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,,,,gxxmx（）30
解法一:
从二次函数的区间最值入手:
等价于gx（）0,max
g（0）030,,,,,,,,m2,,gm（3）09330,,,,,,
解法二:
分离变量法:
2?
当时,恒成立,？
,,,,,gxxmx（）330x,0
2当时,恒成立gxxmx（）30,,,,03,,x
2x,33等价于的最大值（）恒成立，mx,,,03,,xxx
3而（）是增函数，则hxh（）（3）2,,03,,xhxx（）,,maxx
？
m2
（2）?
当时在区间上都为“凸函数”m,2fx（）ab,，，
2则等价于当时恒成立m,2gxxmx（）30,,,,
变更主元法
2再等价于在恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）m,2Fmmxx（）30,,，,
2,Fxx
（2）0230,,,,，,,,,,,,,,11x,,2F
（2）0,230xx,，,,,,
,ba2
-22
请同学们参看2010第三次周考:
1322例2:
设函数f（x）,,x，2ax,3ax，b（0,a,1,b,R）3
（?
）求函数f（x）的单调区间和极值;
（?
）若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围.x,[a，1,a，2],fxa（）,（二次函数区间最值的例子）
22,解:
）fxxaxaxaxa（）433,,，,,,,,，，，，
01,,a
fx（）
3aaa3a
令得的单调递增区间为（a,3a）f（x）,0,f（x）
,,令得的单调递减区间为（,，a）和（3a，+）f（x）,0,f（x）
33?
当x=a时，f（x）=当x=3a时，f（x）=b.,a，b;
极小值极大值4
22,（?
）由||?
a，得:
对任意的恒成立?
f（x）x,[a，1,a，2],,,,，,axaxaa43
gxa（）,,max22则等价于gx（）这个二次函数的对称轴gxxaxa（）43,,，xa,2,gxa（）,,,min
01,,,a（放缩法）aaaa，,，,12
即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题:
单调增函数的最值问题。
gx（）
22上是增函数.（9分）gxxaxaaa（）43[1,2],,，，，在
gxgaa（）
（2）21.,，,,，max?
gxgaa（）
（1）44.,，,,，min
aa，，1,2,,于是，对任意，不等式?
恒成立，等价于x,[a，1,a，2]
xa,2
gaaa
（2）44,，,,，,,4解得,,a1.,gaaa
（1）21，,,，,,5,
4又?
0,a,1,,a,1.5点评:
重视二次函数区间最值求法:
对称轴（重视单调区间）与定义域的关系
第三种:
构造函数求最值
题型特征:
恒成立恒成立;
从而转化为第一、二种题型f（x）,g（x）,h（x）,f（x）,g（x）,0
32例3;
已知函数图象上一点处的切线斜率为，Pb（1,）fxxax（）,，,3
t,632gxxxtxt（）
（1）3（0）,，,，，,2
）求的值;
ab,
）当时，求的值域;
fx（）x,,[1,4]
）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。
fxgx（）（）,x,[1,4]
/a,,3,f
（1）3,,,/2解:
）?
，解得fxxax（）32,，,,b,,2ba,，1,,
）由（?
）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减[2,4]fx（）[1,0],[0,2]又ffff
（1）4,（0）0,
（2）4,（4）16,,,,,,,
?
的值域是fx（）[4,16],
t2（?
）令hxfxgxxtxx（）（）（）
（1）3[1,4],,,,，，,,2
2思路1:
要使恒成立，只需，即分离变量fxgx（）（）,hx（）0,txxx
（2）26,,,思路2:
二次函数区间最值
二、题型一:
已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1:
转化为在给定区间上恒成立，回归基础题型f（x）,0或f（x）,0
解法2:
利用子区间（即子集思想）;
首先求出函数的单调增或减区间，然后让
所给区间是求的增或减区间的子集;
做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚
两句话的区别:
前者是后者的子集
1a，132f（x）,x，x，（4a，1）x例4:
已知，函数（a,R122
（?
）如果函数是偶函数，求的极大值和极小值;
g（x）,f（x）f（x）
）如果函数是上的单调函数，求的取值范围（f（x）（,,,，,）a
12,解:
.f（x）,x，（a，1）x，（4a，1）4
1132,,是偶函数，?
.此时，，（?
fx（）f（x）,x,3xf（x）,x,3a,,1124
令，解得:
.f（x）,0x,,23
列表如下:
x（,?
,2）,2（,2,2）2（2,+?
）333333
f（x）,+00+
f（x）递增极大值递减极小值递增
可知:
的极大值为，的极小值为.fx（）fx（）f（,23）,43f（23）,,43
函数是上的单调函数，f（x）（,,,，,）
12,?
