人教版九年级上册数学 第24章《圆》讲义 第15讲圆的有关性质有答案.docx

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人教版九年级上册数学第24章《圆》讲义第15讲圆的有关性质有答案

第15讲圆的有关性质

第一部分知识梳理

知识点一：

圆的相关概念

1、圆的定义

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、圆的几何表示：

以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”

3、圆的对称性：

（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。

（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

（3）圆是旋转对称图形。

知识点二：

弦、弧与圆的相关定义；

1、弦：

连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（如图中的AB）

2、直径：

经过圆心的弦叫做直径。

（如途中的CD）直径等于半径的2倍。

3、半圆：

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

4、弧、优弧、劣弧

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）

等弧：

在同一个圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。

知识点三：

垂径定理及其推论

垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：

圆的两条平行弦所夹的弧相等。

知识点四：

内接四边形

定理：

圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

第二部分考点精讲精练

考点1、圆的认识

例1、生活中处处有数学，下列原理运用错误的是（　　）

A．建筑工人砌墙时拉的参照线是运用“两点之间线段最短”的原理

B．修理损坏的椅子腿时斜钉的木条是运用“三角形稳定性”的原理

C．测量跳远的成绩是运用“垂线段最短”的原理

D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”原理

例2、如图，小明顺着大半圆从A地到B地，小红顺着两个小半圆从A地到B地，设小明、小红走过的路程分别为a、b，则a与b的大小关系是（　　）

A、a=bB、a＜bC、a＞bD、不能确定

例3、到点O的距离等于8的点的集合是．

例4、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，求AB的长是______．

例5、如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD=OA，若∠AOC=105°，求∠D的度数．

例6、如图，AB、CD为⊙O中两条直径，点E、F在直径CD上，且CE=DF．求证：

AF=BE．

举一反三：

1、有下列四个说法：

①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（　　）

A、1B、2C、3D、4

2、如图，一枚半径为r的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是（　　）

A．4πrB．2πrC．πrD．2r

3、如图所示，三圆同心于O，AB=4cm，CD⊥AB于O，则图中阴影部分的面积为    cm2．

4、如图，点A、B在⊙O上，且AB=BO．∠ABO的平分线与AO相交于点C，若AC=3，则⊙O的周长为______．（结果保留π）

5、已知AB为⊙O的直径，弦ED与AB的延长线交于⊙O外一点C，且AB=2CD，∠C=25°，求∠AOE的度数．

考点2、弧、弦、圆心角的关系

例1、如果两个圆心角相等，那么（）

A.这两个圆心角所对的弦相等

B.这两个圆心角所对的弧相等

C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等

D.以上说法都不对

例2、若⊙O的弦AB等于半径，则AB所对的圆心角的度数是（  ）

A．30° B．60° C．90° D．120°

例3、在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间，如果有一组量相等，那么，它们所对应的其它量也相等．如图，AB、CD是⊙O的两条弦

①若AB=CD，则有    =    ，    =    

②若弧AB=弧CD，则有    =    ，    =    

③若∠AOB=∠COD，则有    =    ，    =    ．

例4、如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，∠ABC=30°．过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB＝．

例5、如图，C为弧AB的中点，CN⊥OB于N，CD⊥OA于M，CN=4cm，则CD=    cm．

例6、已知：

如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC．求证：

AD=DC． 

举一反三：

1、下列语句中，正确的有（）

A．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等

B．平分弦的直径垂直于弦

C．长度相等的两条弧相等

D．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴

2、如图，在⊙O中，若点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC=（  ）

A．40°    B．45°    C．50°    D．60°

3、如图，⊙O中，已知弧AB=弧BC，且弧AB：

弧AmC=3：

4，则∠AOC=    度．

4、在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的圆心角是    度．

5、已知：

如图，⊙O的两条半径OA⊥OB，C，D是的三等分点，OC，OD分别与AB相交于点E，F．求证：

CD=AE=BF．

考点3、圆周角的应用

例1、如图，正方形ABCD内接于圆O，点P在上．则∠BPC=（）

A．35°B．40°C．45°D．50°

例2、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC、AD，若∠CAB=35°，则∠ADC的度数为（）

A．35°B．45°C．55°D．65°

例3、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O直径，若∠ABC＝50°，则∠CAD＝________°．

