第三章多维随机变量及其分布测试题答案Word文档格式.docx
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1/3
a
4.设二维随机变量的密度函数/•（x,y）=V'
°
H022,则
5.设随机变量X,Y同分布，X的密度函数为/（"
）=产设人二
a其他
（X>
b）与B二（Y>
b）相互独立，且P（A^B）=-■则b二習・
4~——
6.在区间（0,1）随机取两个数，则事件“两数之积大于丄”的概率为
34
7.设x和y为两个随机变量，且p（x>
o,y>
o）=pP（x>
o）=p（y>
o）=-,
则P（max{X,y}>
0）=_|.
8.随机变量（X,y）~N（O,O,UO）,则D（3X-2Y）二13.
9・设D（X）=25Q（Y）=36“xy=0・4,则D（X+Y）=85
D（X-Y）=37
10.设随机变量Z=（aX+3Y）29E（X）=E（Y）=0.D（X）=4,D（Y）=16,
Px>
=-0.5,则E（Z）m严_108
2.单项选择题（每题4分）
1.
下列函数可以作为二维分布函数的是（B）・
2.设平面区域D由曲线y=-及直线x=0,y=\,y=e2围成，二维随机变量在区域D上服从均匀分布，则（X,Y）关于Y的边缘密度函数在y=2处的值为（C）.
A.-B.-
23
C.-D.--
42
3.若（X,Y）服从二维均匀分布，则（B）.
A.随机变量X.Y都服从一维均匀分布
B.随机变量X,Y不一定服从一维均匀分布
C.随机变量X,Y—定都服从一维均匀分布
D.随机变量X+Y服从一维均匀分布
4.
若D（X+Y）二D（X）+D（Y）.则（A）.
5.在［0“］上均匀地任取两数X和Y,则P{cos（X+Y）vO}=（D）.
193
A.1B.-C.-D.二
234
三、计算题（第一題20分，第二题24分）
1.已知P（X=幻=2P（Y=-幻=2■，伙=123）,X与丫相互独立.
klc
（1）确定a,b的值；
（2）求（X,Y）的联合分布列；
（3）求X-Y的概率分布.
解：
（1）由正则性为P（X=k）=l有，a+—+—=\^a=—
k2311
VP（Y=-切=1有，/?
+—+—=1=>
Z?
=—
牛4949
（2）（X,Y）的联合分布律为
-3
-2
-1
1
24/539
54/539
216/539
2
12/539
27/539
108/539
3
8/539
18/539
72/539
辰-gf>
ay>
°
（3）X-Y的概率分布为
X-Y
66/539
251/539
126/539
2.设随机变量（X,Y）的密度函数为p（x.y）=
（1）确定常数k；
（2）求（X,Y）的分布函数;
（3）求P（0<
X<
L0<
2）.
:
00
JJvf^-（3v+4A/x=l
（1）V
kI*Je~^xdx=k（-；
e-4'
）I；
•（_；
厂"
）l；
=土=1J0412
Ak=12
（2）F（x,y）=「i12a一⑶+%“dv=12丄（1一e"
3x）（l-e"
4）?
）
Oo12
=（1_e一弘）（1—a"
4）Q0,y>
FzjU-igfw〉。
（3）P（0<
X<
1.0<
r<
2）=F（L2）+F（0.0）-F（L0）-F（0,2）
=（14）（1Y"
3.设随机变量X,Y相互独立，且各自的密度函数为px（x）=<
0,
1卜
Py（y）=3e,J-°
求z=x+Y的密度函数
0,y<
oc
Z二X+Y的密度函数Pz（z）=jpx（x）pY（z-x）dx
e2,x>
•:
PxWPy（z-x）在OWxWz时有非零值
—oc
当z<
0时,Pz⑵=0
ZZ
——■—
所以z二X+Y的密度函数为pza）=\e3（1__06）,zno
0,z<
4.设随机变量X,Y的联合密度函数为p（x,刃=二：
y>
0,分别求下
列概率密度函数.
（1）M=M心{XV};
（2）N=Min{X.Y}.
