1、人教版九年级上册数学 第24章圆讲义 第15讲 圆的有关性质有答案第15讲 圆的有关性质第一部分 知识梳理知识点一:圆的相关概念1、圆的定义 在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径。2、圆的几何表示:以点O为圆心的圆记作“O”,读作“圆O”3、圆的对称性: (1)圆是轴对称图形,它的对称轴是直径所在的直线。(2)圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心。 (3)圆是旋转对称图形。知识点二:弦、弧与圆的相关定义;1、弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦。(如图中的AB)2、直径:经过圆心的弦叫做直径。(如途中的C
2、D)直径等于半径的2倍。3、半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆。4、弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。弧用符号“”表示,以A,B为端点的弧记作“”,读作“圆弧AB”大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示);小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)等弧:在同一个圆中,能够完全重合的弧叫做等弧。知识点三:垂径定理及其推论垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦
3、所对的另一条弧。推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。知识点四:内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。第二部分 考点精讲精练考点1、圆的认识例1、生活中处处有数学,下列原理运用错误的是()A 建筑工人砌墙时拉的参照线是运用“两点之间线段最短”的原理B 修理损坏的椅子腿时斜钉的木条是运用“三角形稳定性”的原理C 测量跳远的成绩是运用“垂线段最短”的原理D 将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”原理例2、如图,小明顺着大半圆从A地到B地,小红顺着两个小半圆从A地到B地,设小明、小红走过的路程分别为a、b,则a与b的大小关系是()A、a=b B、ab C、ab D、不能确定
4、例3、到点O的距离等于8的点的集合是 例4、如图,AB是O的直径,点C在O上,CDAB,垂足为D,已知CD=4,OD=3,求AB的长是_例5、如图,O的弦AB、半径OC延长交于点D,BD=OA,若AOC=105,求D的度数例6、如图,AB、CD为O中两条直径,点E、F在直径CD上,且CE=DF求证:AF=BE举一反三:1、有下列四个说法:半径确定了,圆就确定了;直径是弦;弦是直径;半圆是弧,但弧不一定是半圆 其中错误说法的个数是()A、1 B、2 C、3 D、42、如图,一枚半径为r的硬币沿着直线滚动一圈,圆心经过的距离是()A4r B2r Cr D2r3、如图所示,三圆同心于O,AB=4cm
5、,CDAB于O,则图中阴影部分的面积为 cm2 4、如图,点A、B在O上,且AB=BOABO的平分线与AO相交于点C,若AC=3,则O的周长为_(结果保留)5、已知AB为O的直径,弦ED与AB的延长线交于O外一点C,且AB=2CD,C=25,求AOE的度数考点2、弧、弦、圆心角的关系例1、如果两个圆心角相等,那么( )A.这两个圆心角所对的弦相等 B.这两个圆心角所对的弧相等 C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D.以上说法都不对例2、若O的弦AB等于半径,则AB所对的圆心角的度数是( )A30 B60 C90 D120例3、在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间,如果有一组量
6、相等,那么,它们所对应的其它量也相等如图,AB、CD是O的两条弦若AB=CD,则有 = , = 若弧AB=弧CD,则有 = , = 若AOB=COD,则有 = , = 例4、如图,已知AB是O的直径,BC为弦,ABC=30过圆心O作ODBC交弧BC于点D,连接DC,则DCB 例5、如图,C为弧AB的中点,CNOB于N,CDOA于M,CN=4cm,则CD= cm 例6、已知:如图,C,D是以AB为直径的O上的两点,且ODBC求证:AD=DC 举一反三:1、下列语句中,正确的有( )A在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等B平分弦的直径垂直于弦C长度相等的两条弧相等D圆是轴对称图形,任何一条直径
7、都是它的对称轴2、如图,在O中,若点C是弧AB的中点,A=50,则BOC=( )A40B45C50D603、如图,O中,已知弧AB=弧BC,且弧AB:弧AmC=3:4,则AOC= 度4、在半径为1的圆中,长度等于的弦所对的圆心角是 度5、已知:如图,O的两条半径OAOB,C,D是的三等分点,OC,OD分别与AB相交于点E,F求证:CD=AE=BF考点3、圆周角的应用例1、如图,正方形ABCD内接于圆O,点P在上则BPC=( )A35 B40 C45 D50例2、如图,AB是O的直径,CD是O的弦,连接AC、AD,若CAB=35,则ADC的度数为( ) A35 B45 C55 D65 例3、如图