，在给定区间R上恒成立判别式法fxxaxa（）
（1）（41）0,，，，，,4
122则解得:
.02,,a,,，,,,，,,,
（1）4（41）20aaaa，4
综上，的取值范围是.{a0,a,2}a
1132例5、已知函数fxxaxaxa（）
（2）
（1）（0）.,，,，,,32
（I）求的单调区间;
fx（）
（II）若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。
子集思想fx（）
2,（I）fxxaxaxxa（）
（2）1
（1）
（1）.,，,，,,，，,
2,1、当时恒成立afxx,,，,0,（）
（1）0,
当且仅当时取“=”号，单调递增。
fx（）（,）在,,，,x,,1
2、当时由得且afxxxaxx,,,,,,,0,（）0,1,1,,1212
单调增区间:
（,1）,（1,）,,,,，,a
（1,1）,,a
-1a-1
（II）当则是上述增区间的子集:
fx（）[0,1],在上单调递增0,1,,
1、时，单调递增符合题意fx（）（,）在,,，,a,0
2、，0,11,,,，,a？
,a10？
a1，，,,
综上，a的取值范围是[0，1]。
三、题型二:
根的个数问题
题1函数f（x）与g（x）（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题
解题步骤
画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后
减再增”还是“先减后增再减”;
由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）;
主要看极大值和极小值与0的关
系;
解不等式（组）即可;
（k，1）1132f（x）,x,x例6、已知函数，，且在区间上为增函数（f（x）（2,，,）g（x）,,kx323
（1）求实数的取值范围;
k
（2）若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围（kf（x）g（x）
2,解:
（1）由题意?
在区间上为增函数，f（x）,x,（k，1）xf（x）（2,，,）
2,?
在区间上恒成立（分离变量法）f（x）,x,（k，1）x,0（2,，,）
即恒成立，又，?
，故?
的取值范围为k，1,xx,2k，1,2k,1kk,1
3
（1）1k，x2（）（）（）
（2）设，hx,fx,gx,,x，kx,323
2,h（x）,x,（k，1）x，k,（x,k）（x,1）
令得或由
（1）知，x,kx,1k,1h（x）,0
当时，，在R上递增，显然不合题意„k,1h（x）,（x,1）,0h（x）
?
当时，，随的变化情况如下表:
xk,1h（x）h（x）
x（,,,k）（k,1）（1,，,）1k
，，,—h（x）00
极大值?
极小值?
h（x）
32k,11kk,，,2623
k,1由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，,0f（x）g（x）h（x）,02
32,1k,kk12故需，即?
，解得,，,,0（k,1）（k,2k,2）,0k,1,3,2623,2,2,0kk,综上，所求的取值范围为kk,1,3
根的个数知道，部分根可求或已知。
132例7、已知函数fxaxxxc（）2,，,，2
（1）若是fx（）的极值点且fx（）的图像过原点，求fx（）的极值;
x,,1
12
（2）若，在
（1）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的gx（）fx（）bgxbxxd（）,,，2
图像恒有含的三个不同交点,若存在，求出实数的取值范围;
否则说明理由。
x,,1b
（1）?
的图像过原点，则，fx（）fc（0）00,,,fxaxx（）32,，,
是的极值点，则fx（）faa
（1）31201,,,,,,,,x,,1又?
2,？
，,,,，,fxxxxx（）32（32）
（1）0
fx（）3222fxf（）（）,,,fxf（）
（1）,,,极大值极小值372
-123
（2）设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点，gx（）fx（）x,,1
1等价于有含的三个根，即:
fxgx（）（）,x,,1fgdb
（1）
（1）
（1）,,,,,,,2
111322整理得:
？
，,,,,,xxxbxxb2
（1）222
1132即:
恒有含的三个不等实根x,,1xbxxb,,,，,,
（1）
（1）022
1132（计算难点来了:
）有含的根，x,,1hxxbxxb（）
（1）
（1）0,,,,，,,22
则必可分解为，故用添项配凑法因式分解，hx（）
（1）（）0x，,二次式
113222x，,xx,,,，,,
（1）
（1）0bxxb22
11，，22xxbxxb
（1）
（1）
（1）0，,，，,,,,,22，，
122，，xxbxxb
（1）
（1）2
（1）0，,，，,,,，，2
12十字相乘法分解:
xxbxbx
（1）
（1）
（1）10，,，,,，,，，,,2
11，，2
（1）
（1）
（1）0xxbxb，,，，,,,,22，，
1132恒有含的三个不等实根x,,1？
,,，,,xbxxb
（1）
（1）022
112等价于有两个不等于-1的不等实根。
xbxb,，，,,
（1）
（1）022
11,2,,，,，,,
（1）4
（1）0bb,,42,,,,,,,,，,b（,1）（1,3）（3,）,,112,
（1）
（1）
（1）0,，，，,,bb,,22
题2:
切线的条数问题====以切点为未知数的方程的根的个数x0
32例7、已知函数在点处取得极小值,4，使其导数的的取值范围xfx'
（）0,fxaxbxcx（）,，，x0为，求:
（1）的解析式;
（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取（1,3）fx（）Pm（1,）,yfx,（）m
值范围（
2
（1）由题意得:
fxaxbxcaxxa'
（）323
（1）（3）,（0）,，，,,,,
在上;
在上（,1）,,fx'
（）0,（1,3）fx'
（）0,（3,），,fx'
（）0,
因此在处取得极小值,4fx（）x,10
，?
