中考数学 几何图形的折叠与动点问题含答案.docx

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中考数学几何图形的折叠与动点问题含答案

2020中考数学几何图形的折叠与动点问题（含答案）

1.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝9，点E在BC上，CE＝4，点F是AD上的一个动点，若把△BEF沿EF折叠，点B落在点B′处，当点B′恰好落在矩形ABCD的一边上，则AF的长为________．

第1题图

3或　

2.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP的取值范围是________．

第2题图

6－2≤BP≤4　

3.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝6，E，F分别是线段AD、BC上的点，连接EF，使四边形ABFE为正方形，若点G是AD上的动点，连接FG，将矩形沿FG折叠使得点C落在正方形ABFE的对角线所在的直线上，对应点为P，则线段AP的长为__________．

第3题图

4或4－2　

4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC（AD＜BC），AB与CD不平行，AB＝CD＝5，BC＝12，点E是BC上的动点，将∠B沿着AE折叠，使点B落在直线AD上的点B′处，DB′＝1，直线BB′与直线DC交于点H，则DH＝________．

第4题图

或　

5.如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝8，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N.当点B′分线段MN为3∶5的两部分时，EN的长为________．

第5题图

或

6.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P是对角线BD上一动点，将纸片折叠，使点C与点P重合，折痕为EF，折痕EF的两端分别在BC、DC边上（含端点），当△PDF为直角三角形时，FC的长为________．

第6题图

或　

7.如图，正方形的边长为4，E是BC的中点，点P是射线AD上一动点，过P作PF⊥AE于F.若以P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似，则PA＝________．

第7题图

2或5　

8.如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是AD中点，点P在射线BD上运动，若△BEP为等腰三角形，则线段BP的长度等于____________．

第8题图

或或　

9.如图，在▱ABCD中，∠B＝30°，AB＝AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD、BC于点E、F；点M是边AB的一个三等分点．则△AOE与△BMF的面积比为__________．

第9题图

3∶4或3∶8　

10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将△AEP沿着边PE折叠，折叠后得到△EPA′，若△EPA′与△ABC的另一个交点为F，当EF＝AB时，则BP的长为________．

第10题图

2或2　

11.已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E，连接ED，若ED＝EC.

（1）求证：

AB＝AC；

（2）①若AB＝4，BC＝2，则CD＝________；

②当∠A＝________时，四边形ODEB是菱形．

第1题图

1．

（1）证明：

∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠C，

∵∠EDC＋∠ADE＝180°，∠B＋∠ADE＝180°，

∴∠EDC＝∠B，∴∠B＝∠C，

∴AB＝AC；

（2）解：

①；

如解图，连接BD，

第1题解图

∵AB为⊙O的直径，∴BD⊥AC，

设CD＝a，由

（1）知AC＝AB＝4，则AD＝4－a，

在Rt△ABD中，由勾股定理可得BD2＝AB2－AD2＝42－（4－a）2，

在Rt△CBD中，由勾股定理可得BD2＝BC2－CD2＝

（2）2－a2，

∴42－（4－a）2＝

（2）2－a2，解得a＝，即CD＝.

②60°.

如解图，连接OD、OE，

∵四边形ODEB是菱形，∴OB＝BE，

又∵OB＝OE，∴△OBE是等边三角形，∴∠OBE＝60°，

∵OD∥BE，∴∠BOD＝120°，∴∠A＝∠BOD＝60°.

12.如图，在▱ABCD中，AD＝4，AB＝5，延长AD到点E，连接EC，过点B作BF∥CE交AD于点F，交CD的延长线于点G.

（1）求证：

四边形BCEF是平行四边形；

（2）①当DF＝______时，四边形BCEF是正方形；

②当＝________时，四边形BCEF是菱形．

第2题图

13.

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴EF∥BC.

∵BF∥CE，∴四边形BCEF是平行四边形；

（2）解：

①1;

∵四边形BCEF是正方形，

∴BF＝BC＝AD＝4，∠FBC＝∠AFB＝90°，

∴AF＝＝＝3.

∵AD＝4，∴DF＝AD－AF＝4－3＝1.

②.∵四边形BCEF是菱形，

∴BF＝BC＝AD＝4.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，

∴＝，即＝＝.

14.如图，AB是半圆O的直径，射线AM⊥AB，点P在AM上，连接OP交半圆O于点D，PC切半圆O于点C，连接BC.

（1）求证：

BC∥OP；

（2）若半圆O的半径等于2，填空：

①当AP＝________时，四边形OAPC是正方形；

②当AP＝________时，四边形BODC是菱形．

第3题图

解：

（1）证明：

连接OC，AC，如解图所示，

∵AB是直径，AM⊥AB，

∴BC⊥AC，AP是半⊙O的切线，

又∵PC是半⊙O的切线，∴PA＝PC，

又∵OA＝OC，∴OP⊥AC，

∴BC∥OP；

（2）①2；②2.

