高考数学导数题型归纳文科Word文档下载推荐.docx

1、,gxxmx（）30解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于 gx（）0,maxg（0）030, ,m2,gm（3）09330,解法二:分离变量法:2? 当时, 恒成立, ？,gxxmx（）330x,02 当时, 恒成立 gxxmx（）30,03,x2x,33等价于的最大值（）恒成立， mx,03,xxx3而（）是增函数，则 hxh（）（3）2,03,xhxx（）,maxx？,m2（2）?当时在区间上都为“凸函数” m,2fx（）ab,，2则等价于当时 恒成立 m,2gxxmx（）30,变更主元法 2 再等价于在恒成立（视为关于m的一次函数最值问题） m,2Fmmxx（）30,，,2,Fxx（

2、2）0230,，, ,11x,2F（2）0,230xx,，,ba2-2 2 请同学们参看2010第三次周考:1322例2:设函数 f（x）,x，2ax,3ax，b（0,a,1,b,R）3（?）求函数f（x）的单调区间和极值;, （?）若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围. x,a，1,a，2,fxa（）,（二次函数区间最值的例子） 22,解:） fxxaxaxaxa（）433,，,，01,a,fx（） 3a a a 3a ,令得的单调递增区间为（a,3a） f（x）,0,f（x）,令得的单调递减区间为（,，a）和（3a，+） f（x）,0,f（x）33?当x=a时，f（x）= 当x=3a时，

3、f（x）=b. ,a，b;极小值极大值422, （?）由|?a，得:对任意的恒成立? f（x）x,a，1,a，2,，,axaxaa43gxa（）,max22则等价于gx（）这个二次函数 的对称轴 gxxaxa（）43,，xa,2,gxa（）,min01,a （放缩法） aaaa，,，,12即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题:单调增函数的最值问题。 gx（）22上是增函数. （9分） gxxaxaaa（）431,2,，在gxgaa（）（2）21.,，,，max ?gxgaa（）（1）44.,，,，minaa，1,2,于是，对任意，不等式?恒成立，等价于 x,a，1,a，2xa,2ga

4、aa（2）44,，,，,4 解得,a1.,gaaa（1）21，,，,5,4 又? 0,a,1,a,1.5点评:重视二次函数区间最值求法:对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 第三种:构造函数求最值 题型特征:恒成立恒成立;从而转化为第一、二种题型 f（x）,g（x）,h（x）,f（x）,g（x）,032例3;已知函数图象上一点处的切线斜率为， Pb（1,）fxxax（）,，,3t,632 gxxxtxt（）（1）3（0）,，,，,2）求的值; ab,）当时，求的值域; fx（）x,1,4）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。 fxgx（）（）,x,1,4/a,3,f（1）3,/2解:）?，

5、 解得 fxxax（）32,，,b,2ba,，1,）由（?）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减 2,4fx（）1,0,0,2又 ffff（1）4,（0）0,（2）4,（4）16,?的值域是 fx（）4,16,t2（?）令 hxfxgxxtxx（）（）（）（1）31,4,，,22思路1:要使恒成立，只需，即分离变量 fxgx（）（）,hx（）0,txxx（2）26,思路2:二次函数区间最值 二、题型一:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围 解法1:转化为在给定区间上恒成立， 回归基础题型 f（x）,0或f（x）,0解法2:利用子区间（即子集思想）;首先求出函数的单调增或减区间，然后

6、让所给区间是求的增或减区间的子集;做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别:前者是后者的子集 1a，132f（x）,x，x，（4a，1）x例4:已知，函数（ a,R122,（?）如果函数是偶函数，求的极大值和极小值; g（x）,f（x）f（x）如果函数是上的单调函数，求的取值范围（ f（x）（,，,）a12,解:. f（x）,x，（a，1）x，（4a，1）41132,是偶函数，? . 此时， （? fx（）f（x）,x,3xf（x）,x,3a,1124, 令，解得:. f（x）,0x,23列表如下:x（,?,2） ,2 （,2,2）

