质数合数与分解质因数练习文档格式.docx

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19、21、87、35、38、72、43、67、2、89、97、54

通过检查各数约数的个数，可以知道：

21、87、35、38、72、54是合数

19、43、67、89、97是质数

判断一个数是质数还是合数，一般有三种方法：

（1）如上述方法就是检查每个数约数的个数，根据质数、合数的定义进行判断；

（2）查质数表；

（3）用试除的方法。

记住20以内2、3、5、7、11、13、17、19这8个质数，试除时，看这个数除了1和它本身以外，能否被其他数整除。

若能则是合数；

若不能则是质数。

为了迅速判断一个数是质数还是合数，能够根据2、3、5整除数的特征进行判断尽量运用特征判断。

如判断237980这个数，它是质数还是合数。

（因为这个数个位上是0，因此这个数除了1和它本身外，至少还有一个约数2，所以这个数是合数。

）

对于数较大，不能直接看出它是质数还是合数的就用试除法。

比如判断91是质数还是合数。

可以用91÷

7=13，91能被7整除，可以断定91是合数。

（二）教学分解质因数要注意以下三个问题。

2.掌握分解质因数的两种方法

分解质因数的过程，就是求这些质因数的过程。

把一个合数分解质因数有两种方法。

一种是利用乘法口诀分解质因数。

直接把下面各数分解质因数。

21、34、52、28、60、75、90

解答时可以这样想：

先把这个合数分解成两个因数相乘的形式，如果两个因数都是质数，就算分解完了；

如果因数中还有合数，还要继续分解，一直分解到全部因数都是质数为止。

（如课本P59例2）这是分解质因数的最基本方法。

另一种是用短除法分解质因数。

埃拉托斯特尼把数写在涂了一层蜡的纸上，在写着合数的地方用针刺上一个小孔，于是剩下的都是质数。

而这块涂蜡的纸被刺成筛子一样，因此这种求质数的方法就叫筛法。

怎样用筛法编制100以内的质数表呢？

在自然数中第一个数是1，它既不是质数也不是合数，把它除外。

第二个数是2，它是质数，把它保留，并且把2的倍数都划掉。

紧靠2后面没被划掉的是3，3是质数，把它保留，并且把3所有的倍数划掉。

紧靠3后面的是5，5是质数，把它保留，并且把5的倍数都划掉……用这样的筛法，把100以内的所有合数全部筛掉剩下的就是质数。

请同学们按上面介绍的方法制作一个100以内的质数表。

2.质数、因数、质因数、分解质因数有什么不同？

一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数。

它是1个独立存在的数。

比如17是质数，因为它只有1和17两个约数。

在乘法中，被乘数和乘数都叫因数。

例如：

2×

3=6，2和3是6的因数。

6的两个因数2和3，同时又都是质数。

因此，我们把2和3又叫做6的质因数。

每一个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

36=2×

3×

3

40=2×

5

其中2、2、3、3是36的质因数；

2、2、5是40的质因数。

因数与积相关联，因数不能单独存在。

比如2和3是6的因数，而不能说2和3是因数，必须说明是谁的因数。

因数可以是质数也可以是合数（如5×

6=30，其中6就是合数），而质因数，要求因数本身还必须是质数。

比如30=2×

5，30的三个因数都是质数。

所以可以说30的质因数是2、3和5。

3.在分解质因数时，要防止发生以下几种错误。

（1）没有坚持一直用质数作除数，因此造成分解式中出现合数。

如把280分解质因数。

二、学海导航【思维基础】

1.说出什么叫质数？

什么叫合数？

并判断下面各数哪些是质数，哪些是合数。

3、27、41、6、11、19、69、57、97

一个数如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（也叫做素数）

一个数如果除了1和它本身还有别的约数这样的数叫做合数。

质数有：

3、41、11、19、97。

合数有：

27、6、69、57。

把一个合数分解质因数，先用一个能除这个合数的质数（通常从最小的开始）去除，得出的商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式；

