《第26章离散量的最大值和最小值问题》竞赛专题复习含答案.docx

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《第26章离散量的最大值和最小值问题》竞赛专题复习含答案

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第26章离散量的最大值和最小值问题

26.1.1**某个篮球运动员共参加了10场比赛，他在第6、第7、第8、第9场比赛中分别得了23、14、11和20分，他的前9场比赛的平均分比前5场比赛的平均分要高，如果他的10场比赛的平均分超过18分，问：

他在第10场比赛中至少得了多少分？

解析设前5场比赛的平均得分为，则前9场比赛的平均得分为

．

由题设知，

解得．所以前5场最多得分是

（分）．

再设他第10场比赛得了分，那么有

，

解得y>28．

故他第10场比赛得分≥29分．

另一方面，当他在第6、第7、第8、第9、第10场比赛中分别得了23、14、11、20和29分，前5场总得分为84分时，满足题意．

所以，他在第10场比赛中至少得了29分．

评注在解最大值（或者最小值）问题时，我们常常先估计上界（对于最小值，估计下界），然后再构造一个例子说明这个上界（或者下界）是能够取到的，只有这样，才完整地解决了问题．

26.1.2*从任意个不同的正整数中，一定可以从中找到两个数，它们的差是12的倍数，求的最小值．

解析任取13个不同的整数，它们除以12所得到的余数中，一定有两个相同，于是它们的差是12的倍数．

又l，2，…，12这12个数，其中没有两个数的差为12的倍数．

综上所述，至少需任取13个数才能满足题意．

26.1.3**从1，2，3，…，20中，至少任取多少个数，可使得其中一定有两个数，大的数是小的数的奇数倍．

解析从1，2，…，20中取7，8，…，20这14个数，其中没有一个数是另一个数的奇数倍．

把1，2，…，20分成如下14组：

{1，3，9}，{2，6，18}，{4，12}，{5，15}，{7}，f8}，{10}，{11}，{13}，{14}，{16}，{17}，{19}，{20}，从中任取15个数，一定有两数取自同一组，于是大数便是小数的奇数倍．

26.1.4**如果甲的身高或体重至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙；在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子．问100个小伙子中的棒小伙子最多可能有多少个？

解析取100个小伙子是这样的一种特殊情况．他们的身高互不相同，是从小到大排列的，他们的体重也互不相同，且是从大到小排列的，这样的100个小伙子都是棒小伙子，所以棒小伙子最多有100个．

26.1.5**代数式中，、、、、、、、、可以分别取1或者．

（1）求证：

代数式的值都是偶数；

（2）求该代数式所能取到的最大值．

解析

（1）因为

，

所以，此代数式的值为偶数．

（2）原式，要使原式取得最大值，则与取1与，与取l与．但是，若与的取值相同（1或），则与的取值也相同，有．若与的取值不同．则与的取值也不同，也有．

所以，原式的最大值为4．这时取，，，，．

26.1.6**一个三位数除以43，商是．余数是（、都是整数），求的最大值．

解析由带余除法可知：

一个三位数．①

因为是余数，它必须比除数小，即≤42．根据①式．考虑到等式右边是一个三位数，为此不超过23（因为24×43>1000）．当时，因为43×23+10＝999，此时为10．当时，可取余数，此时43×22+42＝998．

故当，时，值最大，最大值22+42＝64．

从1，2，…，1001这1001个正整数中取出个数，使得这个数中任意两个数的差都不是素数，求的最大值．

解析设正整数被取出，则，，，都不能被取出．而，，三者中至多只能有一个被取出．

所以连续8个整数，，，3，4，，，中至多有两个数被取出，而

1001＝8×125+1，所以≤2×125+1＝251．

又1，5，9，…，1001这251个数满足题设条件．所以的最大值为251．

26.1.8***从1，2，…，205共205个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数中的任意三个数、、（），都有．

解析首先，1，14，15，…，205这193个数，满足题设条件．

事实上，设、、（）这三个数取自1，14，15，…，205，若，则；若，则．

另一方面，考虑如下12个数组：

（2，25，2×25），（3，24，3×24），…，（13，14，13×14），

上述这36个数互不相等，且其中最小的数为2，最大的数为13×14＝182<205，所以，每一个数组中的三个数不能全部都取出来，于是，取出来的数的个数不超过205－12＝193个．

综上所述，从1，2，…，205中，最多能取出193个数，满足题设条件．

26.1.9***从1，2，3，…，16这16个数中，最多能选出多少个数，使得被选出的数中，任意三个数都不是两两互质的．

解析首先，取出1，2，…，16中所有2或3的倍数：

2，3，4，6，8，9，10，12，14，15，16．

这11个数要么是2的倍数，要么是3的倍数．由抽屉原理知，这11个数中的任意三个数，都必有两

个数同为2或3的倍数，它们的最大公约数大于1，也就是说这三个数不是两两互质的．所以，从1，2，…，16中可以选出11个数满足要求．

下面证明从1，2，…，16中任取12个数，其中一定有3个数两两互质．

事实上，令数组{1，2，3，5，7，…，13）．数组中有7个数，而且这7个数是两两互质的．从

1，2，…，16中任取12个数，由于以外只有9个数，故中至少有3个数被选出，这三个数是两两互质的．

所以，最多选出11个数满足要求．

26.1.10***已知，，…，都是正整数，且，若的最大值为，最小值为，求的值．

解析因为把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，故的最小值和最大值是存在的．

不妨设，若z1>1，则

，

且．

所以，当1时，可以把逐步调整到1，这时，将增大；同样地，可以把，，…，逐步调整到1，这时将增大．于是，当，，…，均为1，时，取得最大值，即

若存在两个数、，使得，则

，

这说明在，，…，，中，如果有两个数的差大于1，则把较小的数加l，较大的数减1，这时，将减小．

所以，当取到最小时，，，…，。

中任意两个数的差都不大于1．不难算出，当，时，取得最小值，即

．

故．

26.1.11***从1，2，…，9中任取个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求”的最小值．