7、2 （2,+?） 333333, f（x）, + 0 0 + f（x）递增 极大值 递减 极小值 递增 可知:的极大值为， 的极小值为. fx（）fx（）f（,23）,43f（23）,43函数是上的单调函数， f（x）（,，,）12,?，在给定区间R上恒成立判别式法 fxxaxa（）（1）（41）0,，,4122则 解得:. 02,a,，,，,（1）4（41）20aaaa，4综上，的取值范围是. a0,a,2a1132例5、已知函数 fxxaxaxa（）（2）（1）（0）.,，,，,32（I）求的单调区间; fx（）（II）若在0，1上单调递增，求a的取值范围。子集思想 fx（）2,（I） f

8、xxaxaxxa（）（2）1（1）（1）.,，,，,，,2, 1、 当时恒成立afxx,，,0,（）（1）0,当且仅当时取“=”号，单调递增。 fx（）（,）在,，,x,1, 2、 当时由得且afxxxaxx,0,（）0,1,1,1212单调增区间:（,1）,（1,）,，,a （1,1）,a -1 a-1 （II）当 则是上述增区间的子集: fx（）0,1,在上单调递增0,1,1、时，单调递增 符合题意 fx（）（,）在,，,a,02、， 0,11,，,a？,a10？,a1，,综上，a的取值范围是0，1。三、题型二:根的个数问题 题1函数f（x）与g（x）（或与x轴）的交点=即方程根的个数问题

9、 解题步骤 画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”;由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）;主要看极大值和极小值与0的关系;解不等式（组）即可;（k，1）1132f（x）,x,x例6、已知函数，且在区间上为增函数（ f（x）（2,，,）g（x）,kx323（1） 求实数的取值范围; k（2） 若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围（ kf（x）g（x）2,解:（1）由题意 ?在区间上为增函数， f（x）,x,（k，1）xf（x）（2,，,）2,?在区间上恒成立（分离变量法） f（x）,x,（k，1）x,0

10、（2,，,）即恒成立，又，?，故?的取值范围为 k，1,xx,2k，1,2k,1kk,13（1）1k，x2（）（）（）（2）设， hx,fx,gx,x，kx,3232, h（x）,x,（k，1）x，k,（x,k）（x,1）,令得或由（1）知， x,kx,1k,1h（x）,0当时，在R上递增，显然不合题意 k,1h（x）,（x,1）,0h（x）,?当时，随的变化情况如下表: xk,1h（x）h（x）x （,k）（k,1）（1,，,） 1 k， , h（x） 00 极大值? 极小值 ? h（x）32k,11kk ,，,2623k,1由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，,0f

11、（x）g（x）h（x）,0232,1k,kk12故需，即 ?，解得 ,，,0（k,1）（k,2k,2）,0k,1,3,2623,2,2,0kk,综上，所求的取值范围为 kk,1,3根的个数知道，部分根可求或已知。132例7、已知函数 fxaxxxc（）2,，,，2（1）若是fx（）的极值点且fx（）的图像过原点，求fx（）的极值; x,112（2）若，在（1）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的gx（）fx（）bgxbxxd（）,，2图像恒有含的三个不同交点,若存在，求出实数的取值范围;否则说明理由。 x,1b（1）?的图像过原点，则 ， fx（）fc（0）00,fxaxx（）32,

12、，,是的极值点，则 fx（）faa（1）31201,x,1又?2, ？,，,，,fxxxxx（）32（32）（1）0,fx（）3222 fxf（）（）,fxf（）（1）,极大值极小值372-1 2 3（2）设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点， gx（）fx（）x,11等价于有含的三个根，即: fxgx（）（）,x,1fgdb（1）（1）（1）,2111322整理得: ？，,xxxbxxb2（1）2221132即:恒有含的三个不等实根 x,1xbxxb,，,（1）（1）0221132（计算难点来了:）有含的根， x,1hxxbxxb（）（1）（1）0,，,22则必可分解为，故用添项配

13、凑法因式分解， hx（）（1）（）0x，,二次式113222 x，,xx,，,（1）（1）0bxxb2211，22 xxbxxb（1）（1）（1）0，,，,22，122， xxbxxb（1）（1）2（1）0，,，,，212 十字相乘法分解: xxbxbx（1）（1）（1）10，,，,，,，,211，2 （1）（1）（1）0xxbxb，,，,22，1132恒有含的三个不等实根 x,1？,，,xbxxb（1）（1）022112等价于有两个不等于-1的不等实根。 xbxb,，,（1）（1）02211,2,，,，,（1）4（1）0bb,42 ,，,b（,1）（1,3）（3,）,112,（1）（1）（1

