C语言程序设计漫谈之从最简真分数的个数谈起Word格式.docx

1、 能同时被2、3和5整除的数有 201035）=67 能同时被2、3和67整除的数有 201067）=5 能同时被2、5和67整除的数有 2010567）=3 能同时被3、5和67整除的数有 201067）=2 能同时被2、3、5和67整除的数有 201067）=1 这样，12010中能被2或3或5或67整除的数有 （1005+670+402+30）-（335+201+15+134+10+6）+（67+5+3+2）-1=2107-701+77-1=1482 因此，12010中既不能被2整除，也不能被3整除，也不能被5整除，也不能被67整除的数有 2010-1482=528 个。 即以2010为

2、分母的最简真分数有528个。 我们可以看出，上面的计算过程是比较繁琐的，需要认真仔细。 学习过程序设计后，可以编写了一个简单的循环程序解决这个问题。 用一个变量cnt来保存最简真分数的个数，初始值为0。 对12010中的每一个数num，进行判断，这是一个循环，写成for（num=1; num=2010;num+） 循环体中的判断方法为：如果num既不能被2整除，也不能被3整除，也不能被5整除，也不能被67整除，则计数。写成if（num%2!=0 & num%3! num%5! num %67!=0） cnt+; 最后，输出结果cnt。一个简单的程序，就得到问题的答案。编写的源程序如下：#inc

3、lude int main（）int cnt,num;cnt=0;for （num=1; if （num%2!cnt+;printf（%dn,cnt）;return 0; 需要说明的是，当时竞赛的真题是：所有以2010为分母的最简真分数的和为多少？ 将上面的程序简单改写一下，可以很快得到答案的。int num;double sum;sum=0;if （num%2!sum+=1.0*num/2010;%lfn,sum）; 程序运行后，输出 264.000000。即所有以2010为分母的最简真分数的和是264。 小朋友是没法像程序一样硬算的。1/2010+7/2010+11/2010+2099/2

4、010=264。 小朋友有小朋友的聪明，1/2010是最简真分数，那么2099/2010 也一定是最简真分数。 i/2010 是最简真分数，那么 （2010-i）/2010 也一定是最简真分数。 1/2010 + 2099/2010=1i/2010 +（2010-i）/2010=1。 小朋友知道了以2010为分母的最简真分数有528个，因此它们的和为 528/2 = 264。 因为2010分解质因数后，因数有2、3、5和67四个，用于考察集合的包含与容斥计算量略大但又可以完成，可以算是一道很好的竞赛试题。在这道试题的基础上，我们看这样一个问题。【例1】最简真分数。 任意输入一个正整数n，求以n

5、为分母的最简真分数有多少个？（1）编程思路1。 将输入的n作为分母，穷举分子i （1in-1）。因此，程序可先写成如下的循环：for （i=1; i=n-1; i+） 对每一分数i/n，进行是否存在公因数的检测。根据检测的结果决定是否计数； 在上面的循环体中需要对每一分数i/n，进行是否存在公因数的检测。如果分子i与分母n存在大于1的公因数k，说明i/n不是最简真分数，不予计数。怎样进行检测呢？ 因为公因数k的取值范围为2，i，因而设置u循环在2，i中穷举k，若满足条件 i%k=0 & n%k=0 说明分子分母存在公因数k，标记t=1后退出。 在对因子k进行循环穷举前，可设置标志t=0。退出因

6、子穷举循环后，若t=1，说明分子和分母存在公因子；若保持原t=0，说明分子分母无公因数，统计个数。 （2）源程序1。 int n,i,k,t,cnt; while （scanf（%d,&n） & n!=0）ii+）/ 穷举分子 t=0; for （k=2;k=i;k+） / 穷举因数 if （i%k=0 & n%k=0） t=1;break; / 分子分母有公因数舍去if （t=0）/ 统计最简真分数个数 printf（ return 0; 将上面的源程序提交给POJ 2407 “Relatives”，判定为Time Limit Exceeded。 POJ 2407的题意是：输入正整数N，求小

7、于或等于N （1,N），且与N互质的正整数（包括1）的个数。这与求最简真分数的意思完全一致。 上面源程序1的方法简单直接，但对于N值较大的话，会超时的。因此，我们应找到快速的求法。在数论中，欧拉函数就很好地解决了这样的问题。在数论，对于正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，一般简记为函数。 例如，（8）=4，因为1,3,5,7均和8互质。 一般来说，设正整数N分解质因数后，N=P1q1*P2q2*.*Pnqn. 则（N）=N*（1-1/P1）*（1-1/P2）*.*（1-1/Pn）。 例如， 10= 2*5（10）=10（1-1/2）（1-

8、1/5）=4;这4个数是1, 3, 7, 9 。30=2*3*5（30）=30（1-1/3）（1-1/5）=8; 这8个数是1,7,11,13, 17, 19, 23, 29。按欧拉函数的求法，可以编写如下的源程序。 （3）源程序2。 int n,i,ans,t;, & ans = n; t=n; for （i=2;i*i=t;i+） if （t % i = 0）/ 找到一个质因数i ans -= ans/i; while （t % i = 0） / 将质因数i全去掉t /= i; if （t!=1） ans -= ans/t;,ans）; 将源程序2提交给 POJ 2407， 可以Accep