得出的商如果是合数；

就照上面的方法继续除下去，直到得出的商是质数为止，然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。

3.判断下面的说法对吗？

正确的画“√”，错的画“×

”。

（1）在自然数中除了质数就是合数。

（）

（2）一个合数至少有3个约数。

（3）3和5是质因数。

解：

（1）（×

）即不对。

因为自然数按约数个数分三类。

就是自然数包括质数、合数和1。

而这种说法显然把自然数按这样的分类标准分了两类，丢掉了“1”这一类。

（2）（√）即对。

因为合数的定义是一个数除了1和它本身以外，还有别的约数，这个数叫合数。

这里的“还有别的约数”的意思至少有1个约数。

至少这1个约数再加上1和它本身的两个约数就是至少3个约数。

因此这种说法是正确的。

（3）（×

）即错。

3和5都是质数。

质因数是与积相关联，它不能单独存在。

质因数，要求因数本身还必须是质数。

比如15=3×

5，3和5都是15的质因数。

【学法指要】

例1.210=2×

5×

7，你能从这个式子中知道210除了有约数1以外，还有哪些约数吗？

分析：

凡是能被210整除的数都是210的约数。

怎样才能做到找准、找全呢？

那就要分类找。

一类是显露的约数即2、3、5、7四个约数。

另一类是隐含约数。

这一类先找全两个因数的积。

即（2×

3）（2×

5）、（2×

7）、（3×

5）、（3×

7）、（5×

7）；

再找全三个因数的连乘积。

7）、（2×

最后找四个因数的积。

7）。

这样分类找210除了约数1外，其它15个约数就能找全了。

210除约数1外的约数有2、3、5、7、6、10、14、15、21、35、30、42、105、70、210。

例2.4500的约数共有多少个？

可以利用积与因数的关系，一对对找出4500所有约数，然后再数出它们共有多少个就行了。

但是，因为4500数很大，用这种方法做很麻烦，而且往往会遗漏，借助于分解质因数的方法求较大数约数的个数比较简捷

比如，40共有多少个约数，用分解质因数的方法如何求40约数的个数算理与算法。

5，从23来看，40的约数数中存在1、2、22、23四种情况，即1、2、4、8；

再从5来看，存在1和5两种情况。

若把两者结合起来看，即用1、2、4、8分别去乘1和5，是可得到40的所有8个约数：

1、2、4、8、5、10、20、40。

仔细观察，不难看出这四种情况的“4”与两种情况的“2”，正好等于40的每个质因数的指数加上“1”，即是：

（3＋1）×

（1＋1）=8。

这就是说：

一个大于1的整数约数的个数，等于它分解质因数式子中每个因数的指数加“1”和连乘积。

掌握了这条规律，再求一个数的约数就容易了。

因为4500=2×

5=22×

32×

53

而（2＋1）×

（2＋1）×

（3＋1）=36

所以4500的约数共有36个。

例3.一个长体的3个面积分别为S1=20平方厘米，S2=15平方厘米，S3=12平方厘米。

求这个长方体的体积是多少立方厘米？

分析：

根据长方体6个面的特征，我们知道：

每个长方体的6个面中，有三组对面，每组对面的面积分别相等。

已知三个面的面积都相等由此可知这三个一定是相邻面，且相交于一个顶点。

（如图）

假设这个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，S1=ab=20，S2=ac=15，S3=bc=12，求长方体的体积，必须知道这个长方体的长、宽、高各是多少。

