大连交通大学高等数学E1应试指南第17章docxWord文件下载.docx
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12、准则I（夹逼准则）：
如果数列xn,yn及zn满足下列条件:
（1）ynxnzn（n1,2,3,）;
limyn
a,limzna,
（2）n
limxna.
那末数列xn的极限存在,且n
12、单调递增有上界的数列必有极限，单调减少有下界的数列必有极限
sing（x）
13
、两个重要极限：
（1）如果x
a时，g（x）
lim
xag（x）
（2）如果x
a时，g（x）
lim1g（x）g（x）
，则：
xa
14
、当求极限的函数是几个无穷小的积和商时可以进行等价无穷小
替换，和差的时候不可以
15、会判断函数在一点是否连续
16、函数的间断点及其分类：
第一类间断点：
跳跃间断点，可去间断点；
第二类间断点：
无穷间断点，振荡间断点；
会判断是哪种类型的间断点
17、连续函数之间的和差积商都是连续的，两连续函数的复合也是
连续的，初等函数在其定义区间内都是连续的
18、闭区间上连续函数的性质：
最大最小值定理，有界性定理，零
点定理，介值定理
19、会求函数的水平渐近线和垂直渐近线
注意事项：
1、讨论函数连续性的时候，对于分段函数，若在每个小的开区间
上为初等函数，则在此开区间上必连续；
而在分隔点处，先求
在分隔点处的左右极限然后与函数值进行比较，如间断必须判
e
断出是哪种间断点
2、幂指函数求极限：
limf（x）g（x）limeg（x）lnf（x）elim[g（x）lnf（x）]
3、做题的时候一定要把求极限符号下自变量的变化趋势给写出
来，我不写是为了表示两种不同的变化趋势都适用，你做具体
题的时候不可以不写，推导的过程中极限符号不可落掉，避免
出现极限等于一个函数的情形
第二章导数与微分
f（x0）
y
f（x0
x）
f（x0）
x
1、掌握导数的定义：
x0x
x0
2、函数在一点处左右导数的定义
3、函数在一点可导左右导数都存在且相等函数在这一点连续
4、函数在x0处导数的几何意义：
函数图像过点（x0,f（x0））切线的斜率
5、求导的四则运算法则
6、会求函数过某点的切线方程和法线方程
7、复合函数求导法则：
[f（g（x））]f（u）
ug（x）g（x）
dy1dx
8、反函数求导法则：
dxdy
9、导数表里的公式都要记住
10、掌握隐函数求导法则，会求隐函数的一阶导和二阶导
11、掌握参数方程求导公式：
dydydx
dxdtdt
12、会求函数的微分：
df（x）f（x）dx，函数在一点处的微分：
df（x）xx0f（x0）x
1、讨论函数可导性的时候，对于分段函数，如果在每个开区间上
是初等函数则在开区间内必可导，而在分隔点处要分别求左右
导数，如果左右导数存在且相等则可导，否则不可导
2、
左导数不等于左极限：
f（x0）lim
limf（x），
xx0
也不可以对分隔点左侧函数先求导函数再取极限得到
3、应用隐函数求导法则求在给定点处一、二阶导数的时候，不仅
要在结果中把横坐标的值代入，相应纵坐标的值也要代入
4、
幂指函数求导数可以用对数求导法也可以：
（f（x）g（x））（eg（x）lnf（x））eg（x）ln
f（x）
（g（x）lnf（x）），但不可以令
f（x）
u,g（x）v，然后化成yuv
然后用幂函数求导公式，因为这里的
v不是常数，这样的做法从过程到结果都是极其错误的
5、求切线方程和法线方程的时候，要先判断给出的点是否在函数
图像上，如果在就是切点，如果不在要先把切点设出来
第三章微分中值定理与导数的应用
1、会用罗尔定理和拉格朗日定理来证明一些简单的结论，理解拉格朗日中值定理的证明过程，对柯西中值定理的内容有一定的了解
2、导函数为0的函数必为常值函数
3、会用洛比达法则来求未定式的极限：
0，
limf（x）limf（x）
F（x）F（x）
4、掌握一些化简后可以间接利用洛比达法则来计算的函数的极限
5、掌握利用函数一阶导数符号来判断函数单调性的一般步骤，会
求极值点与极值
6、掌握利用函数二阶导数符号来判断函数凹凸性的一般步骤，会
求拐点
7、会求函数的最值点与最值
8、如果函数只有有限个驻点与不可导点，则极值点不是驻点就一
定是不可导点；
最值点不是极值点就一定是端点。
所以求极值
的时候要把所有不可导的点与驻点都找出来，而在求最值的时
候要把所有不可导点，驻点以及端点都找出来
9、会用函数单调性来证明某些不等式
1、罗尔定理有三个条件：
闭区间连续，开区间可导，端点处函数
值相同，拉格朗日中值定理有两个条件：