8、,ABC是O的内接三角形,AD是O直径,若ABC50,则CAD_例4、AB为半圆O的直径,现将一块等腰直角三角板如图放置,锐角顶点P在半圆上,斜边过点B,一条直角边交该半圆于点Q若AB=2,则线段BQ的长为 例5、已知O的直径为10,点A,点B,点C在O上,CAB的平分线交O于点D(1)如图,若BC为O的直径,AB=6,求AC,BD,CD的长;(2)如图,若CAB=60,求BD的长例6、已知:如图,在半径为2的半圆O中,半径OA垂直于直径BC,点E与点F分别在弦AB、AC上滑动并保持AE=CF,但点F不与A、C重合,点E不与A、B重合(1)求四边形AEOF的面积(2)设AE=x,SOEF=y,
9、写出y与x之间的函数关系式,求x取值范围举一反三:1、如图,BC是O的弦,OABC,AOB=70,则ADC的度数是( ) A70 B35 C45 D602、如图,A、D是O上的两个点,BC是直径,若D=35,则OAC等于( )A65 B35 C70 D553、如图,AB为O的直径,BC=2cm,CAB=30,则AB= cm4、如图,以O的半径OA为直径作O1,O的弦AD交O1于C,则:(1)OC与AD的位置关系是_;(2)OC与BD的位置关系是_;(3)若OC=2cm,则BD=_cm5、如图,BC是圆O的直径,AD垂直BC于D,弧BA等于弧AF,BF与AD交于E, 求证:(1)BAD=ACB;
10、(2)AE=BE考点4、圆内接四边形例1、四边形ABCD内接于圆,A、B、C、D的度数比可能是( )A1:3:2:4 B7:5:10:8C13:1:5:17 D1:2:3:4例2、如图,AB是半圆的直径,D是的中点,B=40,则A等于( )A60 B50 C80 D70 例3、如图,C过原点,且与两坐标轴分别交于点A、点B,点A的坐标为(0,2),M是劣弧OB上一点,BMO=120,则C的半径长为( ) A4 B3 C2 D2例4、如图,已知圆心角BOC=80,那么圆周角BAC= 度例5、如图,ABCD是圆内接四边形,E为DA延长线上的一点,若C=45,AB=,则BAD= ,点B到AE的距离为
11、 例6、如图,C经过坐标原点,且与两坐标轴分别交于点A与点B,点A的坐标为(0,4),M是圆上一点,BMO=120(1)求证:AB为C直径;(2)求C的半径及圆心C的坐标举一反三:1、一条弦把圆周分成1:4两部分,则这条弦所对的圆周角为( )A36 B144 C150 D36或1442、如图,A,B,C三点都在O上,点D是AB延长线上一点,AOC=140,CBD的度数是( ) A40 B50 C70 D1103、如图,AB是O的直径,点C,D在O上,BAC=30,则ADC= (2) (3)4、如图,在O中,直径AB垂直弦CD,E为弧BC上一点,下列结论:1=2;3=24;3+5=180 其中正
12、确的是 (填序号) 5、如图,已知AB=AC,BAC=120,在BC上取一点O,以O为圆心OB为半径作圆,且O过A点,过A作ADBC交O于D,求证:(1)AC是O的切线; (2)四边形BOAD是菱形考点5、垂径定理例1、在圆中,下列命题中正确的是( )A垂直于弦的直线平分这条弦B平分弧的直线垂直于弧所对的弦C平分弦的直径垂直于这条弦D平分弦所对的两条弧的直线平分这条弦例2、如图,AB是O的弦,C是AB的三等分点,连接OC并延长交O于点D若OC=3,CD=2,则圆心O到弦AB的距离是( ) A B9 C D25 例3、如图,O中,弦CD与直径AB相交于点E,AEC=45,OFCD,垂足为F,OF
13、=2,DE=3,则DC= 例4、已知O内有一点M,过点M作圆的弦,在所有的弦中,最长的弦的长度为10cm,最短的弦的长度为8cm,则点M与圆心O的距离为 cm例5、已知:如图,点P是O外的一点,PB与O相交于点A、B,PD与O相交于C、D,AB=CD求证:(1)PO平分BPD; (2)PA=PC例6、如图所示,已知点0是EPF的平分线上的点,以点0为圆心的圆与角的两边分别交于A,B和C,D求证:AB=CD(1)若角的顶点P在圆上,如图所示,上述结论成立吗?请加以说明;(2)若角的顶点P在圆内,如图所示,上述结论成立吗?请加以说明举一反三:1、如图,将半径为8的O沿AB折叠,弧AB恰好经过圆心O,则折痕AB长为( ) A B C D82、如图,两个圆都以O为圆心,则下面等式一定成立的是( )AAB=CD BAB=BC CBC=CD DAD=2BC3、如图:已知ACB=90,AB、CD的交点P是CD的中点,若AB=10,CD=8,则AP的值为 (1) (2) (3)4、如图,M是O中弦CD的中点,EM经过点O,若CD=4,EM=6,则O的半径为 5、如图,O中,弦AB,CD相交于P,且四边形OEPF是正方形,连接OP若O的半径为5cm,求AB的长考点6、垂径定理的实际应用例1、如图,根据天气预报,某台风中心位于A市正东方向300k
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