fabc'
（1）320,，，,fabc'
（3）2760,，，,abc，，,,4
a,,1,
32由?
联立得:
fxxxx（）69,,，,b,6,
c,,9,
（2）设切点Q，（,（））tftyftftxt,,,（）（）（）
232yttxtttt,,，,,，,，,（3129）（）（69）
222,,，,，,，,,，（3129）（3129）（69）ttxtttttt
22过（1,）,m,,，,，,（3129）（26）ttxttt
232mtttt,,，,,，,（3129）
（1）26
32gttttm（）221290,,,，,,
22令，gttttt'
（）66126
（2）0,,,,,,,
求得:
，方程有三个根。
tt,,,1,2gt（）0,
g
（1）0,,,,，，,,231290mm,16,,,需:
,,,,g
（2）0,m,,1116122490,,，,,m,,,
故:
;
因此所求实数的范围为:
（11,16）,m,,,1116m
题3:
已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数fx（）
解法:
根分布或判别式法
例8、
1732解:
函数的定义域为R（?
）当m,4时，f（x）,x,x，10x，32
2,,,x,7x，10，令，解得或.fx（）fx（）0,x,5,x,2
令fx（）0,，解得25,,x
可知函数f（x）的单调递增区间为（,2）,,和（5，，?
），单调递减区间为2,5（，，
2,（?
）fx（）,x,（m，3）x，m，6,
2,要使函数y,f（x）在（1，，?
）有两个极值点,,x,（m，3）x,fx（）
，m，6=0的根在（1，，?
）
根分布问题:
12,,,，,，,（3）4（6）0;
mm
,fmm
（1）1（3）60;
,，，，,则，解得m,3,
m，3,,1.,2
a11324例9、已知函数f（x）,x，x，
（1）求的单调区间;
（2）令,x，f（a,R,a,0）f（x）gx（）432
（x）（x?
R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围（
2解:
（1）f（x）,ax，x,x（ax，1）
11'
当时，令解得，令解得，f（x）,0x,,或x,0f（x）,0,,x,0a,0aa
11所以的递增区间为，递减区间为.f（x）（,,,,）:
（0,，,）（,,0）aa
11当时，同理可得的递增区间为，递减区间为.f（x）（0，,）（,,,0）:
（,,，,）a,0aa
11a432
（2）有且仅有3个极值点g（xx）,，，xx423
3222,=0有3个根，则或，,gx（））xx,，xxaaxx，,，（1，x,0xax，，,10a,,222方程有两个非零实根，所以,,,,a40,xax，，,10
或？
,a2a,2
而当或时可证函数有且仅有3个极值点ygx,（）a,,2a,2
其它例题:
32R1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在上的函数在fxaxaxb（）2,,，（a,0）
区间,2,1上的最大值是5，最小值是,11.,,
）求函数fx（）的解析式;
）若t,[,1,1]时，f（x），tx,0恒成立，求实数的取值范围.x
32'
）fxaxaxbfxaxaxaxx（）2,（）34（34）,,，？
,,,
4'
令=0,得fx（）xx,,,,0,2,1,,123
因为，所以可得下表:
a,0
x,2,00,10，，,,
+0-fx（）
fx（）?
极大?
因此必为最大值,?
因此，，f（0）f（0）,5fafaff
（2）165,
（1）5,
（1）
（2）,,,，,,，？
,b,5
32即，?
f（,2）,,16a，5,,11f（x）,x,2x，5.a,1
22,,（?
等价于，f（x），tx,0f（x）,3x,4x3x,4x，tx,0
2令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围，g（t）,0t,[,1,1]g（t）,xt，3x,4xx
2g（,1）,0,3,5,0xx,为此只需，即，,,2g
（1）,0x,x,0,,
解得，所以所求实数的取值范围是[0，1].x0,x,1
2、（根分布与线性规划例子）
232
（1）已知函数fxxaxbxc（）,，，，3
）若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行,求fx（）（0,1）30xy，,x,1
的解析式;
f（x）
）当在取得极大值且在取得极小值时,设点所在平fx（）x,（0,1）x,（1,2）Mba（2,1）,，
面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:
3的两部分,求直线L的方程.