闭区间连续，开区间可导；
当用上述两个定理来做证明题时，注意把相应的条件写上去
2、不论是讨论单调性还是讨论凹凸性，都是在每个小的开区间上
讨论一阶导或二阶导的符号，在相应“闭区间”（只要小区间
端点在定义域里就一定要带上）上得到单调性和凹凸性；
不要
总是拿开区间说事
3、极值点，最值点都是实数。
而拐点是凹凸性发生变化的点（左
右两侧二阶导符号发生变化）不是单调性发生变化的点，拐点
是图像上的一个点，既有横坐标又有纵坐标
4、用洛必达法则求极限的时候，只要是未定式，我们总是先用洛比达法则直到求出最后结果，如果最后的结果是个有限的实数或者为无穷大，则中间的推导过程是成立的，而如果最后发现极限不存在且也不是无穷大，则中间的过程是错误的，需要用其他的方法来计算这个极限
5、找出函数所有不可导点，一般在定义域里找导函数没有意义的点，同理找函数所有二阶导不存在的点，通常是找二阶导函数表达式没有意义的点
6、如果题目里限定了自变量的取值范围，即给出了定义域的时候，就不要跑出定义域在函数没有意义的区间上讨论单调性和凹凸性
第四章不定积分
1、
理解f（x）的不定积分
f（x）dx指的是函数f（x）的所有原函数，而
f（x）所有原函数之间只相差一个常数，所以如果已知
F（x）是
f（x）的一个原函数，则
f（x）dxF（x）
C
不定积分的性质：
一、多个（只要有限个都成立）函数之和的
不定积分等于不定积分之和。
二、
kf（x）dxkf（x）dx
3、
第一换元积分法：
如果已知F（U）是f（U）的一个原函数，则：
f（（x））（x）dxf（U）dU
F（U）U（x）
4、第一换元积分法常见的几种类型：
积分类型
1.f（axb）dx
f（ax
b）d（axb）（a
0）
a
2.
f（x）x1dx
f（x）d（x）（
3.
f（lnx）
f（lnx）d（lnx）
dx
第4..f（ex）exdx
f（ex）dex
一
5.
f（ax）axdx
f（ax）dax
换
lna
元
6.
f（sinx）
cosxdx
f（sinx）dsinx
积
7.
f（cosx）
sinxdx
f（cosx）dcosx
分
f（tanx）sec2xdx
法
8.
f（tanx）dtanx
9.
f（cotx）csc2xdx
f（cotx）dcotx
10.
f（arctanx）
2dx
f（arctanx）d（arctanx）
11.
f（arcsinx）
f（arcsinx）d（arcsinx）
x2
换元公式
uaxb
ux
ulnx
uex
uax
usinxucosx
utanxucotx
uarctanxuarcsinx
mn
5、sinxcosxdx形式的不定积分，m，n均为偶数时，考虑用倍
角公式，否则谁奇就拆谁
tanmxsecnxdx（
cotmxcscnxdx）形式的不定积分，不是令tanx
（cotx）为U就是令secx（cscx）为U
第二换元积分法：
如果x
（t）单调可导，则：
f（x）dx
f[（t）]（t）dtt1（x）
8、被积函数f（x）中如果含有a2x2，则令xasint，t（2,2），
注意此时cost0
被积函数f（x）中如果含有naxb
nax
b
tn或
或cx
d时，令axb
ax
tn
x关
cx
d
，注意这里是在用第二换元积分法，要先反解出
于t的函数x
（t）
10、
掌握分部积分公式：
f（x）g（x）dx
f（x）g（x）f（x）g（x）dx
Pn（x）
11、
Pm（x）
对于有理函数的不定积分：
，当被积函数为假分式
Pn（x）
的时候，先把被积函数Pm（x）用多项式除法分解为一个多项式
和真分式之和，然后再求不定积分
12、对于真分式的不定积分：
一、
c
*
ba
lnx
axb
ex
f
（ax2
bx
c）*e
be2adx
ax2
2a
ax2
bxc
（ax2
c）
be2a
对于第一个不定积分可由第一换元法解出；
而对于第二个不定积分，当分母判别式大于零时，此时分母可因式分解，用真分式分解可解。
当分母判别式等于零时，分母为完全平方项，令分母的一次因
式为中间变量用第一换元积分法转化为u2的不定积分进而得解。
当分母判别式小于零时，分母为完全平方项加上一个正数，可转化为
1u2的不定积分进而得解；
1、f（x）dx表示的是所有原函数，中间过程和最后结果都不要忘了
C，当计算一个复杂的不定积分时，如果在计算过程中前面算某个
不定积分时已经使用了C1代表任意常数，后面使用的其他任意常数要
和C1区别一下，不要使用同一个符号
2、用第一换元积分法的时候，要想令
U，就要在被积函数里凑
出来
