上海市控江中学届高三上学期月考数学试题.docx
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上海市控江中学届高三上学期月考数学试题
上海市控江中学2021届高三上学期9月月考数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、填空题
1．设集合，，则________．
2．已知复数满足（为虚数单位），则________．
3．若函数，则________．
4．已知，则方程的解集是________．
5．已知某圆锥体的底面半径为，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的母线长是________．
6．函数，的单调递增区间是________．
7．设分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足，则该双曲线的渐近线方程为．
8．在的二项展开式中，若是所有二项式系数的和，则__．
9．控江中学高三
（1）班班委会由名男生和名女生组成，现从中任选人参加上海市某社区敬老服务工作，若选出的人中至少有一名女生，则共有________种不同的选法．
10．设，若函数是奇函数，则________．
11．已知，，若是成立的必要条件，则实数的取值范围是________．
12．设．若对于任意实数，都存在满足，则的取值范围是________．
二、单选题
13．已知向量、，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
14．将函数的图像上所有的点向右平移个单位长度，再把图形上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图像的解析式为（）
A．B．
C．D．
15．若等比数列的公比为，则关于、的二元一次方程组的解，下列说法中正确的是（）
A．对任意，方程组都有无穷多组解
B．对任意，方程组都无解
C．当且仅当时，方程组无解
D．当且仅当时，方程组有无穷多组解
16．已知都是定义在上的函数，下列两个命题：
①若、都不是单调函数，则不是增函数．
②若、都是非奇非偶函数，则不是偶函数．
则（）
A．①②都正确B．①正确②错误C．①错误②正确D．①②都错误
三、解答题
17．在棱长为的正方体，是棱的中点，是侧面的中心.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求与底面所成角的大小（结果可用反三角函数表示）
18．已知等差数列中，，，数列的前项和.
（1）求，；
（2）若，求的前项和.
19．如图，一艘湖面清运船在处发现位于它正西方向的处和北偏东方向上的处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到的距离比到的距离少40米，于是选择沿路线清扫．已知清运船的直线行走速度为2米/秒，总共用了100秒钟完成了清扫任务（忽略清运船打捞垃圾及在处转向所用时间）．
（1）、两处垃圾的距离是多少？
（2）清运船此次清扫行走路线的夹角是多少？
（用反三角函数表示）
20．已知直线与圆锥曲线相交于、两点，与轴、轴分别交于、两点，且满足、．
（1）已知直线的方程为，抛物线的方程为，求的值；
（2）已知直线，椭圆，求的取值范围；
（3）已知双曲线，，求点的坐标．
21．已知函数，如果对于定义域内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的级递减周期函数，周期为．若恒有成立，则称函数是上的级周期函数，周期为．
（1）已知函数是上的周期为1的2级递减周期函数，求实数的取值范围；
（2）已知，是上级周期函数，且是上的单调递增函数，当时，，求实数的取值范围；
（3）是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级周期函数？
请证明你的结论．
参考答案
1．
【分析】
直接计算交集得到答案.
【详解】
，，则
故答案为：
.
【点睛】
本题考查了交集运算，属于简单题.
2．
【分析】
先化简可得复数，利用模长公式计算即可.
【详解】
因为，
所以，
所以.
故答案为：
【点晴】
本题考查复数模的计算，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.
3．2
【分析】
由可得：
，问题得解.
【详解】
由可得：
故答案为：
2.
【点睛】
本题考查了反函数的求法，属于基础题.
4．
【分析】
根据行列式运算公式化简可得，根据三角函数图象计算即可求得结果.
【详解】
由行列式运算公式可知，
所以，解得：
或，即或.
因为，所以或.
故答案为：
.
【点睛】
本题考查行列式的概念，考查由三角函数值求角问题，属于基础题.
5．
【分析】
利用圆锥底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长求解.
【详解】
由题意可知，此圆锥的侧面展开扇形的弧长为，
设圆锥的母线长为，则，则.
故答案为：
.
【点睛】
本题考查圆锥的母线长求解，考查扇形的弧长公式的运用，较简单.
6．
【分析】
化简函数为解不等式，即可求出函数的单调递增区间，进而得出结果.
【详解】
，解不等式，得，
因此，函数的单调递增区间为.
由，可得，所以单调递增区间是
故答案为：
.
【点睛】
本题考查余弦型函数单调区间的求解，熟悉余弦函数的单调性是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
7．
【详解】
所以，渐近线方程为，
故答案为.
8．
【分析】
求得，利用等比数列的求和公式以及极限的运算性质可求得的值.
【详解】
由题意可知的展开式中所有项的系数和为，，
所以，，
因此，.
故答案为：
.
【点睛】
本题考查数列极限的计算，同时也考查了二项展开式所有项的系数和，考查计算能力，属于基础题.
9．
【分析】
利用正难则反思想求解，先计算没有女生的选法数，用所有选法数减去没有女生的选法种数即可.
【详解】
若选出的人中没有女生，则有种选法，
则选出的人中至少有一名女生的情况共有种选法.
故答案为：
.
【点睛】
本题考查简单的组合问题，较简单，解答时注意灵活转化.
10．
【分析】
利用两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合奇函数的定义得出结论．
【详解】
，
函数为奇函数，则，，又，所以．
故答案为：
．
【点睛】
本题考查正弦型函数在奇偶性，考查两角和的正弦公式，掌握正弦函数的奇偶性是解题关键．
11．．
【分析】
是成立的必要条件可知，令原问题可转化为，利用数形结合即可得出结果.