9、ted。 将此源程序的printf（改写为,n-ans-1）; 后，提交给HDU 1787 “GCD Again”，也可以Accepted。【例2】还是最简真分数。 输入一个正整数n，求分母在指定区间2，n的最简真分数共有多少个？ 例如，输入5，输出应为 9。这9个最简真分数是 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5 。 （1）编程思路。 例1的源程序2可以求欧拉函数（n）的值。用一个循环求出 （2）+（3）+（n）的累加和，即得本题的输出。 （2）源程序。 int n,i,k,ans,t,sum;for （k=2;=n;k+）ans = k;t

10、=k;for （i=2;if （t % i = 0） / 找到一个质因数i/ 将质因数i全去掉if （t!sum+=ans; 将此源程序提交给POJ 2478 “Farey Sequence”，被判定为Time Limit Exceeded。POJ 2478的题意是：求1n的欧拉函数的和。 因为，例1中是在O（sqrt（n） 的时间内求出一个数n的欧拉函数值。 如果要求100000以内所有正整数的欧拉函数值，上面程序采用的方法的复杂度将高达O（N*sqrt（N）。因此，容易超时。 下面我们寻求更快的求欧拉函数值的方法。 我们知道，欧拉函数值 （n）=n*（1-1/p1）*（1-1/p2）.*（

11、1-1/pk），其中p1、p2pk为n的所有质因子。即欧拉函数的值与其质因子有关。用筛法可以方便地求出n以内的所有质数。 那么我们能不能在筛法求质数的同时求出所有数的欧拉函数呢？可以采用如下的方法：用筛法一边筛出N以内的所有质数，一边以类似于筛法的思想用质数筛出每个数的欧拉函数值。 这里，利用了欧拉函数的几个基本性质： 若N是质数p的k次幂，（N）=pk-p（k-1）=（p-1）p（k-1），因为除了p的倍数外，其他数都跟N互质。 当N是质数时，（N） = N-1。显然，因为N是质数，1N-1均与N互质。 欧拉函数是积性函数若m,n互质，（m*n）=（m）*（n） 。 假设质数p能整除n，那么

12、 如果p还能整除n / p , （n） = （n / p） * p; 如果p不能整除n / p,（n） = （n / p） * （p - 1）。 定义数组phiN，元素phii表示正整数i的欧拉函数值（i）。 定义数组visN，元素visi=True表示i在筛子中，visi=false表示i不在筛子中，已被筛掉。初始时，vis数组的元素全置为true，表示全部放在筛子中。定义数组primeN，元素primei的值为第i个质数。 下面以求20以内所有质数及所有数的值为例，来描述筛法的使用。 1） 从i=2开始循环， vis2=true，找到第一个质数2，prime0=2，质数个数PNum=1；同

13、时，phi2=2-1=1。 采用循环 for （j = 0; j pNum & primej*i #define MAXN 1000005int primeMAXN, pNum, phiMAXN;_int64 numMAXN=0;bool visMAXN; int n,i,j; memset（vis,true,sizeof（vis）; / 下面程序段既求MAXN以内的素数又求欧拉数。 pNum=0; phi1 = 1; for （i = 2; i MAXN;if （visi）/ i是素数primepNum+ = i;phii = i-1;for （j = 0; j+ ）visprimej*i

14、= false;if （i % primej = 0）phii*primej = phii * primej;elsephii*primej = phii *（primej - 1）; numi=numi-1+phii;%I64dn,numn）; 将用筛法思想改写的源程序提交给 POJ 2478， 可以Accepted。 将上面的程序略作改动，可以顺便通过HDU 2824 “The Euler function”。 （4）进一步讨论。上面采用筛法求欧拉函数的值时，用了3个数组，用于表示数是否在筛子中的标记数组vis，用于保存质数的数组prime，用于保存欧拉函数值的数组phi。虽然看起来直观，

15、好像体现了欧拉函数值与分解质因数相关的概念，但有点繁琐。能否只用一个数组phi，即保存欧拉函数的值，又表示筛子，当然在筛子中的最小数一定是质数，从而又表示了质数呢？定义数组phiN，初始值全为0，Phii=0表示i在筛子中，i是质数。 前面介绍过欧拉函数值得标准求法。 设正整数N分解质因数后，N=P1q1*P2q2*.*Pnqn.则显然，若p1是n的质因数，phin一定会作 n*（p1-1）/p1这样的运算。下面我以n=30为例介绍phi数组既保存欧拉函数值有当筛子用的方法。由于筛法从i=2开始进行，所有phii元素值初始全为0。 1）phi2=0，2在筛子中，2是质数，开始执行筛法过程，对指定范围内所有2的倍数进行处理。 phi2=0phi2=2（置初始值表示筛