x这个因式，然后
xdxd（
x）
dU
3、不管是用第一还是第二换元法，最后的结果都要转化成关于原变
量的函数，当使用第二换元法时，注意x（t）的单调性要求对t取值
范围的限制，这往往会影响开根号时的符号问题
4、我们使用分部积分公式是想把一个不容易计算的不定积分，转化
为一个更容易求出的另一个不定积分，那么事先就要考虑应该对谁求
导对谁取原函数，用几次分部积分公式可以求出。
第五章
定积分
f（x）dx
1、f（x）在闭区间a,b上的定积分
，表示的是函数f（x）图像
与x轴所围成的曲边梯形（夹在直线xa与xb之间那部分）位于x轴上方图形的面积减去位于x轴下方图形的面积，是由一个极限的形式
来定义的：
f（x）dxlim
f（i）xi
i1
2、熟记定积分的七个性质，尤其是定级分中值定理：
f（x）dxf
（ba）
a,b
，这里
以及：
（8）当a
b时,
f（x）dx
（9）
3、掌握积分上限函数及其求导公式：
f（x）dxf（x）dx
ab
f（t）dtf（x）
更复杂的情形：
b（x）
f（t）dtf（b（x））b（x）f（a（x））a（x）
a（x）
牛顿—莱布尼兹公式：
若函数F（x）是连续函数f（x）在区间[a,b]上
的一个原函数,则
f（x）dxF（b）F（a）
还可以表示为：
5、
定积分第一换元法：
f（（x））（x）dx
f（U）dU
定积分第二换元法：
1（b）
f（（t））（t）dt
1（a）
7、定积分的分部积分公式：
af（x）g（x）dx
f（x）g（x）a
af（x）g（x）dx
8、对于有理函数的定积分，可先求出有理函数的不定积分，然后
用牛顿--莱布尼兹公式解出
9、对于无穷区间上的三种反常积分：
fxdxF（）F（a）
F（
）lim
F（x）
这里F（x）是f（x）的一个原函数，当
极限存在时，我们
称反常积分
xdx
fxdx
收敛，反之则称反常积分
发散；
fxdxF（b）F（）
当
F
（
）
（）
收敛，反
x极限存在时，我们称反常积分
之则称反常积分
xdx发散；
F（）
）limF（x）
极限都存在时，我们称反常积分
（）和
Fx
dx收敛，反之则称反常积分
fxdx发散。
如果f（x）是奇函数，则
af（x）dx
0；
如果f（x）是偶函数，则
2
f（x）dx。
U
1、a
也是个积分上限函数，是个关于变量U的函数，且有：
f（x）dxf（U）
2、定积分的值只与积分上下限和被积函数有关，与积分变量无关：
bbb
f（x）dxf（t）dtf（U）dU
aaa
3、当使用定积分的第一第二换元积分法的时候，因为积分变量要
发生变化，所以积分变量的取值范围也必然要发生相应变化，
注意一定要变更相应的积分上限和积分下限
4、见到形式比较复杂的定积分，如果积分区间关于原点对称，则
注意观察被积函数是否是一个奇函数与某个简单函数之和
第六章定积分的应用
4、掌握微元法的基本思想和基本步骤：
微元法即如何把待求的物理量U（总量）表示为定积分的方法：
第一步：
选取合适的积分变量
s及其变化区间[a,b]
第二步：
在区间[s,sds]上计算总量U落在此极小区间上部分分
量U的近似值dU（U的微元）：
UdU
f（s）ds
第三步：
将物理量U表示为定积分，并计算出定积分的值：
Uf（s）ds
用微元法计算平面图形的面积
U（直角坐标系及参数坐标系
下）：
s及其变化区间[a,b]（注：
参数
坐标系下，也是要么选择x，要么选择y，这一步不要选参变
量做积分变量）
计算总面积U落在极小区间[s,sds]上部分分量U（在
区间长度极小时近似于一个矩形）的近似值dU（将其当作矩形
计算出来的小矩形的面积）：
UdUf（s）ds
（注：
如果是在参数坐标系下，会遇到这样的问题：
如果选择
积分变量为x，在计算小矩形面积dU时需要将其表示为f（x）dx
的形式，此时不用解出y关于x的表达式，如果y关于x只有一
个解则用y来代替，如果有两个，则一个用
y1，另一个用y2；
积分变量是y时同理）
将总面积U表示为定积分，并计算出定积分的值：
Uf（s）ds
参数坐标系下，要对定积分表达式应用第二换元积分法
将其转化为关于参变量的定积分，然后再求解）
用微元法计算旋转体的体积
U：
s及其变化区间[a,b]（绕哪个轴
旋转就选哪个轴做积分变量）
计算总体积U落在极小区间[s,sds]上部分分量
U（在
区间长度极小时近似于一个圆柱或圆环）的近似值dU（将其当作圆柱或圆环计算出来的小圆柱或小圆环的体积）：
UdU
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