C语言程序设计漫谈之从最简真分数的个数谈起Word格式.docx
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能同时被2、3和5整除的数有2010÷
3×
5）=67
能同时被2、3和67整除的数有2010÷
67）=5
能同时被2、5和67整除的数有2010÷
5×
67）=3
能同时被3、5和67整除的数有2010÷
67）=2
能同时被2、3、5和67整除的数有2010÷
67）=1
这样，1~2010中能被2或3或5或67整除的数有
（1005+670+402+30）-（335+201+15+134+10+6）+（67+5+3+2）-1
=2107-701+77-1
=1482
因此，1~2010中既不能被2整除，也不能被3整除，也不能被5整除，也不能被67整除的数有2010-1482=528个。
即以2010为分母的最简真分数有528个。
我们可以看出，上面的计算过程是比较繁琐的，需要认真仔细。
学习过程序设计后，可以编写了一个简单的循环程序解决这个问题。
用一个变量cnt来保存最简真分数的个数，初始值为0。
对1~2010中的每一个数num，进行判断，这是一个循环，写成
for（num=1;
num<
=2010;
num++）
循环体中的判断方法为：
如果num既不能被2整除，也不能被3整除，也不能被5整除，也不能被67整除，则计数。
写成
if（num%2!
=0&
&
num%3!
num%5!
num%67!
=0）
cnt++;
最后，输出结果cnt。
一个简单的程序，就得到问题的答案。
编写的源程序如下：
#include<
stdio.h>
intmain（）
{
intcnt,num;
cnt=0;
for（num=1;
if（num%2!
cnt++;
printf（"
%d\n"
cnt）;
return0;
}
需要说明的是，当时竞赛的真题是：
所有以2010为分母的最简真分数的和为多少？
将上面的程序简单改写一下，可以很快得到答案的。
intnum;
doublesum;
sum=0;
if（num%2!
sum+=1.0*num/2010;
%lf\n"
sum）;
程序运行后，输出264.000000。
即所有以2010为分母的最简真分数的和是264。
小朋友是没法像程序一样硬算的。
1/2010+7/2010+11/2010+…+2099/2010=264。
小朋友有小朋友的聪明，1/2010是最简真分数，那么2099/2010也一定是最简真分数。
i/2010是最简真分数，那么（2010-i）/2010也一定是最简真分数。
1/2010+2099/2010=1
i/2010+（2010-i）/2010=1。
小朋友知道了以2010为分母的最简真分数有528个，因此它们的和为528/2=264。
因为2010分解质因数后，因数有2、3、5和67四个，用于考察集合的包含与容斥计算量略大但又可以完成，可以算是一道很好的竞赛试题。
在这道试题的基础上，我们看这样一个问题。
【例1】最简真分数。
任意输入一个正整数n，求以n为分母的最简真分数有多少个？
（1）编程思路1。
将输入的n作为分母，穷举分子i（1≤i≤n-1）。
因此，程序可先写成如下的循环：
for（i=1;
i<
=n-1;
i++）
{
对每一分数i/n，进行是否存在公因数的检测。
根据检测的结果决定是否计数；
}
在上面的循环体中需要对每一分数i/n，进行是否存在公因数的检测。
如果分子i与分母n存在大于1的公因数k，说明i/n不是最简真分数，不予计数。
怎样进行检测呢？
因为公因数k的取值范围为[2，i]，因而设置u循环在[2，i]中穷举k，若满足条件
i%k==0&
n%k==0
说明分子分母存在公因数k，标记t=1后退出。
在对因子k进行循环穷举前，可设置标志t=0。
退出因子穷举循环后，若t=1，说明分子和分母存在公因子；
若保持原t=0，说明分子分母无公因数，统计个数。
（2）源程序1。
intn,i,k,t,cnt;
while（scanf（"
%d"
&
n）&
n!
=0）
i<
i++）
//穷举分子
{
t=0;
for（k=2;
k<
=i;
k++）
//穷举因数
if（i%k==0&
n%k==0）
{
t=1;
break;
//分子分母有公因数舍去
if（t==0）
//统计最简真分数个数
printf（"
return0;
将上面的源程序提交给
POJ2407“Relatives”，判定为TimeLimitExceeded。
POJ2407的题意是：
输入正整数N，求小于或等于N（[1,N]），且与N互质的正整数（包括1）的个数。
这与求最简真分数的意思完全一致。
上面源程序1的方法简单直接，但对于N值较大的话，会超时的。
因此，我们应找到快速的求法。
在数论中，欧拉函数就很好地解决了这样的问题。
在数论，对于正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。
此函数以其首名研究者欧拉命名，一般简记为φ函数。
例如，φ（8）=4，因为1,3,5,7均和8互质。
一般来说，设正整数N分解质因数后，N=P1^q1*P2^q2*...*Pn^qn.