但长、宽、高都没有直接给。

但长、宽、高中两两相乘的积我们知道。

如果把每两个数的乘积再相乘，里面一定有三个数的积。

即ab×

ac×

bc×

=（abc）2，则abc就是长方体的体积。

那么3个面积乘积怎样分成两个相同数相乘呢？

就要把这几个相乘的数都分解质因数。

解：

20×

15×

12

=2×

3

=（2×

3）×

（2×

3）

=60×

60

所以abc=60

答：

这个长方体的体积是60立方分米。

【思维体操】

1.有4个学生，他们的年龄恰好一个比一个大1岁，他们的年龄乘积是5040。

他们的年龄各是多少？

5040=2×

7

2）×

5）×

（3×

=7×

8×

9×

10

答：

他们的年龄分别为7岁、8岁、9岁、10岁。

评析：

这道题的解题思路是根据题中给出的这四个学生“年龄恰好一个比1个大1岁”，可知这四个学生的年龄是从小到大排列的四个连续的自然数。

由“他们年龄的乘积是5040”，可以想到只要把5040分解质因数就一定能从中找出四个连续的自然数，也就是这四位学生的岁数。

因此解答这道时，先把5040分解质因数，再将5040转化为四个连续自然数的积，这四个数就是4个学生的年龄。

2.一位教师带领全班学生去搬桌椅，学生恰好分为三组，如果老师和学生每人所搬桌椅一样多，若搬了884套，每人搬多少套？

884=2×

13×

17

=52×

=34×

26

如果这个班的学生人数是51人时，则每人搬17套桌椅；

如果这个班的学生人数是33人时，则每人搬26套桌椅。

根据题意此题有两解，学生往往答成一解。

根据“学生恰好分成3组，可以确定学生人数是能被3整除的数，即符合实际班额人数目又是3的倍数的数均符合题意。

根据“老师和同学搬的同样多，所以有：

884=每人搬的×

（学生人数＋1名老师）的数量关系。

因此解题时先将884分解质因数，再转化为上述关系式的形式，问题所求就是其中的一个因数。

3.甲、乙、丙三人各将一根同样大小的木料切割成完全一样的两块小长方体后，甲说：

表面积增加12平方分米；

乙说：

表面积增加20平方分米；

丙说：

表面积增加30平方分米。

由于三人切割后木块的长、宽、高正好是整分米数，所以三人说法都正确，求原木料的体积和表面积。

因为12÷

2=6，6=2×

20÷

2=10，10=2×

30÷

2=15，15=3×

所以原长方体一根木料的长、宽、高为5、3、2

它的体积：

2=30

表面积：

（5×

3＋5×

2＋3×

2

=（15＋10＋6）×

=31×

=62

或12＋20＋30=62

原长方体木料的体积为30立方分米，表面积为62平方分米。

这道题是一道活而不难的题。

根据同样的木料，由于三人切法不同，因此增加的面积大小，也不相同。

每切1刀增加两个相等的长方形，因此12平方分米、20平方分米、30平方分米分别是上、下面，左、右面，前、后面三组对面的面积和。

把它们分别除以2就是相交于一个顶点每个面的面积。

再把这三个面积数分别分解质因数就能求得这个长方体木料的长、宽、高，进而求出它的体积与表面积。

而12＋20＋30是求表面积的最佳解法。

三、智能显示

【心中有数】

本段知识主要内容

2.判断正误。

对的画“√”，错的画“×

（1）把12分解质因数①2×

3=12（）

②12=1×

6（）

③12=2×

3（）

④12=22×

⑤72=2×

（2）1是所有自然数的约数。

（）

（3）所有的奇数都是质数。

（4）所有的质数都是奇数。

（5）两个质数相乘的积一定是合数。

（6）一个数的质因数都是质数。

（7）所有的质数分别加上1，所得的和都是偶数。

（8）99=11×

9，11和9都是99的质因数。

（9）根据90=2×

5，找出90的全部约数是1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45、90。

（10）三个质数的连乘积是874，这三个质数的和是44。

3.把下面各数分解质因数。

102= 

182=

44= 

111=

4.思考题。

（1）10800的约数共有多少个？

（2）四个小朋友年龄的乘积是360，且是连续的自然数。

最大的一个小朋友几岁？

【创新园地】

1.长方形的长10厘米，宽9厘米，把它分割成几种边长是整厘米的正方形。

那么，至少可以分割成几种不同的正方形？

在图上表示出来。

2.要使算式975×

972×

935×

（）的连乘积最后四位数字都是0，在括号内填的最小自然数应是几？

3.少年宫游乐厅里悬挂着200盏彩灯，这些灯或亮或灭，变幻无穷，200盏彩灯按1～200编号，灯的亮灭变化规律是这样的：

第1秒，全部灯变亮；

第2秒，凡编号2的倍数的由亮变灭；

第3秒，凡编号为3的倍数的灯改变原来的状态（即亮的变灭，灭的变亮）第4秒，凡编号为4的倍数的灯改变原来状态；

这样继续下去……200秒为一个周期，那么第200秒，哪些灯是亮着的？

参考答案：

1.

