最新三角形的证明详细知识点例题习题资料.docx
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最新三角形的证明详细知识点例题习题资料
第一章 三角形的证明
一、全等三角形
（1）定义：
能够完全相等的三角形是全等三角形。
（2）性质：
全等三角形的对应边、对应角相等。
（3）判定：
SAS、SSS、ASA、AAS、HL
注：
SSA,AAA不能作为判定三角形全等的方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角
证题的思路：
例题解析：
二、 等腰三角形
1. 性质：
等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.
2. 判定：
有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）．
3. 推论：
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）．
4. 等边三角形的性质及判定定理
性质定理：
等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；
等边三角形是轴对 称图形，有3条对称轴.
判定定理：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
三个角都相等的三角形是等边三角形.
5. 含30°的直角三角形的边的性质
定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
例题解析 ：
三、.直角三角形
1. 勾股定理及其逆定理
定理：
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．
逆定理：
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
2. 命题与逆命题
命题包括题设和结论两部分；
逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；
3. 直角三角形全等的判定定理
定理：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 要点诠释：
1勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”
例题解析
四、 线段的垂直平分线
1. 线段垂直平分线的性质及判定
性质：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
判定：
到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
2.三角形三边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等
3. 如何用尺规作图法作线段的垂直平分线
分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于1/2AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.
要点诠释：
1注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；
2利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.
例题解析
五、.角平分线
1. 角平分线的性质及判定定理
性质：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
判定：
在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上
2. 三角形三条角平分线的性质定理
性质：
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
3. 如何用尺规作图法作出角平分线 要点诠释：
①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；
3几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形
例题解析：
【课堂练习】
1、△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最小边BC=4cm，最长边AB的长是（）
A.5cmB.6cmC.cmD.8cm
2、如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）
A．AB＝ACB．BD＝CD
C．∠B＝∠CD．∠BDA＝∠CDA
3、如上图，点在同一直线上,,,（填“是”或“不是”）的对顶角，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是（只需写出一个）．
4、已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对
5、如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是
A．6B．7C．8D．9
6、一个等腰三角形静的两边长分别为5或6，则这个等腰三角形的周长是．
7、等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为_______________。
8．等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（ ）
A．20°B．50°C．60°D．80°
9、如图，在Rt△ABC中∠C=90度,∠B=2∠A，AB=6cm，则BC=________.
10、如图，Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB=_______.
11、如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：
BC∥EF．（SAS）
12．已知:
如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE.求证:
BC＝DE.
13、已知：
如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B
求证：
△ABC≌△CDE
14、在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.求证:
Rt△ABE≌Rt△CBF;
15、如图5，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．
求证：
（1）BC=AD；
（2）△OAB是等腰三角形．
16、已知：
如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：
OB=OC
17、如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：
AE=CD.
第一章三角形的证明检测题
一、选择题（每小题4分，共36分）
1、等腰三角形的两边长分别为4厘米和9厘米，则这个三角形的周长为（）
A、22厘米B、17厘米C、13厘米D、17厘米或22厘米
2、下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（）
A、等腰三角形的两底角相等B、等腰三角形是轴对称图形
C、等腰三角形不是轴对称图形D、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合
3、如图1-Z-1所示，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°则∠B等于（）
A、50°B、40°C、25°D、20°
4、如图1-Z-2所示，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需要添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的条件是（）
A、∠B=∠E，BC=EFB、BC=EF，AC=DFC、∠A=∠D，∠B=∠E，D、∠A=∠D，BC=EF
5、已知：
如图1-Z-3所示，m∥n，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹的锐角为
20°则∠a的度数是（）
A、60°B、30°C、40°D、45°
B
6、如图1-Z-4所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）
A、6B、7C、8D、9
7、如图1-Z-5所示，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A=80°，∠ACB=60°，那么∠BDC=（）
A、80°B、90°C、100°D、110°
8、如图1-Z-6所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离
DE=3.8cm，则线段BC的长为（）
A、3.8cmB、7.6cmC、11.4cmD、11.2cm
11、“两直线平行，内错角相等”的逆命题是
12、如图1-Z-9，若△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=°
13、如图1-Z-10是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大的正方形E的面积是.
14、等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角是.
三、解答题（共40分）
15、（12分）已知：
如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后．点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．若∠1＝60°，AE=1．
（1）求∠2、∠3的度数；
（2）求长方形纸片ABCD的面积S．
16.已知：
如图10，AB=AC，DE∥AC，求证：
△DBE是等腰三角形.
图10
17.已知：
如图11，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAD=∠BAC，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线，求证：
CD=DB.
一、消费者分析
图11
18.已知三角形的三边分别是n2+n，n+和n2+n+（n＞0），求证：
这个三角形是直角三角形.
（3）年龄优势
价格便宜些□服务热情周到□店面装饰有个性□商品新颖多样□
喜欢□一般□不喜欢□
十字绣□编制类□银饰制品类□串珠首饰类□
19.如图12，△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，求证：
AD平分∠BAC.
（四）DIY手工艺品的“个性化”
可见“体验化消费”广受大学生的欢迎、喜欢，这是我们创业项目是否成功的关键，必须引起足够的注意。
图12
附件
（二）：
调查问卷设计
（二）上海的人口环境对饰品消费的影响
参考文献与网址：
20.如图13，以等腰直角三角形ABC的斜边AB与边面内作等边△ABD，连结DC，以DC当边作等边△DCE，B、E在C、D的同侧，若AB=，求BE的长.
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