高考理科数学答题详细指导导数及其应用文档格式.docx
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复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·
ux′,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
5.定积分的概念
在f(x)dx中,a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式.
6.定积分的性质
(1)kf(x)dx=kf(x)dx(k为常数);
(2)[f1(x)±
f2(x)]dx=f1(x)dx±
f2(x)dx;
(3)f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx(其中a<c<b).❸
❸求分段函数的定积分,可以先确定不同区间上的函数解析式,然后根据定积分的性质(3)进行计算.
7.微积分基本定理
一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么f(x)dx=F(b)-F(a),常把F(b)-F(a)记作F(x),即f(x)dx=F(x)=F(b)-F(a).
8.定积分的几何意义❹
定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线y=f(x)及直线x=a,x=b之间的曲边梯形的面积的代数和,其值可正可负,具体来说,如图,设阴影部分的面积为S.
①S=f(x)dx;
②S=-f(x)dx;
③S=f(x)dx-f(x)dx;
④S=f(x)dx-g(x)dx=[f(x)-g(x)]dx.
❹
(1)定积分的几何意义是曲边梯形的面积,但要注意:
面积非负,而定积分的结果可正可负.
(2)当曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值为正;
当曲边梯形位于x轴下方时,定积分的值为负;
当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时,定积分的值为零.
[熟记常用结论]
1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.
2.熟记以下结论:
(1)′=-;
(2)(ln|x|)′=;
(3)′=-(f(x)≠0);
(4)[af(x)±
bg(x)]′=af′(x)±
bg′(x).
3.常见被积函数的原函数
(1)cdx=cx;
(2)xndx=(n≠-1);
(3)sinxdx=-cosx;
(4)cosxdx=sinx;
(5)dx=ln|x|;
(6)exdx=ex.
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”,错的打“×
”)
(1)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( )
(2)因为(lnx)′=,所以′=lnx.( )
(3)设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)dx=f(t)dt.( )
(4)定积分一定是曲边梯形的面积.( )
答案:
(1)√
(2)×
(3)√ (4)×
二、选填题
1.下列求导运算正确的是( )
A.=1+ B.(log2x)′=
C.(3x)′=3xlog3eD.(x2cosx)′=-2sinx
解析:
选B =x′+=1-;
(3x)′=3xln3;
=(x2)′cosx+x2(cosx)′=2xcosx-x2sinx.故选B.
2.如图所示为函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是( )
选D 由y=f′(x)的图象知,y=f′(x)在(0,+∞)上单调递减,说明函数y=f(x)的切线的斜率在(0,+∞)上也单调递减,故可排除A、C.
又由图象知y=f′(x)与y=g′(x)的图象在x=x0处相交,说明y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处的切线的斜率相同,故可排除B.故选D.
3.已知t是常数,若(2x-2)dx=8,则t=( )
A.1B.-2
C.-2或4D.4
选D 由(2x-2)dx=8,得(x2-2x)=t2-2t=8,解得t=4或t=-2(舍去).
4.若f(x)=x·
ex,则f′
(1)=________.
∵f′(x)=ex+xex,∴f′
(1)=2e.
2e
5.曲线y=1-在点(-1,-1)处的切线方程为______________________.
∵y′=,∴y′|x=-1=2.
故所求切线方程为2x-y+1=0.
2x-y+1=0
考题规律
考点一导数的运算[基础自学过关]
[题组练透]
1.f(x)=x(2018+lnx),若f′(x0)=2019,则x0等于( )
A.e2 B.1
C.ln2D.e
选B f′(x)=2018+lnx+x×
=2019+lnx,故由f′(x0)=2019,得2019+lnx0=2019,则lnx0=0,解得x0=1.
2.(2019·
宜昌联考)已知f′(x)是函数f(x)的导数,f(x)=f′
(1)·
2x+x2,则f′
(2)=( )
A.B.
C.D.-2
选C 因为f′(x)=f′
(1)·
2xln2+2x,所以f′
(1)=f′
(1)·
2ln2+2,解得f′
(1)=,所以f′(x)=·
2xln2+2x,所以f′
(2)=×
22ln2+2×
2=.
3.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′
(1)=2,则f′(-1)=________.
f′(x)=4ax3+2bx,
∵f′(x)为奇函数且f′
(1)=2,
∴f′(-1)=-2.
-2
4.求下列函数的导数.
(1)y=x2sinx;
(2)y=lnx+;
(3)y=;
(4)y=xsincos.
解:
(1)y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′
=2xsinx+x2cosx.
