跟踪强化训练22.docx

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跟踪强化训练22

跟踪强化训练（二十二）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1.（2017·济南质检）如图，在直三棱柱ADE－BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．证明：

（1）OM∥平面BCF；

（2）平面MDF⊥平面EFCD.

[证明]　证法一：

由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系．

设正方形边长为1，则A（0,0,0），B（1,0,0），C（1,1,0），D（0,1,0），F（1,0,1），M，O.

（1）＝，＝（－1,0,0），

∴·＝0，∴⊥.

∵棱柱ADE－BCF是直三棱柱，

∴AB⊥平面BCF，∴是平面BCF的一个法向量，

且OM⊄平面BCF，∴OM∥平面BCF.

（2）设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n1＝（x1，y1，z1），n2＝（x2，y2，z2）．

∵＝（1，－1,1），＝，＝（1,0,0），

由n1·＝n1·＝0，

得解得

令x1＝1，则n1＝.

同理可得n2＝（0,1,1）．

∵n1·n2＝0，∴平面MDF⊥平面EFCD.

证法二：

（1）＝＋＋

＝－＋

＝（＋）－＋

＝－－＋

＝－（＋）－＋

＝－－.

∴向量与向量，共面，

又OM⊄平面BCF，∴OM∥平面BCF.

（2）由题意知，BF，BC，BA两两垂直，

∵＝，＝－，

∴·＝·＝0，

·＝·（－）

＝－2＋2＝0.

∴OM⊥CD，OM⊥FC，又CD∩FC＝C，

∴OM⊥平面EFCD.

又OM⊂平面MDF，∴平面MDF⊥平面EFCD.

2．（2017·郑州质检）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．

（1）证明：

EF∥平面A1CD；

（2）若三棱柱ABC－A1B1C1为直棱柱，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．

[解]　

（1）证明：

在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，

连接ED，在△ABC中，因为D，E分别为棱AB，BC的中点，所以DE∥AC，DE＝AC.

又F为A1C1的中点，可得A1F＝A1C1，所以A1F∥DE，A1F＝DE，

因此四边形A1FED为平行四边形，所以EF∥A1D，

又EF⊄平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，

所以EF∥平面A1CD.

（2）设A1B1的中点为O，连接OC1，OD，因为三棱柱ABC－A1B1C1为直棱柱，所以OD⊥平面A1B1C1，所以OD⊥OC1，OD⊥OA1.又△A1B1C1为等边三角形，所以OC1⊥A1B1.

以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.

设三棱柱的棱长为a，则O（0,0,0），B，C，A1，D（0，a,0）．所以＝，＝，＝.

设平面A1CD的法向量为n＝（x，y，z），由得

设x＝2，解得n＝（2,1,0）．

设直线BC与平面A1CD所成的角为θ，则sinθ＝＝＝.

所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.

3．（2017·北京卷）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝，AB＝4.

（1）求证：

M为PB的中点；

（2）求二面角B－PD－A的大小；

（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．

[解]　

（1）证明：

设AC，BD交点为E，连接ME.

因为PD∥平面MAC，平面MAC∩平面PDB＝ME，所以PD∥ME.

因为ABCD是正方形，所以E为BD的中点．

所以M为PB的中点．

（2）取AD的中点O，连接OP，OE.

因为PA＝PD，所以OP⊥AD.

又因为平面PAD⊥平面ABCD，且OP⊂平面PAD，所以OP⊥平面ABCD.

因为OE⊂平面ABCD，所以OP⊥OE.

因为ABCD是正方形，所以OE⊥AD.

如图建立空间直角坐标系O－xyz，则P（0,0，），D（2,0,0），B（－2,4,0），＝（4，－4,0），＝（2,0，－）．

设平面BDP的法向量为n＝（x，y，z），

则即

令x＝1，则y＝1，z＝.

于是n＝（1,1，）．

平面PAD的一个法向量为p＝（0,1,0）．

所以cos〈n，p〉＝＝.

由题意知二面角B－PD－A为锐角，所以它的大小为.

（3）由题意知M，C（2,4,0），

＝.

设直线MC与平面BDP所成角为α，

则sinα＝|cos〈n，〉|＝＝.

所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为.

4．（2017·沈阳二模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD＝CD＝BC＝CF.

（1）求证：

EF⊥平面BCF；

（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．

[解]　

（1）证明：

在梯形ABCD中，设AD＝CD＝BC＝1，

∵AB∥CD，∠BCD＝，∴AB＝2，∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos＝3.

∴AB2＝AC2＋BC2，∴BC⊥AC.

∵CF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴AC⊥CF，而CF∩BC＝C，

∴AC⊥平面BCF.

∵四边形ACFE是矩形，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BCF.

（2）由

（1），以CA，CB，CF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设AD＝CD＝BC＝CF＝1，令FM＝λ（0≤λ≤），则C（0,0,0），A（，0,0），B（0,1,0），M（λ，0,1），

∴＝（－，1,0），＝（λ，－1,1），

设平面MAB的法向量为n1＝（x，y，z），

则即

令x＝1，则n1＝（1，，－λ），为平面MAB的一个法向量．

易知n2＝（1,0,0）是平面FCB的一个法向量，

设平面MAB与平面FCB所成锐二面角为θ，

则cosθ＝＝

＝.

∵0≤λ≤，∴当λ＝0时，cosθ有最小值，

∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，此时二面角的余弦值为.