解析当时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．

当时，设，，…，是1，2，…，9中的5个不同的数．若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则，，…，中不可能同时出现1和9；2和8；3和7；4和6．于是，，…，中必定有一个数是5．

若，，…，中含1，则不含9．于是不含4（4+l+5＝10），故含6；于是不含3（3+6+1＝10），故含7；于是不含2（2+1+7＝10），故含8．但是5+7+8＝20是10的倍数，矛盾．

若，，…，中含9，则不含1．于是不含6（6+9+5＝20），故含4；于是不含7（7+4+9＝20），故含3；于是不含8（8+9+3＝20），故含2．但是5+3+2＝10是10的倍数，矛盾．

综上所述，的最小值为5．

26.1.12***把1，2，…，30这30个数分成个小组（每个数只能恰在一个小组中出现），使得每一个小组中任意两个不同的数的和都不是完全平方数，求的最小值．

解析首先，考虑数6，19，30，因为6+19＝，6+30＝，19+30＝，所以，这3个数必须属于3个不同的小组，于是≥3．

另一方面，可以把1，2，…，30这30个数分成如下3个小组，使得它们满足题设条件：

{3，7，11，15，19，23，27，4，8，16，24），

{1，5，9，13，17，21，25，29，6，14，18，26}，

{2，10，12，20，22，28，30}，

由于完全平方数除以4的余数只能是0或者1，容易验证、、满足题设条件．

26.1.13***从{1，2，3，…，2000）中最多可能取出几个数，使得任意两个取出的数的差不为质数？

解析首先，对于任意自然数女，，{，，，…，}中至多取2个，使得它们的差不为质数．

事实上，只需考虑集合{1，2，3，4，5，6，7，8}．把它分成3组：

，{1，3，6，8），{2，4，7）．集合或中任意两数之差均为质数，故、中最多只能取一个．若5取出，则中1或6可取出．对于1，5，中不能取出数了；对于5，6，中也不能再取出数了．若5不取出，则、中最多各取一个，至多为2个．

综上所述，{，，，…，}中至多取2个，它们的差不为质数．从而{1，2，3，…，2000}中至多可取500个．

又对于4，4×2，…，4×500这500个数，其中任意两个数的差为4的倍数，不是质数．

因此，最多可取500个数满足要求．

26.1.14****有一个正方形的纸片，用剪刀沿一条不过任意一个顶点的直线将其剪成两部分；取出其中一部分，再沿一条不过任意一个顶点的直线将其剪成两部分；又从这三部分中取其中之一，还是沿一条不过顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，若最后得到了34个62边形和一些多边形的纸片，则至少要剪多少刀？

解析根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加，于是，经过忌次分割后，可得

（1）个多边形，这些多边形的内角和为（．

因为这（）个多边形中有34个62边形．它们的内角和为

，

其余多边形有（个），而这些多边形的内角和不少于．所以，解得≥2005．

当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下一个三角形，得到一个三角形和一个五边形，再在五边形上剪下一个三角形，得到2个三角形和一个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和一个62边形．再取出33个三角形，在每个三角形上各剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个62边形和33×58个三角形．于是共剪了58+33+33×58＝2005（刀）．

评注我们也是先估计（剪的次数）的下界，然后再说明这个下界（2005）是可以取到的，这里给了一个具体的剪法．注意，这个具体的剪法是必不可少的．另外，本题中估计女的下界，用的是“算两次”方法，即从两个不同的方面去考虑同一个量，一方面……另一方面……结合两个方面，可以得到一个等式，或者不等式，进而得到我们需要的结果．“算两次”是解最大值和最小值问题的有力工具．

26.1.15***某市有一些数学爱好者参加了今年的数学邀请赛，这次比赛的试题共有6道．已知每道试题恰有500名学生答对，但是任意两名学生中，至少有一道试题使得这两名学生都没有答对，问：

该市至少有多少名数学爱好者参加了这次数学邀请赛？

解析首先，易知每位学生至多答对了4道题．

事实上，由题设知，对任意一位学生来说，不可能答对6题．若有一位学生答对5题，由题意知，所有其他学生都与他答错相同的题，这也与每道试题恰有500个学生答对的题设矛盾．

若有一位学生答对了4题，不妨设答对了第l、2、3、4题，则没有一位学生同时答对第5题和第6题，否则将与题意矛盾．因为答对第5题与第6题的学生各有1500人，这样，学生人数至少为500+500+1>1000人．

若每位学生至多答对了3题，由于全部学生答对题数的总和为500×6＝3000题，所以学生人数至少有：

3000÷3＝1000人．

下面的例子说明1000人是可能的．

答对下列问题的人数各有100人：

（1，2，3），（1，3，4），（1，4，5），（1，5，6）．（1，2，6），（2，4，6），（2，3，5），（2，4，5），（3．4，6），（3，5，6）．

综上所述，至少有1000人参加了这次数学邀请