至少可以分割成三种不同的正方形。

即两个边长是5厘米的正方形；

两个边长是4厘米的正方形；

还有两个边长是2厘米的正方形。

（如上图所示）

2.975=5×

13

972=2×

935=5×

11×

一个因数2和一个因数5相乘，积的末尾可以出现一个“0”，那么至少需要四个因数2和四个因数5。

从分解质因数我们发现一共有两个因数2和三个因数5，尚缺两个因数2和一因数5，因此括号内最小应填2×

5=20。

3.自然数中第1，4，9，…；

都是两个相同的自然数的乘积，我们把这样的数叫做完全平方数，而其它的自然数就不是完全平方数，叫做非完全平方数。

完全平方数的约数个数都是奇数个；

比如1的约数是1；

4的约数有1、2、4共有3个约数；

9的约数有1、3、9，共有3个约数；

36的约数有1、2、3、4、6、9、12、18、36共9个约数。

非完全平方数的约数个数则不是奇数，而是偶数。

原题中的第1秒时，灯全是亮的，那么原来都是灭的。

变化了奇数次的灯都是亮的，变化了偶数次的灯都是灭的。

那么我们就看1～200中，完全平方数有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196共有14个，这些数的约数个数都是奇数个，因此编号为1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196这些灯都是亮的，当然，其它编号的灯都是灭的。

四、同步题库

1.填空。

（1）在1～20的自然数中，最大的奇数是（），最小的偶数是（）；

奇数中（）是合数，偶数中（）是负数；

最小的合数是（），最小的质数是（）；

（）既不是合数，又不是奇数。

（2）一个数，千位上是最小的质数，百位上是最小的自然数，个位上是最小的合数，其余数位上的数是0，这个数写作（）。

（3）如果a=5b，而且a、b是两个不同的自然数，那么b一定是a的（）数。

（4）用三个比10小的质数组成一个三位数，使它同时能被3和5整除，组成的三位数有（）。

（5）有四张数字卡片，上面分别写有1、0、4、8，请抽三张卡片组成符合下列条件的数，并填在括号里。

能同时被2和3整除的最大数是（）；

能同时被3和5整除的最小数是（）；

质数是（）；

最大合数是（）。

（6）20以内差为1的两个合数有（）和（），（）和（），（）和（），（）和（）共4对。

（7）10以内（包括10）的数中，所有质数的乘积除以所有偶数的和，商是（）。

（8）一个两位数，它是质数。

如果把它个位上的数字和十位上的数字变换位置后，仍是一个质数。

这样的质数有（），共（）个。

2.判断下面各题，在对的后面画“√”，在错的后面画“×

（1）除了2以外，所有的偶数都是合数。

（2）两个质数相乘的积不一定是合数。

（3）A能被B整除，商一定是A的约数。

（4）某数是2的倍数，这个数一定是合数。

（5）能被1和本身整除的数一定是质数。

（6）边长是质数正方形，它的面积一定是合数。

（7）在1～30这些自然数中共有10个质数。

（8）20的质因数有3个。

3.下面的数，哪些是质数？

把合数分解质因数。

23、91、803、507、221、204、111。

4.在（）里填上适当的质数。

10=（ 

）＋（ 

）=（ 

）×

（ 

）

=（ 

）－（ 

30=（ 

42=（ 

（ 

5.把下面各数分解质因数。

25= 

480=

81= 

64=

360= 

121=

6.下面式了中，表示分解质因数的，在括号里画“√”，不表示分解质因数的，在括号里画“×

（1）16=4×

4（ 

（2）56=2×

4×

7（ 

（3）87=3×

29×

1（ 

（4）120=2×

5（ 

（5）19×

2=38（ 

部分参考答案

【智能显示】

（1）、

（2）、（3）略

（4）（51、61、71、87、91、97）是奇数；

（2、52）是偶数；

（2、61、71、97）是质数；

（51、52、87、91）是合数。

（5）最小的质数是

（2），最小的合数是（4），1既不是质数也不是合数。

（6）一个合数至少有（3）个约数。

（7）（5）＋（17）＋（29）=51，（13）＋（17）＋（31）=61

（19）＋（23）＋（29）=71，（13）＋（31）＋（37）=81

备注：

答案不唯一

（8）在1～9这九个数中，质数有（2、3、5、7），合数有（4、6、8、9），1既不是质数也不是合数。

（9）这个三位数是（214）。

（10）在20以内的自然数中，相邻的两个数都是合数的有（8）和（9），（9）和（10），（14）和（15）

2.

（1）（×

）、（×

）、（√）、（×

）、（√）

（2）（√），（3）（×

），（4）（×

），（5）（√）

（6）（√），（7）（×

），（8）（√），（9）（√），（10）（√）

102=2×

17182=2×

7×

64=2×

2111=3×

37

4.

（1）10800=2×

=24×

33×

52

因为（4＋1）×

（2＋1）=60

所以10800的约数共60个。

（2）360=2×

=3×

6

36