则
φ（N）=N*（1-1/P1）*（1-1/P2）*...*（1-1/Pn）。
例如，10=2*5
φ（10）=10×
（1-1/2）×
（1-1/5）=4;
这4个数是1,3,7,9。
30=2*3*5
φ（30）=30×
（1-1/3）×
（1-1/5）=8;
这8个数是1,7,11,13,17,19,23,29。
按欧拉函数的求法，可以编写如下的源程序。
（3）源程序2。
intn,i,ans,t;
&
ans=n;
t=n;
for（i=2;
i*i<
=t;
i++）
if（t%i==0）
//找到一个质因数i
ans-=ans/i;
while（t%i==0）
//将质因数i全去掉
t/=i;
if（t!
=1）ans-=ans/t;
ans）;
将源程序2提交给POJ2407，可以Accepted。
将此源程序的printf（"
改写为
n-ans-1）;
后，提交给
HDU1787“GCDAgain”，也可以Accepted。
【例2】还是最简真分数。
输入一个正整数n，求分母在指定区间[2，n]的最简真分数共有多少个？
例如，输入5，输出应为9。
这9个最简真分数是{1/5,1/4,1/3,2/5,1/2,3/5,2/3,3/4,4/5}。
（1）编程思路。
例1的源程序2可以求欧拉函数φ（n）的值。
用一个循环求出φ
（2）+φ（3）+…+φ（n）的累加和，即得本题的输出。
（2）源程序。
intn,i,k,ans,t,sum;
for（k=2;
=n;
k++）
ans=k;
t=k;
for（i=2;
if（t%i==0）
//找到一个质因数i
//将质因数i全去掉
if（t!
sum+=ans;
将此源程序提交给
POJ2478“FareySequence”，被判定为TimeLimitExceeded。
POJ2478的题意是：
求1~n的欧拉函数的和。
因为，例1中是在
O（sqrt（n））的时间内求出一个数n的欧拉函数值。
如果要求100000以内所有正整数的欧拉函数值，上面程序采用的方法的复杂度将高达O（N*sqrt（N））。
因此，容易超时。
下面我们寻求更快的求欧拉函数值的方法。
我们知道，欧拉函数值
φ（n）=n*（1-1/p1）*（1-1/p2）....*（1-1/pk），其中p1、p2…pk为n的所有质因子。
即欧拉函数的值与其质因子有关。
用筛法可以方便地求出n以内的所有质数。
那么我们能不能在筛法求质数的同时求出所有数的欧拉函数呢？
可以采用如下的方法：
用筛法一边筛出N以内的所有质数，一边以类似于筛法的思想用质数筛出每个数的欧拉函数φ值。
这里，利用了欧拉函数的几个基本性质：
①若N是质数p的k次幂，φ（N）=p^k-p^（k-1）=（p-1）p^（k-1），因为除了p的倍数外，其他数都跟N互质。
②当N是质数时，φ（N）=N-1。
显然，因为N是质数，1~N-1均与N互质。
③欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ（m*n）=φ（m）*φ（n）。
④
假设质数p能整除n，那么
如果p还能整除n/p,
φ（n）
=φ（n/p）*p;
如果p不能整除n/p,
φ（n）
=φ（n/p）*（p-1）。
定义数组phi[N]，元素phi[i]表示正整数i的欧拉函数值φ（i）。
定义数组vis[N]，元素vis[i]=True表示i在筛子中，vis[i]=false表示i不在筛子中，已被筛掉。
初始时，vis数组的元素全置为true，表示全部放在筛子中。
定义数组prime[N]，元素prime[i]的值为第i个质数。
下面以求20以内所有质数及所有数的φ值为例，来描述筛法的使用。
1）从i=2开始循环，vis[2]==true，找到第一个质数2，prime[0]=2，质数个数PNum=1；
同时，phi[2]=2-1=1。
采用循环for（j=0;
j<
pNum&
prime[j]*i<
MAXN;
j++）将筛子中2的各质数倍数筛掉，同时求得相应数的欧拉函数值。
（注意这里与通常的筛法有改变，主要为了用质数筛出各数的欧拉函数值）。
筛去2*prime[0]=2*2=4，即vis[4]=false；
phi[4]=phi[2]*prime[0]=1*2=2；
2）i++，进行下次循环，vis[3]==true，找到第2个质数，prime[1]=3，pNum=2，同时phi[3]=3-1=2。
