沪教版五四制八年级数学下册 222 特殊平行四边形 强化讲义无答案Word文档格式.docx

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对角线相等的平行四边形是矩形。

菱形

（一）菱形定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（二）菱形性质定理

菱形的四条边都相等。

菱形性质定理

菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

（三）菱形判定定理

四条边都相等的四边形是菱形。

菱形判定定理

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（四）菱形的面积：

菱形的面积等于它的两条对角线的积的一半。

正方形

（一）正方形定义：

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

（二）正方形性质定理

正方形的四个角都是直角，四条边都相等。

正方形性质定理

正方形的两条对角线相等，并且互相垂直，每条对角线平分一组对角。

（三）正方形判定定理

有一个角是直角的菱形是正方形。

正方形判定定理

有一组邻边相等的矩形是正方形。

特殊的平行四边形之间的关系

相关元素

关系特征

平行四边形

对边

位置关系

平行

长度关系

相等

邻边

相交

垂直

不一定相等

角

对角关系

邻角关系

互补

互补且相等

对角线

对称性

中心对称

既是中心对称

又是轴对称

【例题1】【基础、提高】菱形的一边和等腰直角三角形的直角边相等，若菱形的一角为60°

，则菱形和等腰直角三角形的面积比是.

【尖子】将边长为

的正方形ABCD绕A点按顺时针方向旋转60°

得到正方形AB'

C'

D'

，则前后两正方形重叠部分面积为.

【例题2】【基础、提高】平行四边形各角的平分线相交成的四边形一定是（）

（A）梯形（B）菱形（C）矩形（D）正方形

【尖子】下列命题中正确的是（）

（A）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形

（B）对角线互相垂直的四边形是菱形

（C）对角线相等的四边形是矩形

（D）对角线互相平分的四边形是平行四边形.

【例题3】【基础、提高】将一张正方形纸片按如图所示的方式二次折叠，折叠后再按图所示沿MN裁剪，则可得（）

（A）多个等腰直角三角形

（B）一个等腰直角三角形和一个正方形

（C）四个相同的正方形

（D）两个相同的正方形

【尖子】已知平面直角坐标系内有三点A（2，4）、B（－2，2）、C（4，0），若再给一点P（x，y），使以这四点为顶点的四边形是平行四边形，那么点P的坐标不可能是（）

（A）（7，2）（B）（0，－2）（C）（－4，6）（D）（8，2）

【例题4】【基础、提高】已知菱形的两条对角线长为a与b，求这个菱形的高.

【尖子】矩形的一条对角线长为20，对角线与一条边的夹角为15°

，求这个矩形的面积.

【例题5】【基础、提高】如图，已知正方形ABCD的对角线BD上有一点F，边AB上有一点E，使得CF⊥FE，求

的值.

【尖子】在正方形ABCD中，P、Q分别为BC、CD上的点，∠PAQ＝45°

，且△CPQ的周长为20，求正方形的周长.

【例题6】【基础、提高】OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝10，OC＝6

（1）如图，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′．求点B′的坐标；

（2）求折痕CM所在直线的解析式

【尖子】如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD、CD上的两个动点，且满足AE＋CF＝2，

（1）求证：

△BDE≌△BCF；

（2）判断△BEF的形状，并说明理由；

（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.

【例题7】【基础、提高】如图，将边长为24厘米的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD上的点E，然后压平得折痕FG，若FG的长为25厘米，求线段CE的长.

【尖子】在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为CD上的点，且AF=BC+CF.求证：

∠BAF=2∠BAE

【例题8】【基础、提高】正方形边长等于1，通过它的中心引一条直线，求正方形的四个顶点到这条直线的距离平方和的取值范围.

【尖子】设M、N分别为正方形ABCD的边AD、CD的中点，且CM与BN交于P，求证：

PA=AB

【例题9】【基础、提高】已知两个正方形ABCD、AKLM（顶点均按照顺时针方向排列），求证：

这两个正方形的中心和BM、DK的中点组成一个正方形.

【尖子】M是正方形ABCD内一点，若

，∠CMD=90°

，求∠MCD

【例题10】【基础、提高】O是正方形ABCD的两对角线的交点，P是BD上异于O的任一点，PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，G是EO的延长线和BC的交点，求∠OFG

【尖子】K是正方形ABCD的边AB的中点，点L分对角线AC的比为AL:

LC=3，

证明：

∠KLD=90°

.

【例题11】【基础、提高】已知：

正方形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，AG⊥EF于G，若∠EAF=45°

，求证AG=AB，反之，若AG=AB，则∠EAF=45°

【尖子】在梯形ABCD中，AD//BC（BC>

AD），∠D=90°

，BC=CD=12，E在边CD上，

∠ABE=45°

，若AE=10，求CE的长.

【例题12】【基础、提高】在边长为1的菱形ABCD的边上依次截取点E、F、G、H，使得AE＝AH＝CF＝CG.若∠A＝120°

，AE＝x，四边形EFGH的面积为y

（1）求y与x之间的函数关系式.

（2）当x为何值时，四边形EFGH为正方形?

【尖子】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，CD是AB上高，AP平分∠CAB交BC于P，作PQ⊥AB，Q为垂足，连结EQ，若CP＝m，

（1）求四边形CEQP的周长；

（2）当∠B＝30°

时，求在Rt△ABC的周长.

【练习1】如图，正方形ABCD，E、F、G、H依次是各边上的点，且EG⊥FH，求证：

EG﹦FH

【练习2】如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连结AE、AF，那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？

并证明你的结论。

【练习3】如图，已知：

四边形ABCD是正方形，E是CD上的点，BF平分∠ABE，点F是AD的中点上，求证：

BE＝AD＋DE

【练习4】已知△ABC，向外作正方形ABEF和ACGH.直线AK垂直BC于K，反向延长交FH于M，求证：

M是FH的中点.

【练习5】正方形ABCD的对角线交于O，∠BAC的平分线交BD于G，交BC于F，求证：

【练习6】菱形ABCD中，

，

，求菱形的面积.