常用逻辑用语知识点汇总文档格式.docx
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非
真
假
①当p、q同时为假时,“p或q”为假,其它情况时为真,可简称为“一真必真”;
②当p、q同时为真时,“p且q”为真,其它情况时为假,可简称为“一假必假”。
③“非p”与p的真假相反.
注意:
(1)逻辑连结词“或”的理解是难点,“或”有三层含义,以“p或q”为例:
一是p成立
且q不成立,二是p不成立但q成立,三是p成立且q也成立。
可以类比于集合中“
或
”.
(2)“或”、“且”联结的命题的否定形式:
“p或q”的否定是“
p且
q”;
“p且q”的否定是“
p或
q”.
(3)对命题的否定只是否定命题的结论;
否命题,既否定题设,又否定结论。
典型例题
1.判断下列语句是不是命题,若是,判断出其真假,若不是,说明理由。
(1)矩形难道不是平行四边形吗?
(2)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?
(3)求证:
,方程
无实根.
(4)
(5)人类在2020年登上火星.
2(江西卷)下列命题是真命题的为()
A.若
则
B.若
C.若
D.若
则
3(广东)已知命题
所有有理数都是实数,命题
正数的对数都是负数,
则下列命题中为真命题的是()
A.
B.
C.
D.
4(北京)若
是真命题,
是假命题,则()
(A)
是真命题(B)
是假命题
(C)
是真命题(D)
是真命题
知识点二:
四种命题
1.四种命题的形式:
用p和q分别表示原命题的条件和结论,用
p和
q分别表示p和q的否定,则四种命题的形式为:
原命题:
若p则q;
逆命题:
若q则p;
否命题:
若
p则
q;
逆否命题:
q则
p.
2.四种命题的关系:
①原命题
逆否命题.它们具有相同的真假性,是命题转化的依据和途径之一.
②逆命题
否命题,它们之间互为逆否关系,具有相同的真假性,是命题转化的另一依据和途径.
除①、②之外,四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.
四种命题及其关系:
关于逆命题、否命题、逆否命题,也可以有如下表述:
第一:
交换原命题的条件和结论,所得的命题为逆命题;
第二:
同时否定原命题的条件和结论,所得的命题为否命题;
第三:
交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题为逆否命题;
5.写出“若
,则
”的逆命题、否命题、逆否命题及
命题的否定,并判其真假。
解:
,是真命题;
否命题:
且
逆否命题:
,是真命题。
命题的否定:
,是假命题。
知识点三:
充分条件与必要条件:
对于“若p则q”形式的命题:
①若p
q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;
②若p
q,但q
p,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件;
③若既有p
q,又有q
p,记作p
q,则p是q的充分必要条件(充要条件).
2.理解认知:
(1)在判断充分条件与必要条件时,首先要分清哪是条件,哪是结论;
然后用条件推结论,
再用结论推条件,最后进行判断.
(2)充要条件即等价条件,也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.
“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.
3.判断命题充要条件的三种方法
(1)定义法:
(2)等价法:
由于原命题与它的逆否命题等价,否命题与逆命题等价,因此,如果原
命题与逆命题真假不好判断时,还可以转化为逆否命题与否命题来判断.即利用
与
;
的等价关系,对于
条件或结论是不等关系(或否定式)的命题,一般运用等价法.
(3)利用集合间的包含关系判断,比如A
B可判断为A
B;
A=B可判断为A
B,且
B
A,即A
B.
如图:
“
”
,且
是
的充分不必要条件.
的充分必要条件.
6(2011安徽)下列选项中,p是q的必要不充分条件的是()
(A)p:
>b+d,q:
>b且c>d
(B)p:
a>1,b>
1q:
的图像不过第二象限
(C)p:
x=1,q:
(D)p:
a>1,q:
在
上为增函数
7(2011全国大纲)使
成立的充分而不必要的条件是()
(B)
(D)
8(2011福建).若a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
9(2012江西)“
”是“
”的()
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
知识点四:
全称量词与存在量词:
1.全称量词与存在量词:
全称量词及表示:
表示全体的量词称为全称量词。
表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等,通常用符号“
”表示,读作“对任意”。
含有全称量词的命题,叫做全称命题。
全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可表示为“
”,其中M为给定的集合,p(x)是关于x的命题.
(II)存在量词及表示:
表示部分的量称为存在量词。
表示形式为“有一个”,“存在一个”,
“至少有一个”,“有点”,“有些”等,通常用符号“
”表示,读作“存在”。
含有
存在量词的命题,叫做特称命题 特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可表示
为“
2.对含有一个量词的命题进行否定:
(I)对含有一个量词的全称命题的否定
全称命题p:
,他的否定
:
全称命题的否定是特称命题。
(II)对含有一个量词的特称命题的否定
特称命题p:
特称命题的否定是全称命题。
(1)命题的否定与命题的否命题是不同的.命题的否定只对命题的结论进行否定(否定一
次),而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定(否定二次)。
(2)一些常见的词的否定:
正面词
等于
大于
小于
都是
一定是
至少一个
至多一个
否定词
不等于
不大于
不小于
不是
不都是
一定不是
一个也没有
至少两个
规律方法指导:
1.解答命题及其真假判断问题时,首先要理解命题及相关概念,特别是互为逆否命题的真
假性一致.