【详解】
由题意，，
令，则即（*），
显然不满足（*）式，于是原问题可转化为，
即水平直线位于图像上方（含重合）时对应的的取值集合为的子集，
数形结合可得实数的取值范围是．
故答案为：
.
【点睛】
本题考查必要条件与集合之间的关系，考查数形结合求解参数问题，属于中档题.
12．．
【分析】
设，求出在上的最大值，然后对于实数来讲，再求出最小值即可得．
【详解】
记，
易得，
计算可得，当时，，当时，，
∴，当时，，
由题意，，即的取值范围是．
故答案为：
．
【点睛】
本题考查不等式恒成立与能成立问题，解题时要注意两个“成立”对应的最值．
13．A
【分析】
根据充分必要条件的定义判断．
【详解】
，是充分条件的，但时，可以不共线，如，是不必要条件．
因此是充分不必要条件．
故选：
A．
【点睛】
本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题关键．
14．A
【分析】
根据三角函数平移伸缩的变换求解即可.
【详解】
将函数的图像上所有的点向右平移个单位长度得到
.再把图形上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变）则变成.
故选：
A
【点睛】
本题主要考查了三角函数图像的变换,属于基础题型.
15．D
【分析】
首先解方程组消去得：
，根据等比数列的性质得到，从而得到答案.
【详解】
解方程组，消去得：
，
因为为等比数列，所以，即.
所以当时，即时，方程组有无穷多解.
故选：
D
【点睛】
本题主要考查等比数列的性质，属于中档题.
16．D
【分析】
举反例即可得答案.
【详解】
解：
：
当，则，故①不正确；
当，，则，故②不正确.
∴①②都错误.
故选：
D．
【点睛】
本题考查复合函数的单调性与奇偶性，是基础题.
17．
（1）；
（2）
【分析】
（1）利用等体积法，可知三棱锥的体积等于三棱锥的体积，分别求出三棱锥的底面面积和高，即可求解；
（2）取的中点，易得平面，根据线面夹角的定义可得即为与底面所成的角的平面角，解，即可得到与底面所成的角的大小．
【详解】
（1）因为点是棱的中点，所以点到面的距离为1，而
，．
（2）取的中点，则平面，在底面的射影为，即为与底面所成的角的平面角．
在中，，，所以与底面所成的角的大小是．
【点睛】
本题主要考查利用等积法求三棱锥的体积，以及直线与平面所成角的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
18．
（1），；
（2）.
【分析】
（1）先设等差数列的公差为，然后应用等差数列的通项公式列出关于首项与公差的方程组，解出与的值，即可得到数列的通项公式，再应用即可得到数列的通项公式；
（2）先根据第
（1）题的结果计算出的通项公式，然后结合等差数列的求和公式，利用分组求和法可得答案．
【详解】
（1）由题意，设等差数列的公差为，则
，
，．
当时，，解得．
当时，，
整理，得，
是以1为首项，2为公比的等比数列，
，．
（2）由
（1），可知，
，
【点睛】
本题主要考查等差数列和等比数列的性质，等差数列与等比数列的求和公式及应用，考查了分组求和法的应用，本题属中档题．
19．
（1）140米；
（2）．
【分析】
（1）由题意C在A处北偏东30°方向上，可得∠CAB＝90°+30°＝120°，及|AB|，|AC|与|BC|的关系，在三角形ABC中由余弦定理可得|BC|的值；
（2）由
（1）可得|BC|，|AC|，∠BAC＝120°，由正弦定理可得sinB的值，进而求得．
【详解】
（1）由题意可得|AB|+|BC|＝2×100＝200，|AC|﹣|AB|＝40，所以|AC|+|BC|＝240，|AB|＝200﹣|BC|，|AC|＝240﹣|BC|，
因为C在A处北偏东30°方向上，所以∠CAB＝90°+30°＝120°，
在三角形ABC中，由余弦定理可得|BC|2＝|AB|2+|AC|2﹣2|AB||AC|cos120°＝（200﹣|BC|）2+（240﹣|BC|）2+（200﹣|BC|）（240﹣|BC|），
整理可得|BC|2﹣660|BC|+72800＝0，解得|BC|＝140或|BC|＝520（舍），所以B、C两处垃圾的距离是140米；
（2）由
（1）可得|BC|＝140，|AC|＝240﹣140＝100，∠CAB＝120°，由正弦定理可得，
所以，，.
【点睛】
本题考查三角形中正余弦定理的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为三角形中来解决，属于基础题.
20．
（1）；
（2）；（3）.
【分析】
（1）根据已知求出的坐标，再求出，，，的坐标，代入，，即可求出和的值；
（2）将直线的方程与椭圆的方程联立，消去可得关于的一元二次方程，再利用根与系数关系求出两根之和、两根之积，再结合、，即可得到，从而可将表示为关于的函数，即可求出的取值范围；
（3）设直线的方程为并与双曲线的方程联立消去可得关于的一元二次方程，再利用根与系数关系求出，，再结合、，即可求出点的坐标．
【详解】
（1）将，代入，求得点，，又因为，，
由得到，，，
同理由得，，
所以．
（2）联立方程组，得，
所以，，又点，，
由，可得，，
同理由，可得，，
所以，即，
所以，
因为，所以点在椭圆上位于第三象限的部分上运动，
由分点的性质可知，所以．
（3）设直线的方程为，代入方程，得，
所以，，所以
（1）
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