽取样本：
按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号（k＋l），再加k得到第3个个体编号（2k＋l），依次进行下去，直到获取整个样本．
[点睛]
（1）分段间隔k不是自己随意指定的，而是根据总体容量和样本容量计算出来的．
（2）确定起始编号后，在此编号的基础上，加上分段间隔的整数倍即得抽样编号．
1．判断正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）从标有1～15号的15个球中，任选3个球作样本，按从小号到大号排列，随机选择起点i（1≤i≤5），然后选标号为i，i＋5，i＋10的球入样，是系统抽样．（ ）
（2）某工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行检验，是分层抽样．（ ）
（3）为调查某商场的顾客满意度，规定在商场出口随机抽一人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止，是分层抽样．（ ）
（4）在报告厅对与会听众进行调查，通知每排（每排人数相同）座位号为14的听众留下座谈，是分层抽样．（ ）
答案：
（1）√
（2）× （3）× （4）×
2．某商场想通过检验发票的2%来快速估计每月的销售总量，采取如下办法：
从第一本50张的发票存根中随机抽出1张，如第15张，将所有的发票存根叠放在一起，然后按顺序依次抽取第65张，第115张，第165张，…，发票上的销售额组成一个调查样本，这种抽样的方法是（ ）
A．简单随机抽样 B．系统抽样
C．分层抽样D．抽签法
解析：
选B 由题意知分段间隔k＝50，第一段的发票编号分别为1,2,3，…，50，抽取的号码是15，即l＝15，抽出的发票中任意相邻两张的间隔相同，故为系统抽样．
3．某集团有老年职工270人，中年职工540人，青年职工810人．为了更好地调查他们的健康情况，需从所有职工中抽取一个容量为36的样本，应采用的抽样方法是______________．
解析：
由于健康情况与年龄密切相关，不同年
升级会员 