2.要注意区分命题的否定与否命题.
3.要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的,将二
者相互对照可加深认识和理解.
4.处理充要条件问题时,首先必须分清条件和结论。
对于充要条件的证明,必须证明充分
性,又要证明必要性;
判断充要条件一般有三种方法:
用集合的观点、用定义和利用命
题的等价性;
求充要条件的思路是:
先求必要条件,再证明这个必要条件是充分条件.
5.特别重视数形结合思想与分类讨论思想的运用。
总结升华:
1.判断复合命题的真假的步骤:
①确定复合命题的构成形式;
②判断其中简单命题p和q的真假;
③根据规定(或真假表)判断复合命题的真假.
2.条件“
”是“或”的关系,否定时要注意.
类型二:
10.写出命题“已知
是实数,若ab=0,则a=0或b=0”的逆命题,否命题,逆否命题,并判断其真假。
解析:
已知
是实数,若a=0或b=0,则ab=0,真命题;
否命题:
是实数,若ab≠0,则a≠0且b≠0,真命题;
逆否命题:
是实数,若a≠0且b≠0,则ab≠0,真命题。
1.“已知
是实数”为命题的大前提,写命题时不应该忽略;
2.互为逆否命题的两个命题同真假;
3.注意区分命题的否定和否命题.
类型三:
全称命题与特称命题真假的判断:
总结升华:
1.要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合M中每一个元素
,验证
成立;
要判断全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个
,使
不成立可;
2.要判断一个特称命题的真假,依据:
只要在限定集合M中,至少能找到一个
成立,则这个特称命题就是真命题,否则就是假命题.
类型四:
充要条件的判断:
1.处理充分、必要条件问题时,首先要分清条件与结论;
2.正确使用判定充要条件的三种方法,要重视等价关系转换,特别是
关系.
类型五:
求参数的取值范围:
由p或q为真,知p、q必有其一为真,由p且q为假,知p、q必有一个为假,所以,“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命题p及命题q为真的条件,再分类讨论.
11.已知p:
,q:
,若p是q的一个充分不必要条件,求m的取值范围.
12.命题p:
关于x的不等式
对任意
恒成立;
命题q:
函数
在R上递增
为真,而
为假,求实数
的取值范围。
从认知已知条件切入,将四种命题或充要条件问题向集合问题转化,是解决这类问题的基本策略。
类型六:
证明:
总结升华:
1.利用反证法证明时,首先正确地作出反设(否定结论).从这个假设出发,经过推理论证,
得出矛盾,从而假设不正确,原命题成立,反证法一般适宜结论本身以否定形式出现,
或以“至多…”、“至少…”形式出现,或关于唯一性、存在性问题,或者结论的反面是
比原命题更具体更容易研究的命题.
2.反证法时对结论进行的否定要正确,注意区别命题的否定与否命题.
1.对于充要条件的证明,既要证明充分性,又要证明必要性,所以必须分清条件是什
么,结论是什么。
2.充分性:
由条件
结论
必要性:
由结论
条件
2.叙述方式的变化(比如
的充分不必要条件”等价于“
的充分不必要要条件是
”).
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1.(2008年湖北卷2)若非空集合
满足
的子集,
则()
A.“
”的充分条件但不是必要条件
B.“
”的必要条件但不是充分条件
C.“
”的充要条件
D.“
”既不是“
”的充分条件也不是“
”必要条件
答案B
2.(2008年湖南卷2)“
成立”是“
成立”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
答案B
3.(2007全国Ⅰ)设
,
是定义在R上的函数,
,则“
均为偶函数”是“
为偶函数”的()
A.充要条件B.充分而不必要的条件
C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件
4.(2007宁夏)已知命题
,则()
A.
B.
C.
D.
答案C
5.(2007重庆)命题:
“若
”的逆否命题是()
A.若
B.若
C.若
D.若
答案D
6.(2007山东)命题“对任意的
”的否定是()
A.不存在
B.存在
C.存在
D.对任意的
答案C
7.(2006年天津卷)设集合
,那么“
”的()
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.(2006年山东卷)设p:
x
-x-20>
0,q:
<
0,则p是q的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案A
解析p:
0x5或x-4,q:
0x-2或-1x1或x2,借助图形知选A.
9.(2005年北京卷)
(2)“m=
”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0
相互垂直”的()
A.充分必要条件B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件
10.(2005年湖北卷)对任意实数a,b,c,给出下列命题:
①“
”充要条件;
②“
是无理数”是“a是无理数”的充要条件③“a>
b”是“a2>
b2”的充分条件;
④“a<
5”是“a<
3”的必要条件.
其中真命题的个数是()
A.1B.2C.3D.4