例4、AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB=2，则线段BQ的长为．

例5、已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．

（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；

（2）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．

例6、已知：

如图，在半径为2的半圆O中，半径OA垂直于直径BC，点E与点F分别在弦AB、AC上滑动并保持AE=CF，但点F不与A、C重合，点E不与A、B重合．

（1）求四边形AEOF的面积．

（2）设AE=x，S△OEF=y，写出y与x之间的函数关系式，求x取值范围．

举一反三：

1、如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数是（）

A．70°B．35°C．45°D．60°

2、如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠OAC等于（）

A．65°B．35°C．70°D．55°

3、如图，AB为⊙O的直径，BC=2cm，∠CAB=30°，则AB=    cm．

4、如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1，⊙O的弦AD交⊙O1于C，则：

（1）OC与AD的位置关系是______；

（2）OC与BD的位置关系是______；

（3）若OC=2cm，则BD=______cm．

5、如图，BC是圆O的直径，AD垂直BC于D，弧BA等于弧AF，BF与AD交于E，求证：

（1）∠BAD=∠ACB；

（2）AE=BE．

考点4、圆内接四边形

例1、四边形ABCD内接于圆，∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可能是（）

A．1：

3：

2：

4B．7：

5：

10：

8

C．13：

1：

5：

17D．1：

2：

3：

4

例2、如图，AB是半圆的直径，D是的中点，∠B=40°，则∠A等于（）

A．60°B．50°C．80°D．70°

例3、如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，2），M是劣弧OB上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（）

A．4B．3C．2D．2

例4、如图，已知圆心角∠BOC=80°，那么圆周角∠BAC=    度．

例5、如图，ABCD是圆内接四边形，E为DA延长线上的一点，若∠C=45°，AB=，则∠BAD=    ，点B到AE的距离为    ．

例6、如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°．

（1）求证：

AB为⊙C直径；

（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．

举一反三：

1、一条弦把圆周分成1：

4两部分，则这条弦所对的圆周角为（）

A．36°B．144°C．150°D．36°或144°

2、如图，A，B，C三点都在⊙O上，点D是AB延长线上一点，∠AOC=140°，∠CBD的度数是（）

A．40°B．50°C．70°D．110°

3、如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BAC=30°，则∠ADC=    ．

（2）（3）

4、如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD，E为弧BC上一点，下列结论：

①∠1=∠2；②∠3=2∠4；③∠3+∠5=180°．其中正确的是    （填序号）．

5、如图，已知AB=AC，∠BAC=120°，在BC上取一点O，以O为圆心OB为半径作圆，且⊙O过A点，过A作AD∥BC交⊙O于D，

求证：

（1）AC是⊙O的切线；

（2）四边形BOAD是菱形．

考点5、垂径定理

例1、在圆中，下列命题中正确的是（）

A．垂直于弦的直线平分这条弦

B．平分弧的直线垂直于弧所对的弦

C．平分弦的直径垂直于这条弦

D．平分弦所对的两条弧的直线平分这条弦

例2、如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是（）

A．B．9－C．D．25－

例3、如图，⊙O中，弦CD与直径AB相交于点E，∠AEC=45°，OF⊥CD，垂足为F，OF=2，DE=3，则DC=    ．

例4、已知⊙O内有一点M，过点M作圆的弦，在所有的弦中，最长的弦的长度为10cm，最短的弦的长度为8cm，则点M与圆心O的距离为    cm．

例5、已知：

如图，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD．

求证：

（1）PO平分∠BPD；

（2）PA=PC．

例6、如图①所示，已知点0是∠EPF的平分线上的点，以点0为圆心的圆与角的两边分别交于A，B和C，D．求证：

AB=CD．

（1）若角的顶点P在圆上，如图②所示，上述结论成立吗？

请加以说明；

（2）若角的顶点P在圆内，如图③所示，上述结论成立吗？

请加以说明．

举一反三：

1、如图，将半径为8的⊙O沿AB折叠，弧AB恰好经过圆心O，则折痕AB长为（）

A．B．C．D．8

2、如图，两个圆都以O为圆心，则下面等式一定成立的是（）

A．AB=CDB．AB=BCC．BC=CDD．AD=2BC

3、如图：

已知∠ACB=90°，AB、CD的交点P是CD的中点，若AB=10，CD=8，则AP的值为   ．

（1）

（2）（3）

4、如图，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过点O，若CD=4，EM=6，则⊙O的半径为    ．

5、如图，⊙O中，弦AB，CD相交于P，且四边形OEPF是正方形，连接OP．若⊙O的半径为5cm，，求AB的长．

考点6、垂径定理的实际应用

例1、如图，根据天气预报，某台风中心位于A市正东方向300k