河北省辛集中学高二数学竞赛试题 Word版含答案.docx

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河北省辛集中学高二数学竞赛试题Word版含答案

河北辛集中学2017-2018学年高二年级数学竞赛试题

一、选择题（共13个小题，每题7分）

1．四个小伙伴在一所古老的房子里发现了一本魔法书，书中有四个地图，并有一段文字：

从地图上标圆圈的点中选择一个作为出发点，然后沿地图中的路线走，如果能走完所有路线，且所有路线没有重复，又恰能回到出发点，就可以去魔法学校学习魔法．四个小伙伴经过仔细研究发现这四个地图中只有一个能达到要求，它是（　　）

2．一款机器狗每秒钟只能沿直线前进或后退一步，现程序设计师让机器狗按“前进3步，然后再后退2步”的程序进行移动，如果将此机器狗放在数轴的原点，面向正方向，以1步的距离为1个单位长移动，令表示第秒时，机器狗所在位置的坐标，如，则下列结论中错误的是（　　）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

3．一出版社为该社出版的一本书制定了满足右式：

的促销计划，这里表示定购书的数量（单位：

本），是购买本书的支付款（单位：

元），那么有几个的值可以出现买多于本书比恰好买本书所花的钱少（　　）

Ａ．4Ｂ．5Ｃ．6Ｄ．7

4.曲线为平面上交于一点的三条直线的充要条件是（）.

A.a=0B.a=1C.a=-1D.aR

5.不等式的解集是（）

A、B、

C、D、

6.设，且恒成立，则的最大值为（）

A、2B、3C、4D、5

7.设实数满足，，则的最大值为（）

A、B、C、D、

8.已知，设，

，，那么的大小关系是（）

A、B、C、D、

9.，则s的整数部分是（　　）

A、１９９７　　　　　Ｂ、１９９８　　

C、１９９９D、２０００

10.E、F是椭圆的左、右焦点，l是椭圆的准线，点，则的最大值是（）

A、15°B、30°C、45°D、60°

11.椭圆的两焦点是、，M为椭圆上与、不共线的任意一点，I为的内心，延长MI交线段于点N，则的值等于（）

A、B、C、D、

12.方程表示的曲线是（）

A、直线B、椭圆C、双曲线D、抛物线

13.正四面体的侧面三角形的高线中，其“垂足”不在同一侧面上的任意两条所成角的余弦值是（）

14.（本小题满分14分）设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为.

（I）求E的离心率e；（II）设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程.

15.（本题15分）

已知函数有两个零点.

（I）求a的取值范围；

（II）设x1，x2是的两个零点，证明：

.

高二年级数学竞赛试题（答案）

1．A

2．D由题意知此机器狗从0秒开始每间隔5秒前进1步，∴．

∴．

3．C由于C（n）在各段上都是单调递增函数，因此在每一段上不存在买多于n本书比恰好买n本书所花的钱少的情况，一定是在各段分界点附近因单价的差别造成买多于n本书比恰好买n本书所花的钱少的现象．

∵C（25）=11×25=275，C（23）=12×23=276，

∴C（25）＜C（23）；

∵C（24）=12×24=288，

∴C（25）＜C（24）；

∵C（49）=49×10=490，C（48）=11×48=528，

∴C（49）＜C（48）；

∵C（47）=11×47=517，∴C（49）＜C（47）；

∵C（46）=11×46=506，∴C（49）＜C（46）；

∵C（45）=11×45=495，∴C（49）＜C（45）．

∴这样的n有23，24，45，46，47，48．

4.解答：

若a=0，则曲线表示的曲线是三条交于原点的直线，反之，由于直线yx和直线yx交于原点，所以曲线要为平面上三条交于一点的直线，则直线x+2y+a=0过原

点，即a=0，所以选A

5.当，即或时，原不等式就是即，解得.

当时，原不等式就是即解得或.

综上，所求解集为即.故选A.

6.解法1原式．．而

+，且当，即时取等号．．．故选．

解法2由，知，有．又，

即，由题意，．故选．

7.解法1设

则

即max=.故选D．

解法2

当且仅当时取等号，故.

8.解法1设，.，而是减函数，

，即.，，

.，即.故.选D.

解法2由题意，令，则，，，，，，是减函数，又，，即.故选

9.解若是等差数列,>0,则

（是公差）.由此，得

.

又知=

.，，选B.

10.解法1不妨设l是右准线，点P在x轴上方（如图所示），则l的方程为，故可设点P为，记，由PE到PF的角为，得.又知，代入上式并化简，得.由假设知，所以.由基本不等式得，所以的最大值为30°，当时取得最大值.故选B.

解法2如上图，设，则

因为

所以的最大值为30°.故选B.

11.解法1如图1，设点M的坐标为，的内切圆半径为r，,又

.，，，.故选B.

解法2如图2，不妨令M为椭圆与轴的正半轴的交点.由已知，I必在线段MO上，且N与O重合.为的内心，.故选B.

12.解法1由的两边平方并整理得

.令，则

，整理得，

即，故已知方程表示双曲线，选C.

解法2已知方程就是，由双曲线的第二定义，可知动点P到定点（2，2）的距离与到定直线的距离比为，因为，所以选C.

13.解法1如图1，是正四面体，设其棱长为，分别是边上的中线，由题意，就是要求所成角的余弦值.

取的中点的中点，连成.易知平面和平面平行且∽，于是边上的中线∥，故和所成的角就是.所以.

在中由余弦定理得.在中由余弦定理得.故选.

解法2如图3，设正四面体的棱长为，以正的中心为原点，建立空间直角坐标系.易求得.所以

，所以

.

所以.故选.

14.

15.试题解析：

（Ⅰ）．

（i）设，则，只有一个零点．

时，所以不存在两个零点．

若，则，故当时，；当时，．因此在单调递减，在单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．

综上，的取值范围为．

（Ⅱ）不妨设，由（Ⅰ）知，，在单调递减，所以等价于，即．

由于，而，所以．

设，则．

所以当时，，而，故当时，．从而，故．