(2)y′=′=(lnx)′+′=-.
(3)y′=′==-.(4)∵y=xsincos
=xsin(4x+π)
=-xsin4x,
∴y′=-sin4x-x·
4cos4x
=-sin4x-2xcos4x.
[名师微点]
1.求函数导数的总原则:
先化简解析式,再求导.
2.常见形式及具体求导6种方法
连乘形式
先展开化为多项式形式,再求导
三角形式
先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导
分式形式
先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导
根式形式
先化为分数指数幂的形式,再求导
对数形式
先化为和、差形式,再求导
复合函数
先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元
[提醒] 对解析式中含有导数值的函数,即解析式类似于f(x)=f′(x0)g(x)+h(x)(x0为常数)的函数,解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数,其导数值为0.因此先求导数f′(x),令x=x0,即可得到f′(x0)的值,进而得到函数解析式,求得所求导数值.
考点二导数的几何意义及其应用[全析考法过关]
[考法全析]
考法
(一) 求切线方程
[例1] (2018·
全国卷Ⅰ)设函数f(x)=x3+(a-1)·
x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )
A.y=-2x B.y=-x
C.y=2xD.y=x
[解析] 法一:
∵f(x)=x3+(a-1)x2+ax,
∴f′(x)=3x2+2(a-1)x+a.
又f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)恒成立,
即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax恒成立,
∴a=1,∴f′(x)=3x2+1,∴f′(0)=1,
∴曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.
法二:
∵f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,
∴f′(x)=3x2+2(a-1)x+a为偶函数,
∴a=1,即f′(x)=3x2+1,∴f′(0)=1,
[答案] D
考法
(二) 求切点坐标
[例2] 已知函数f(x)=xlnx在点P(x0,f(x0))处的切线与直线x+y=0垂直,则切点P(x0,f(x0))的坐标为________.
[解析] ∵f(x)=xlnx,∴f′(x)=lnx+1,由题意得f′(x0)·
(-1)=-1,即f′(x0)=1,∴lnx0+1=1,lnx0=0,∴x0=1,∴f(x0)=0,即P(1,0).
[答案] (1,0)
考法(三) 由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围)
[例3]
(1)(2018·
商丘二模)设曲线f(x)=-ex-x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1,总存在曲线g(x)=3ax+2cosx上某点处的切线l2,使得l1⊥l2,则实数a的取值范围是( )
A.[-1,2]B.(3,+∞)
C.D.
(2)(2018·
全国卷Ⅲ)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=________.
[解析]
(1)由f(x)=-ex-x,得f′(x)=-ex-1,
∵ex+1>
1,∴∈(0,1).由g(x)=3ax+2cosx,得g′(x)=3a-2sinx,又-2sinx∈[-2,2],∴3a-2sinx∈[-2+3a,2+3a].要使过曲线f(x)=-ex-x上任意一点的切线l1,总存在过曲线g(x)=3ax+2cosx上某点处的切线l2,使得l1⊥l2,则
解得-≤a≤.
(2)∵y′=(ax+a+1)ex,
∴当x=0时,y′=a+1,
∴a+1=-2,解得a=-3.
[答案]
(1)D
(2)-3
考法(四) 两曲线的公切线问题
[例4] 已知曲线f(x)=x3+ax+在x=0处的切线与曲线g(x)=-lnx相切,则a的值为________.
[解析] 由f(x)=x3+ax+,得f′(x)=3x2+a.
∵f′(0)=a,f(0)=,
∴曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y-=ax.
设直线y-=ax与曲线g(x)=-lnx相切于点(x0,-lnx0),g′(x)=-,
∴
将②代入①得lnx0=,
∴x0=e,∴a=-=-e-.
[答案] -e-
[规律探求]
看个性
考法
(一)是求曲线的切线方程,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);
求过某点M(x1,y1)的切线方程时,需设出切点A(x0,f(x0)),则切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),再把点M(x1,y1)代入切线方程,求x0.
考法
(二)是求切点坐标,其思路是先求函数的导数,然后让导数值等于切线的斜率,从而得出切线方程或求出切点坐标.
考法(三)是由切线求参数的值(范围),其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程.