（1）因为px（x）=Jp（x,y）dy=J\2e^4ydy=3丘亠
-X0
■XX
pY（y）=jp（x.y）dx=|\2e~'
x^vdy=4e^v
—x0
所以p（x,y）=px（x）py（y）即X与Y独立.
所以当z〈0时，Fm（z）=0
当z$o时，fm（z）=p（m<
z）=p（x<
z,y<
z）=p（x<
z）p（y<
z）
"
x（Z）片⑵=（1-严）（1-严）
所以（、=J0，ZVO=jo,zvO
八5乙_[3矿攵（1_07l+_j3e』z+4e4_7eS,zn0
（2）当z<
0时,休⑵=0
当zNO时，耳（z）=P（N>
z）=P（X>
乙r>
z）=l-P（X>
z）P（r>
解:
因为X,Y相互独立，则Cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=0
所以PXY=0
6.设随机变量（X,Y）的联合密度函数分别为求X
0,其他
和Y的边际密度函数.
»
x
Px（x）=Jpgy）〃y=J3'
zfy=3x2,0<
1
-300
—X
<
y<
四、证明题.
1.已知二维随机变量（X,Y）的联合密度函数分布列如下表，试验证X与Y不相关,但X与Y不独立.
-1
0.125
0125
证明：
因为E（X）=-1X0.375+0X0.25+1X0.375=0
E（Y）=-1XO.375+0X0.25+1X0.375=0
E（XY）=-1XO.25+0X0.5+1X0.25=0
所以E（XY）=E（X）E（Y）
即X与Y不相关.
又因为P（X=l,Y=l）=0.125,P（X=l）=0.375,P（Y=l）=0.375
P（X=1,Y=1）HP（X=1）P（Y=1）
所以X与Y不独立.
2.设随机变量（X,Y）满足E（X）=E（Y）=0,D（X）=D（Y）=ICov（X.Y）=p,证明
E（max{X\K2}）<
1+y]\-p2・
证明:
因为E（X）=E（Y）=0,D（X）=D（Y）=1,Cov（X9Y）=p
所以E（X2）=D（X）+E（X）2=1,E（Y2）=D（Y）+E（r）2=1
E（XY）=Cov（X^Y）+E（X）E（Y）=P
因max（x2,r2）=i[x2+y2+ix2-y21]
所以E（max（X\K2））=1[E（X2）+E（K2）+E（lX2-/21）=1+丄E（|X2-/21）22
由柯西施瓦兹不等式有E2（xr）<
E（x2）E（r2）
所以E（max（X\y2））=l+-E（IX2-r21）<
1+-y]E（\X+Y\2）E（\X-Y\2）
22
又因为E（lX+yI2）=E（X2+Y2+2XY）=E（X2）+E（Y2）+2E（XY）=2+2p
E（lX-yI2）=E（X2+y2-2XK）=E（X2）+E（Y2）-2E（XY）=2-2p
所以E（max（X\r2））=<
1+1J（2+2/?
）（2-2p）=1+Jl_”
其他
证明X与丫不独立，而X?
与厂相互独立.
因为px（x）=Jp{xyy}dy=J—（1+=—5-l<
1y_]42
811j
pY（y）=JpUy）dx=f-（i+xy）dx=-,-1<
y<
-x一]4/
所以p（x,y）丰px（x）py（y）
即X与丫不独立.
设U=X\V=Y2则
F（u.v）=P（X‘<
u.Y2<
v）=P（—<
X<
4u.-yjv<
Y<
>
/v）
所以当uvO川vOH寸，F（u,v）=0；
当z/>
l,v>
1时，F（w,v）=jj—（14-xy}dxdy=1；
-i-i4
«
1_
当u>
1,0v卩v1时，F（w,v）=j|-（1+xy^dxdy=J7；
血1i
当0vhv1,v>
1时,F（ii,v）=j[—（1+xy^dxdy=JJ7；
■J?
/
而-VvI
F（u.v）=[f-（1+xy）dxdy=\/uv；
%土4
w>
l,0<
v<
0<
H<
l,V>
l
M<
V<
H>
1,V>
M<
0,v<
o
故p〃（"
）p#（y）=p（s）
所以U与V独立，即疋与厂相互独立.
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