14、）0,，,bb,22题2:切线的条数问题=以切点为未知数的方程的根的个数 x032例7、已知函数在点处取得极小值,4，使其导数的的取值范围xfx（）0,fxaxbxcx（）,，x0为，求:（1）的解析式;（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取（1,3）fx（）Pm（1,）,yfx,（）m值范围（ 2（1）由题意得: fxaxbxcaxxa（）323（1）（3）,（0）,，,在上;在上 （,1）,fx（）0,（1,3）fx（）0,（3,），,fx（）0,因此在处取得极小值 ,4fx（）x,10，? fabc（1）320,，,fabc（3）2760,，,abc，,4a,1,32由?联立得: f

15、xxxx（）69,，,b,6,c,9,（2）设切点Q， （,（）tftyftftxt,（）（）（）232 yttxtttt,，,，,，,（3129）（）（69）222 ,，,，,，,，（3129）（3129）（69）ttxtttttt22过 （1,）,m,，,，,（3129）（26）ttxttt232 mtttt,，,，,（3129）（1）2632 gttttm（）221290,，,22令， gttttt（）66126（2）0,求得:，方程有三个根。 tt,1,2gt（）0,g（1）0,，,231290mm,16,需: ,g（2）0,m,1116122490,，,m,故:;因此所求实数的范围为

16、: （11,16）,m,1116m题3:已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数 fx（）解法:根分布或判别式法 例8、 1732解:函数的定义域为R（?）当m,4时，f （x）, x,x，10x， 322,x,7x，10，令 ， 解得或. fx（）fx（）0,x,5,x,2,令fx（）0, ， 解得 25,x可知函数f（x）的单调递增区间为（,2）,和（5，?），单调递减区间为2,5（ ，2,（?）fx（）,x,（m，3）x，m，6, 2,要使函数y,f （x）在（1，?）有两个极值点,x,（m，3）x,fx（），m，6=0的根在（1，?） 根分布问题:,1 2,，,，,（3）4

17、（6）0;mm,fmm（1）1（3）60;,，,则， 解得m,3 ,m，3,1.,2a11324例9、已知函数f（x）,x，x，（1）求的单调区间;（2）令,x，f（a,R,a,0）f（x）gx（）432（x）（x?R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围（ 2解:（1） f（x）,ax，x,x（ax，1）11当时，令解得，令解得， f（x）,0x,或x,0f（x）,0,x,0a,0aa11所以的递增区间为，递减区间为. f（x）（,）:（0,，,）（,0）aa11当时，同理可得的递增区间为，递减区间为. f（x）（0，,）（,0）:（,，,）a,0aa11a432（2）有且仅有3个极值点 g（

18、xx）,，xx4233222,=0有3个根，则或， ,gx（）xx,，xxaaxx，,，（1，x,0xax，,10a,222方程有两个非零实根，所以 ,a40,xax，,10或 ？,a2a,2而当或时可证函数有且仅有3个极值点 ygx,（）a,2a,2其它例题:32R1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在上的函数在fxaxaxb（）2,，（a,0）区间,2,1上的最大值是5，最小值是,11. ,）求函数fx（）的解析式;）若t,1,1时，f（x），tx,0恒成立，求实数的取值范围. x32） fxaxaxbfxaxaxaxx（）2,（）34（34）,，？,4 令=0,得 fx（）xx,

19、0,2,1,123因为，所以可得下表: a,0x ,2,00,10 ，, + 0 - fx（）fx（）? 极大 ?因此必为最大值,?因此， ， f（0）f（0）,5fafaff（2）165,（1）5,（1）（2）,，,，？,b,532 即，? f（,2）,16a，5,11f（x）,x,2x，5.a,122,（?等价于， f（x），tx,0f（x）,3x,4x3x,4x，tx,02令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围， g（t）,0t,1,1g（t）,xt，3x,4xx2g（,1）,0,3,5,0xx,为此只需，即， ,2g（1）,0x,x,0,解得，所以所求实数的取值范围是0，1. x