考法(四)是曲线的公切线问题.解决此类问题通常有两种方法:
一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切,列出关系式求解;
二是设公切线l在y=f(x)上的切点P1(x1,f(x1)),在y=g(x)上的切点P2(x2,g(x2)),则f′(x1)=g′(x2)=
找共性
1.解题口诀归纳
2.求曲线的切线注意点
(1)“过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的切线方程”是不相同的,后者A必为切点,前者未必是切点;
(2)曲线在某点处的切线若有则只有一条,曲线过某点的切线往往不止一条;
切线与曲线的公共点不一定只有一个
[过关训练]
1.[口诀第1、2句]曲线y=在点(0,-1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )
A. B. C. D.1
选B 因为y′=,所以y′x=0=2,所以曲线在点(0,-1)处的切线方程为y+1=2x,即y=2x-1,与两坐标轴的交点坐标分别为(0,-1),,所以与两坐标轴围成的三角形的面积S=×
|-1|×
=.
2.[口诀第3、4句]已知直线2x-y+1=0与曲线y=aex+x相切(其中e为自然对数的底数),则实数a的值为________.
由题意知y′=aex+1=2,则a>
0,x=-lna,代入曲线方程得y=1-lna,所以切线方程为y-(1-lna)=2(x+lna),即y=2x+lna+1=2x+1⇒a=1.
1
3.[口诀第3、4句]若一直线与曲线y=和曲线x2=ay(a>
0)相切于同一点P,则a的值为________.
设切点P(x0,y0),则由y=lnx,得y′=,
由x2=ay,得y′=x,则有解得a=2e.
考点三定积分的运算及应用[基础自学过关]
1.(sinx-cosx)dx=________.
(sinx-cosx)dx
=sinxdx-cosxdx=-cosx-sinx
=2.
2
2.dx+dx=________.
dx=lnx=1-0=1,因为dx表示的是圆x2+y2=4在x轴及其上方的面积,故dx=π×
22=2π,故答案为2π+1.
2π+1
3.由曲线y=,y=2-x,y=-x所围成图形的面积为____________.
法一:
画出草图,如图所示.
解方程组及得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1),
所以所求图形的面积
S=dx+dx
=dx+dx
=+
=+6-×
9-2+=.
如图所求阴影的面积就是三角形OAB的面积减去由y轴,y=,y=2-x围成的曲边三角形的面积,即
S=×
2×
3-(2-x-)dx
=3-
=3-=.
4.一物体在力F(x)=(单位:
N)的作用下沿与力F相同的方向,从x=0处运动到x=4(单位:
m)处,则力F(x)做的功为________J.
由题意知,力F(x)所做的功为W=F(x)dx=5dx+(3x+4)dx=5×
2+=10+=36(J).
36
1.正确选用求定积分的4个常用方法
方法
适用类型
方法解读
定理法
较简单函数
利用微积分基本定理求定积分,其关键是求出被积函数的原函数
性质法
绝对值函数、分段函数
利用定积分的性质将积分区间分解为若干部分求解
几何法
函数较复杂且有明显的几何意义
用定积分的几何意义来求,即通过图形中面积的计算来求定积分值的大小
奇偶
性法
函数具有奇偶性
若函数f(x)为偶函数,且在区间[-a,a]上连续,则f(x)dx=2f(x)dx;
若f(x)为奇函数,且在区间[-a,a]上连续,则f(x)dx=0
2.利用定积分求平面图形面积的4个步骤
3.定积分在物理中的2个应用
(1)求物体做变速直线运动的路程,如果变速直线运动物体的速度为v=v(t),那么从时刻t=a到t=b所经过的路程s=v(t)dt.
(2)变力做功,一物体在变力F(x)的作用下,沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b时,力F(x)所做的功是W=F(x)dx.
跟踪训练
一、题点全面练
1.曲线y=ex-lnx在点(1,e)处的切线方程为( )
A.(1-e)x-y+1=0 B.(1-e)x-y-1=0
C.(e-1)x-y+1=0D.(e-1)x-y-1=0
选C 由于y′=e-,所以y′|x=1=e-1,故曲线y=ex-lnx在点(1,e)处的切线方程为y-e=(e-1)(x-1),即(e-1)x-y+1=0.
2.曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则P点的坐标为( )
A.(1,3)B.(-1,3)
C.(1,3)和(-1,3)D.(1,-3)
选C f′(x)=3x2-1,令f′(x)=2,则3x2-1=2,解得x=1或x=-1,∴P(1,3)或(-1,3),经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,故选C.
3.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf′
(2)+lnx,则f′
(2)的值等于( )
A.-2B.2
C.-D.
选C 因为f(x)=x2+3xf′
(2)+lnx,所以f′(x)=2x+3f′
(2)+,所以f′
(2)=2×
2+3f′
(2)+,解得f′
(2)=-.
