第三章多维随机变量及其分布测试题答案Word文档格式.docx

1、1/61/91/181/3a4.设二维随机变量的密度函数/（x,y） = VH022,则5.设随机变量X,Y同分布，X的密度函数为/（）= 产 设人二a 其他（Xb）与B二（Yb）相互独立，且P（AB） = - 则b二 習 4 6.在区间（0,1）随机取两个数，则事件“两数之积大于丄”的概率为347.设x和y为两个随机变量，且p（xo,yo）=pP（xo）= p（yo）= -,则 P（maxX,y0）= _|.8.随机变量（X,y）N（O,O,UO）,则 D（3X-2Y）二 13 .9设 D（X） = 25Q（Y） = 36“xy =04 ,则 D（X+Y） = 85 D（X-Y） = 37

2、10.设随机变量Z = （aX+ 3Y）29E（X） = E（Y） = 0.D（X） = 4,D（Y） = 16,Px =-0.5,则 E（Z）m严_1082.单项选择题（每题4分）1.下列函数可以作为二维分布函数的是（B ）2.设平面区域D由曲线y =-及直线x = 0,y = ,y = e2围成，二维随机变量 在区域D上服从均匀分布，则（X,Y）关于Y的边缘密度函数在y=2处的值为（C ）.A.- B.-2 3C. - D.-423.若（X,Y）服从二维均匀分布，则（B ）.A.随机变量X.Y都服从一维均匀分布B.随机变量X,Y不一定服从一维均匀分布C.随机变量X,Y 定都服从一维均匀分布

3、D.随机变量X+Y服从一维均匀分布4.若 D（X+Y）二D（X）+D（Y）.则（A ）.5.在0“上均匀地任取两数X和Y,则Pcos（X+Y）vO= （ D ）.19 3A. 1 B. - C. - D.二23 4三、计算题（第一題20分，第二题24分）1.已知P（X =幻=2P（Y = -幻=2，伙=123）, X与丫相互独立.k lc（1）确定a,b的值；（2）求（X,Y）的联合分布列；（3）求X-Y的概率分布.解：（1）由正则性为 P（X=k） = l 有，a + + = a = k 2 3 11VP（Y =-切=1 有，/? + + = 1=Z? = 牛 4 9 49（2）（X,Y）的

4、联合分布律为-3-2-1124/53954/539216/539212/53927/539108/53938/53918/53972/539辰-gf a y （3） X-Y的概率分布为X-Y66/539251/539126/5392.设随机变量（X,Y）的密度函数为p（x.y） =（1）确定常数k；（2）求（X,Y）的分布函数;（3）求 P（0XL0FzjU-igfw。（3） P（0X 1.0r 2） = F（L2） + F（0.0）-F（L0）-F（0,2）= （14）（1 Y3.设随机变量X,Y相互独立，且各自的密度函数为px （x） = 0,1卜Py（y）= 3e ,J-,求z=x+Y的

5、密度函数0, y: Px WPy（z-x）在OWxWz时有非零值oc当z0时,Pz=0Z Z 所以z二X+Y的密度函数为pza）= e 3（1_0 6）,zno0, z0,分别求下列概率密度函数.（1） M=M心XV; （2） N = MinX.Y.（1）因为 px（x） = J p（x,y）dy =J2e4ydy =3丘亠-X 0X XpY（y） = j p（x.y）dx =|2exvdy =4evx 0所以 p（x,y） = px （x）py（y）即 X 与 Y 独立.所以当z0时，Fm （z） = 0当 z$o 时，fm（z） = p（m z）= p（x z,yz）= p（xz）p（yz

6、）x（Z）片=（1-严）（1-严）所以（、=J 0， ZVO =jo, zvO八 5 乙 _3矿攵（1_07l + _ j3ez+4e4_7eS,zn0（2）当zz） = P（X 乙 rz） = l-P（Xz）P（r解:因为 X,Y 相互独立，则 Cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=0所以PXY = 06.设随机变量（X,Y）的联合密度函数分别为求X0,其他和Y的边际密度函数. xPx（x） = J pgy）y = J3zfy =3x2,0 1-30 0Xy 四、证明题.1.已知二维随机变量（X,Y）的联合密度函数分布列如下表，试验证X与Y不相关, 但X与Y不独立.- 10.125

7、0125证明：因为 E（X） =-1X0. 375+0X0. 25+1X0. 375=0E （Y）=-1XO. 375+0 X 0. 25+1 X 0. 375=0E（XY）=-1XO. 25+0X0. 5+1X0. 25=0所以 E（XY）= E（X） E（Y）即X与Y不相关.又因为 P（X=l,Y=l）=0. 125, P（X=l）=0. 375, P（Y=l）=0. 375P（X=1,Y=1）HP（X=1） P（Y=1）所以X与Y不独立.2.设随机变量（X,Y）满足 E（X） = E（Y） = 0,D（X） = D（Y） = ICov（X.Y） = p ,证明E（ max X K2） 1

8、 + y-p2 证明:因为 E（X） = E（Y） = 0,D（X） = D（Y） = 1,Cov（X9 Y） = p所以 E（X2） = D（X） + E（X）2 = 1,E（Y2） = D（Y） + E（r）2 = 1E（XY） = Cov（XY） + E（X）E（Y） = P因 m ax（x2,r2）= ix2+y2+ ix2-y21所以 E（max（XK2） = 1 E（X2） + E（K2） + E（l X2-/21） = 1+丄E（| X2-/21） 2 2由柯西施瓦兹不等式有E2（xr）E（x2）E（r2）所以 E（max（Xy2） = l + -E（IX2-r21）1 + -y

9、E（ X+Y 2）E（ X-Y 2）2 2又因为 E（lX + y I2） = E（X2 + Y2 + 2XY） = E（X2） + E（Y2） + 2E（XY） = 2+2pE（l X - y I2） = E（X2 + y2 -2XK） = E（X2） + E（Y2）-2E（XY） = 2-2p所以 E（max（Xr2） =1 + 1 J（2 + 2/?）（2-2p） = 1 + Jl_”其他证明X与丫不独立，而X?与厂相互独立.因为 px（x） = J pxyydy =J （1 +=5-l 1 y _ 4 28 1 1 jpY（y）= J pU y）dx =f-（i+xy）dx = -,

10、-1 y -x 一 4 /所以 p（x, y）丰 px （x）py（y）即X与丫不独立.设 U = XV = Y2 则F（u.v） = P（X u.Y2 v） = P（ X 4u.-yjv Y /v）所以当 uvO 川 vOH 寸，F（u,v） = 0；当 z/ l,v 1 时，F（w, v） = j j （14- xydxdy = 1 ；-i-i 4 1 _当 u 1,0 v 卩 v 1时，F（w, v） = j | -（1 + xydxdy = J7 ；血1 i当 0 v h v 1, v 1 时,F（ii, v） = j （1 + xydxdy = JJ7 ；J?/而-Vv IF（u. v） = f -（1 + xy）dxdy = /uv ；%土4w l,0 v0HlMV1,VM 0, v o故 p（）p#（y） = p（s）所以U与V独立，即疋与厂相互独立.