筛去3*prime[0]=3*2=6，即vis[6]=false;
置phi[6]=phi[3]*（prime[0]-1）=2*1=2；
筛去3*prime[1]=3*3=9，即vis[9]=false;
置phi[9]=phi[3]*（prime[1]）=2*3=6；
3）i++，进行下次循环，vis[4]==false，4不是质数。
筛去4*prime[0]=4*2=8，即vis[8]=false;
置phi[8]=phi[4]*（prime[0]）=2*2=4；
筛去4*prime[1]=4*3=12，即vis[12]=false;
置phi[12]=phi[4]*（prime[1]-1）=2*2=4；
与
φ（12）=12*（1-1/2）（1-1/3）=4
比较下更容易理解。
phi[12]=phi[4]*（prime[1]-1）=phi[2]*prime[0]*（prime[1]-1）=2*（1-1/2）*2*3*（1-1/3）。
4）i++，进行下次循环，vis[5]==true，找到第3个质数，prime[2]=5，pNum=3，同时phi[5]=5-1=4。
筛去5*prime[0]=5*2=10，即vis[10]=false;
置phi[10]=phi[5]*（prime[0]-1）=4*1=4；
筛去5*prime[1]=5*3=15，即vis[15]=false;
置phi[15]=phi[5]*（prime[1]-1）=4*2=8；
筛去5*prime[2]=5*5=25，即vis[25]=false;
当然我们以20为例的话，25已超出，循环不会执行到。
同理，6不是质数，筛去6*2=12，置phi[12]=phi[6]*（prime[0]）=2*2=4。
筛去6*3=18，置phi[18]=phi[6]*（prime[1]）=2*3=6。
7是质数，置prime[3]=7,pNum=4,phi[7]=6。
筛去7*2=14，置phi[14]=phi[7]*（prime[0]-1）=6*1=6。
……
（3）采用筛法思想的源程序。
string.h>
#defineMAXN1000005
intprime[MAXN],pNum,phi[MAXN];
__int64num[MAXN]={0};
boolvis[MAXN];
intn,i,j;
memset（vis,true,sizeof（vis））;
//下面程序段既求MAXN以内的素数又求欧拉数。
pNum=0;
phi[1]=1;
for（i=2;
i<
MAXN;
if（vis[i]）
//
i是素数
prime[pNum++]=i;
phi[i]=i-1;
for（j=0;
j++）
vis[prime[j]*i]=false;
if（i%prime[j]==0）
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
else
phi[i*prime[j]]=phi[i]*（prime[j]-1）;
num[i]=num[i-1]+phi[i];
%I64d\n"
num[n]）;
将用筛法思想改写的源程序提交给POJ2478，可以Accepted。
将上面的程序略作改动，可以顺便通过
HDU2824“TheEulerfunction”。
（4）进一步讨论。
上面采用筛法求欧拉函数的值时，用了3个数组，用于表示数是否在筛子中的标记数组vis，用于保存质数的数组prime，用于保存欧拉函数值的数组phi。
虽然看起来直观，好像体现了欧拉函数值与分解质因数相关的概念，但有点繁琐。
能否只用一个数组phi，即保存欧拉函数的值，又表示筛子，当然在筛子中的最小数一定是质数，从而又表示了质数呢？
定义数组phi[N]，初始值全为0，Phi[i]=0表示i在筛子中，i是质数。
前面介绍过欧拉函数值得标准求法。
设正整数N分解质因数后，N=P1^q1*P2^q2*...*Pn^qn.
则
显然，若p1是n的质因数，phi[n]一定会作n*（p1-1）/p1这样的运算。
下面我以n=30为例介绍phi数组既保存欧拉函数值有当筛子用的方法。
由于筛法从i=2开始进行，所有phi[i]元素值初始全为0。
1）phi[2]=0，2在筛子中，2是质数，开始执行筛法过程，对指定范围内所有2的倍数进行处理。
phi[2]=0
phi[2]=2
（置初始值表示筛
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