4.(2019·
四川名校联考)已知函数f(x)的图象如图所示,f′(x)是f(x)的导函数,则下列数值排序正确的是( )
A.0<
f′
(2)<
f′(3)<
f(3)-f
(2)
B.0<
C.0<
f(3)-f
(2)<
f′
(2)
D.0<
f′(3)
选C 设f′(3),f(3)-f
(2),f′
(2)分别表示直线n,m,l的斜率,数形结合知0<
f′
(2),故选C.
5.(2019·
玉林模拟)由曲线y=x2和曲线y=围成的一个叶形图如图所示,则图中阴影部分的面积为( )
选A 由解得或所以阴影部分的面积为(-x2)dx==.
6.(2018·
安庆模拟)设曲线y=eax-ln(x+1)在x=0处的切线方程为2x-y+1=0,则a=( )
A.0B.1
C.2D.3
选D ∵y=eax-ln(x+1),∴y′=aeax-,∴当x=0时,y′=a-1.∵曲线y=eax-ln(x+1)在x=0处的切线方程为2x-y+1=0,∴a-1=2,即a=3.
7.(2018·
延边期中)设点P是曲线y=x3-x+上的任意一点,则曲线在点P处切线的倾斜角α的取值范围为( )
A.∪B.
C.∪D.
选C 因为y′=3x2-≥-,故切线的斜率k≥-,所以切线的倾斜角α的取值范围为∪.
8.若曲线f(x)=xsinx+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0相互垂直,则实数a=________.
因为f′(x)=sinx+xcosx,所以f′=sin+cos=1.又直线ax+2y+1=0的斜率为-,所以1×
=-1,解得a=2.
9.(2019·
重庆质检)若曲线y=ln(x+a)的一条切线为y=ex+b,其中a,b为正实数,则a+的取值范围为________.
由y=ln(x+a),得y′=.设切点为(x0,y0),则有⇒b=ae-2.∵b>
0,∴a>
,
∴a+=a+≥2,当且仅当a=1时等号成立.
[2,+∞)
10.(2018·
烟台期中)设函数F(x)=lnx+(0<
x≤3)的图象上任意一点P(x0,y0)处切线的斜率k≤恒成立,则实数a的取值范围为________.
由F(x)=lnx+(0<
x≤3),得F′(x)=(0<
x≤3),则有k=F′(x0)=≤在(0,3]上恒成立,所以a≥max.当x0=1时,-x+x0在(0,3]上取得最大值,所以a≥.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1.若f(x)=x2+2f(x)dx,则f(x)dx=( )
A.-1B.-
C.D.1
选B ∵f(x)=x2+2f(x)dx,∴f(x)dx==+2f(x)dx,∴f(x)dx=-.
2.设f(x)=则f(x)dx的值为( )
A.+B.+3
C.+D.+3
选A f(x)dx=dx+(x2-1)dx=π×
12+=+.
3.等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)·
(x-a2)·
…·
(x-a8),则f′(0)=( )
A.26B.29
C.212D.215
选C 因为f′(x)=x′·
[(x-a1)(x-a2)·
(x-a8)]+[(x-a1)(x-a2)·
(x-a8)]′·
x=(x-a1)(x-a2)·
(x-a8)+[(x-a1)(x-a2)·
x,所以f′(0)=(0-a1)(0-a2)·
(0-a8)+0=a1a2·
a8.
因为数列{an}为等比数列,
所以a2a7=a3a6=a4a5=a1a8=8,
所以f′(0)=84=212.
4.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,则a等于( )
A.-1或-B.-1或
C.-或-D.-或7
选A 因为y=x3,所以y′=3x2,
设过点(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,x),
则在该点处的切线斜率为k=3x,
所以切线方程为y-x=3x(x-x0),即y=3xx-2x.
又点(1,0)在切线上,所以x0=0或x0=.
当x0=0时,切线方程为y=0.由y=0与y=ax2+x-9相切可得a=-;
当x0=时,切线方程为y=x-,由y=x-与y=ax2+x-9相切,可得a=-1.
综上,a的值为-1或-.
(二)素养专练——学会更学通
5.[逻辑推理]已知f1(x)=sinx+cosx,fn+1(x)是fn(x)的导函数,即f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N*,则f2019(x)=( )
A.-sinx-cosxB.sinx-cosx
C.-sinx+cosxD.sinx+cosx
选A ∵f1(x)=sinx+cosx,∴f2(x)=f1′(x)=cosx-sinx,f3(x)=f2′(x)=-sinx-cosx,f4(x)=f3′(x)=-cosx+sinx,f5(x)=f4′(x)=sinx+co