20、0,x,12、（根分布与线性规划例子） 232（1）已知函数 fxxaxbxc（）,，3） 若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行, 求fx（）（0,1）30xy，,x,1的解析式; f（x） 当在取得极大值且在取得极小值时, 设点所在平fx（）x,（0,1）x,（1,2）Mba（2,1）,，面区域为S, 经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分, 求直线L的方程. （?）. 由, 函数在时有极值 , fx（）fxxaxb（）22,，x,1 220ab，, ? f（0）1,c,1又? 在处的切线与直线平行, fx（）（0,1）30xy，,1,? 故 fb（0）3,a,221

21、32? . 7分 fxxxx（）31,，,，322, （?） 解法一: 由 及fx（）在x,（0,1）取得极大值且在x,（1,2）取得极小值, fxxaxb（）22,，,f（0）0,b,0,xb,2,? 即 令, 则 Mxy（,）f（1）0,220ab，,ya,，1,f（2）0,480ab，,x，,20,ay,1,? 故点所在平面区域S为如图?ABC, M220yx，,bx,，2,460yx，,3S,2易得, , , , , A（2,0）,B（2,1）,C（2,2）,D（0,1）,E（0,）,ABC21SS,同时DE为?ABC的中位线, ,DEC四边形ABED3 所求一条直线L的方程为: x,

22、0另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分, 设直线L方程为,它ykx,S,1与AC,BC分别交于F、G, 则 , k,0四边形DEGFykx,2由 得点F的横坐标为: x,F220yx，,k，21,ykx,6由 得点G的横坐标为: x,G460yx，,k，41,131622SSS,，,，,1116250kk，,? 即 ,OGEOFD四边形DEGF2224121kk，151解得: 或 （舍去） 故这时直线方程为: k,k,yx,2821综上,所求直线方程为: 或 .12分 yx,x,02） 解法二: 由 及在取得极大值且在取得极小值, fx（）x,（0,1）x,（1,2

23、）fxxaxb（）22,，x，,20,ay,1,M?ABC, 220yx，,bx,，2,460yx，,3易得A（2,0）, B（2,1）, C（2,2）, D（0,1）, , S,2E（0,）,ABC2ABC的中位线, ?所求一条直线L的方程为: x,0,DEC四边形ABED31另一种情况由于直线BO方程为: , 设直线BO与AC交于H , yx,21,yx,1,由 得直线L与AC交点为: H（1,）,2,2,220yx，,1111111SSS,，,，,221S,，,? , , 2S,2,ABHABOAOH,DEC,ABC22222221 ? 所求直线方程为: 或 x,0yx,2323、（根的

24、个数问题）已知函数的图象如图所示。 f（x）axbx（c3a2b）xd （a0）,，,，, cd、）若函数的图象在点处的切线方程为，（2,f（2）3xy110，,f（x）求函数f （ x ）的解析式;）若方程有三个不同的根，求实数a的取值范围。 x5,f（x）8a,0由题知: f（x）3ax2bx+c-3a-2b,，）由图可知 函数f （ x ）的图像过点（ 0 , 3 ），且= 0 ，f1d,3d,3, 得 ,c,032c320abab，,）依题意 = 3 且f （ 2 ） = 5 ，f2124323abab，, 解得a = 1 , b = 6 ,846435abab，,，,32 所以f （

25、 x ） = x 6x + 9x + 3 32（?）依题意 f （ x ） = ax + bx （ 3a + 2b ）x + 3 （ a,0 ） 2, ，= 3ax + 2bx 3a 2b 由，= 0b = 9a ? fxf5,若方程f （ x ） = 8a有三个不同的根，当且仅当 满足f （ 5 ）,8a,f （ 1 ） ?1 由? 得 25a + 3,8a,7a + 3,a,3 ,111 所以 当,a,3时，方程f （ x ） = 8a有三个不同的根。 12分 111324、（根的个数问题）已知函数 fxxaxxaR（）1（）,，,3（1）若函数fx（）在xxxx,处取得极值，且xx,2，求的值及fx（）的单调区间; a12121152 （2）若，讨论曲线fx（）与的交点个数（ a,gxxaxx（）（21）（21）,，,2262 解:（1） fxxax（）21,，,xxaxx2,1121222 ？,，,，,xxxxxxa（）44421212122分 ？,a022, fxxaxx（）211,令得 fx（）0,xx,1,1或,令得 fx（）0,11x的单调递增区间为，单调递减区间为5分 fx（）（1,），,（,1）,（1,1）,115322（2）由题得 fxgx（）（）,xaxxxax,，,，1（21）32611132即 xaxax,，,（）