①若四边形OAPC是正方形，

则OA＝AP，∵OA＝2，∴AP＝2；

②若四边形BODC是菱形，则CB＝BO＝OD＝DC，

∵AB＝2OB，∠ACB＝90°，

∴AB＝2BC，∴∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，

∵BC∥OP，∴∠AOP＝∠ABC＝60°，

又∵∠OAP＝90°，OA＝2，

∴∠OPA＝30°，∴OP＝4，

∴AP＝＝2.

第3题解图

15.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，线段BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，AF＝CE且F不与E重合．

（1）求证：

△EFA≌△ACE；

（2）填空：

①当∠B＝_________°时，四边形ACEF是菱形；

②当∠B＝_________°时，线段AF与AB垂直．

第4题图

（1）证明：

如解图，

第4题解图

∵ED是BC的垂直平分线，∴EB＝EC，ED⊥BC，

∴∠3＝∠4，

∵∠ACB＝90°，∴FE∥AC，∴∠1＝∠5，

∵∠2与∠4互余，∠1与∠3互余，∴∠1＝∠2＝∠5，

∴AE＝CE.

又∵AF＝CE，∴AE＝AF，∴∠5＝∠F，

在△EFA和△ACE中，

AF＝AE＝EC，∠1＝∠2＝∠5＝∠F，∴△EFA≌△ACE.

（2）解：

①30；②45.

①∵四边形ACEF是菱形，∴AC＝CE，

∵CE是Rt△ABC斜边AB的中线，

∴CE＝AE＝BE，∴AE＝AC＝CE，

∴△ACE是等边三角形,∴∠1＝60°，则∠B＝30°,

∴当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形；

②由

（1）知△EFA≌△ACE，

∴∠AEC＝∠EAF，∴AF∥CE，

∵AF⊥AB，∴CE⊥AB，

∵CE＝EB，∴∠3＝∠4＝45°，

∴当∠B＝45°时，线段AF与AB垂直．

16.如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O外一点，过点E作⊙O的两条切线ED，EB，切点分别为点D，B.连接AD并延长交BE延长线于点C，连接OE.

（1）试判断OE与AC的关系，并说明理由；

（2）填空：

①当∠BAC＝_________°时，四边形ODEB为正方形；

②当∠BAC＝30°时，的值为________．

第5题图

5.解：

（1）OE∥AC，OE＝AC.

理由：

连接OD，如解图，

第5题解图

∵DE，BE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，AB⊥BC，

∴∠ODE＝∠ABC＝90°，∵OD＝OB，OE＝OE，∴Rt△ODE≌Rt△OBE（HL），∴∠1＝∠2.

∵∠BOD＝∠A＋∠3，OA＝OD，∴∠A＝∠3，

∴∠2＝∠A，∴OE∥AC；

∵OA＝OB，∴EC＝EB，

∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝AC.

（2）①45；②3.

①要使四边形ODEB是正方形，由ED＝EB，∠ODE＝∠ABC＝90°,只需∠DOB＝90°，∴∠A＝45°；②过O作OH⊥AD于H,∵∠A＝30°，OA＝OD,∴∠3＝∠A＝30°，∴OD＝AD，∵∠ODE＝90°，∠1＝∠3＝30°，∴OD＝DE,∴AD＝DE，∴＝3.

17.如图，将⊙O的内接矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连接BC1，∠ACB＝30°，AB＝1，CC1＝x.

（1）若点O与点C1重合，求证：

A1D1为⊙O的切线；

（2）①当x＝________时，四边形ABC1D1是菱形；

②当x＝________时，△BDD1为等边三角形．

第6题图

（1）证明：

∵四边形ABCD为矩形，∴∠D＝90°，

∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，

∴∠A1D1O＝∠D＝90°，∴A1D1⊥OD1，

∴A1D1为⊙O的切线；

（2）解：

①1；②2.

①如解图①，连接AD1，当x＝1时，四边形ABC1D1是菱形；

第6题解图①

理由：

由平移得：

AB＝D1C1，且AB∥D1C1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，∵∠ACB＝30°，∴∠CAB＝60°，

∵AB＝1，∴AC＝2，

∵x＝1，∴AC1＝1，∴AB＝AC1，

∴△AC1B是等边三角形，∴AB＝BC1，

∴四边形ABC1D1是菱形；

②如解图②所示，当x＝2时，△BDD1为等边三角形，

第6题解图②

则可得BD＝DD1＝BD1＝2，

即当x＝2时，△BDD1为等边三角形．