（?
）.由,函数在时有极值,fx（）fxxaxb（）22,，，x,1
220ab，，,
?
f（0）1,c,1
又?
在处的切线与直线平行,fx（）（0,1）30xy，,
1,?
故fb（0）3,,,a,2
2132?
…………………….7分fxxxx（）31,，,，32
2,（?
）解法一:
由及fx（）在x,（0,1）取得极大值且在x,（1,2）取得极小值,fxxaxb（）22,，，
f（0）0,b,0,,xb,,2,,,,?
即令,则Mxy（,）f
（1）0,220ab，，,,,,ya,，1,,,,f
（2）0,480ab，，,,,
x，,20,ay,,1,,?
故点所在平面区域S为如图?
ABC,M220yx，，,,,bx,，2,,460yx，，,,
3S,2易得,,,,,A（2,0）,B（2,1）,,C（2,2）,D（0,1）,E（0,）,,ABC2
1SS,同时DE为?
ABC的中位线,,DEC四边形ABED3
所求一条直线L的方程为:
x,0
另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:
3的两部分,设直线L方程为,它ykx,
S,1与AC,BC分别交于F、G,则,k,0四边形DEGF
ykx,,2由得点F的横坐标为:
x,,,F220yx，，,k，21,
ykx,,6由得点G的横坐标为:
x,,,G460yx，，,k，41,
131622SSS,,,，，,，，,1116250kk，,,?
即,,OGEOFD四边形DEGF2224121kk，，
151解得:
或（舍去）故这时直线方程为:
k,k,,yx,282
1综上,所求直线方程为:
或.…………….………….12分yx,x,02
）解法二:
由及在取得极大值且在取得极小值,fx（）x,（0,1）x,（1,2）fxxaxb（）22,，，
x，,20,ay,,1,,M?
ABC,220yx，，,,,bx,，2,,460yx，，,,
3易得A（2,0）,,B（2,1）,,,C（2,2）,,D（0,1）,,,S,2E（0,）,,ABC2
ABC的中位线,?
所求一条直线L的方程为:
x,0,DEC四边形ABED3
1另一种情况由于直线BO方程为:
设直线BO与AC交于H,yx,2
1,yx,1,由得直线L与AC交点为:
H（1,）,,2,2,220yx，，,,
1111111SSS,,,，，,，，,221S,，，,?
,2S,2,,,ABHABOAOH,DEC,ABC2222222
1?
所求直线方程为:
或x,0yx,2
323、（根的个数问题）已知函数的图象如图所示。
f（x）axbx（c3a2b）xd（a0）,，，,,，,
cd、
）若函数的图象在点处的切线方程为，（2,f
（2））3xy110，,,f（x）
求函数f（x）的解析式;
）若方程有三个不同的根，求实数a的取值范围。
x5,,f（x）8a,0
由题知:
f（x）3ax2bx+c-3a-2b,，
）由图可知函数f（x）的图像过点（0,3），且=0，，f1
d,3d,3,,得,,,c,032c320abab，，,,,,,
）依题意=–3且f
（2）=5，，f2
124323abab，,,,,,解得a=1,b=–6,846435abab，,,，,,
32所以f（x）=x–6x+9x+3
32（?
）依题意f（x）=ax+bx–（3a+2b）x+3（a,0）
2,,，，=3ax+2bx–3a–2b由，，=0b=–9a?
fxf5,
若方程f（x）=8a有三个不同的根，当且仅当满足f（5）,8a,f
（1）?
1由?
得–25a+3,8a,7a+3,a,3,11
1所以当,a,3时，方程f（x）=8a有三个不同的根。
„„„„12分11
1324、（根的个数问题）已知函数fxxaxxaR（）1（）,,,，,3
（1）若函数fx（）在xxxx,,,处取得极值，且xx,,2，求的值及fx（）的单调区间;
a12121152
（2）若，讨论曲线fx（）与的交点个数（a,gxxaxx（）（21）（21）,,，，,,,226
2解:
（1）f'
xxax（）21,,,
，,,,,xxaxx2,11212
22？
,，,,，,xxxxxxa（）4442121212
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分？
a0
22,fxxaxx（）211,,,,,
令得fx（）0,xx,,,1,1或
令得fx（）0,,,,11x
的单调递增区间为，，单调递减区间为„„„„5分fx（）（1,），,（,1）,,,（1,1）,
115322
（2）由题得fxgx（）（）,xaxxxax,,，,,，，1（21）326
11132即xaxax,，，，,（）
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