同济大学第六版高等数学课后答案全集Word文档格式.docx
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f（B）Þ
f（A）Ç
所以f（AÇ
4.设映射f:
X®
Y,若存在一个映射g:
Y®
X,使gof=IX,fog=IY,其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射,即对于每一个xÎ
X,有IXx=x;
对于每一个yÎ
Y,有IYy=y.证明:
f是双射,且g是f的逆映射:
g=f-1.
证明因为对于任意的yÎ
Y,有x=g（y）Î
X,且f（x）=f[g（y）]=Iyy=y,即Y中任意元素都是X中某元素的像,所以f为X到Y的满射.
又因为对于任意的x1¹
x2,必有f（x1）¹
f（x2）,否则若f（x1）=f（x2）Þ
g[f（x1）]=g[f（x2）]Þ
x1=x2.
因此f既是单射,又是满射,即f是双射.
对于映射g:
X,因为对每个yÎ
Y,有g（y）=xÎ
X,且满足f（x）=f[g（y）]=Iyy=y,按逆映射的定义,g是f的逆映射.
5.设映射f:
X.证明:
（1）f-1（f（A））É
A;
（2）当f是单射时,有f-1（f（A））=A.
证明
（1）因为xÎ
AÞ
f（x）=yÎ
f（A）Þ
f-1（y）=xÎ
f-1（f（A））,
所以f-1（f（A））É
A.
（2）由
（1）知f-1（f（A））É
另一方面,对于任意的xÎ
f-1（f（A））Þ
存在yÎ
f（A）,使f-1（y）=xÞ
f（x）=y.因为yÎ
f（A）且f是单射,所以xÎ
A.这就证明了f-1（f（A））Ì
A.因此f-1（f（A））=A.6.求下列函数的自然定义域:
（1）y=x+2;
解由3x+2³
0得x>
-2.函数的定义域为[-2,+¥
）.33
（2）y=1
2;
1-x
解由1-x2¹
0得x¹
±
1.函数的定义域为（-¥
-1）È
（-1,1）È
（1,+¥
）.
（3）y=1--x2;
x
解由x¹
0且1-x2³
0得函数的定义域D=[-1,0）È
（0,1].
（4）y=1;
4-x2
解由4-x2>
0得|x|<
2.函数的定义域为（-2,2）.
（5）y=sinx;
解由x³
0得函数的定义D=[0,+¥
（6）y=tan（x+1）;
解由x+1¹
p（k=0,±
1,±
2,×
×
）得函数的定义域为x¹
kp+p-1（k=0,±
22
×
（7）y=arcsin（x-3）;
解由|x-3|£
1得函数的定义域D=[2,4].
（8）y=-x+arctan1;
解由3-x³
0且x¹
0得函数的定义域D=（-¥
0）È
（0,3）.
（9）y=ln（x+1）;
解由x+1>
0得函数的定义域D=（-1,+¥
（10）y=ex.
（0,+¥
7.下列各题中,函数f（x）和g（x）是否相同？
为什么？
（1）f（x）=lgx2,g（x）=2lgx;
（2）f（x）=x,g（x）=x2;
（3）f（x）=x4-x3,g（x）=xx-1.
（4）f（x）=1,g（x）=sec2x-tan2x.
解
（1）不同.因为定义域不同.
（2）不同.因为对应法则不同,x<
0时,g（x）=-x.
（3）相同.因为定义域、对应法则均相相同.
（4）不同.因为定义域不同.
ì
|sinx||x|<
pï
3,求j（p）,j（p）,j（-p）,j（-2）,并作出函数y=j（x）8.设j（x）=í
p464ï
0|x|³
3î
的图形.
解j（p）=|sinp|=1,j（p）=|sinp|=,j（-p）=|sin（-p）|=,j（-2）=0.442442662
9.试证下列函数在指定区间1-x
（2）y=x+lnx,（0,+¥
证明
（1）对于任意的x1,x2Î
（-¥
1）,有1-x1>
0,1-x2>
0.因为当x1<
x2时,y1-y2=xxx-x-=<
0,1-x11-x2（1-x1）（1-x2）
所以函数y=x在区间（-¥
1）1-x
（2）对于任意的x1,x2Î
）,当x1<
x2时,有
y1-y2=（x1+lnx1）-（x2+lnx2）=（x1-x2）+lnx<
0,x2
所以函数y=x+lnx在区间（0,+¥
）11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间（-l,l）上的,证明:
（1）两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;
（2）两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数.
证明
（1）设F（x）=f（x）+g（x）.如果f（x）和g（x）都是偶函数,则
F（-x）=f（-x）+g（-x）=f（x）+g（x）=F（x）,
所以F（x）为偶函数,即两个偶函数的和是偶函数.
如果f（x）和g（x）都是奇函数,则
F（-x）=f（-x）+g（-x）=-f（x）-g（x）=-F（x）,
所以F（x）为奇函数,即两个奇函数的和是奇函数.
（2）设F（x）=f（x）×
g（x）.如果f（x）和g（x）都是偶函数,则
F（-x）=f（-x）×
g（-x）=f（x）×
g（x）=F（x）,
所以F（x）为偶函数,即两个偶函数的积是偶函数.
g（-x）=[-f（x）][-g（x）]=f（x）×
所以F（x）为偶函数,即两个奇函数的积是偶函数.
如果f（x）是偶函数,而g（x）是奇函数,则
g（-x）=f（x）[-g（x）]=-f（x）×
g（x）=-F（x）,
所以F（x）为奇函数,即偶函数与奇函数的积是奇函数.
12.下列函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数,哪些既非奇函数又非偶函数？
（1）y=x2（1-x2）;
（2）y=3x2-x3;
（3）y=1-x
1+x
（4）y=x（x-1）（x+1）;
（5）y=sinx-cosx+1;
x-xa+a（6）y=.2
解
（1）因为f（-x）=（-x）2[1-（-x）2]=x2（1-x2）=f（x）,所以f（x）是偶函数.
（2）由f（-x）=3（-x）2-（-x）3=3x2+x3可见f（x）既非奇函数又非偶函数.
1-（-x）21-x2==f（x）,所以f（x）是偶函数.（3）因为f（-x）=221+x1+-x2
（4）因为f（-x）=（-x）（-x-1）（-x+1）=-x（x+1）（x-1）=-f（x）,所以f（x）是奇函数.
（5）由f（-x）=sin（-x）-cos（-x）+1=-sinx-cosx+1可见f（x）既非奇函数又非偶函数.
（-x）-（-x）-xxa+aa+a（6）因为f（-x）===f（x）,所以f（x）是偶函数.22
13.下列各函数中哪些是周期函数？
对于周期函数,指出其周期:
（1）y=cos（x-2）;
解是周期函数,周期为l=2p.
（2）y=cos4x;
解是周期函数,周期为l=p.2
（3）y=1+sinpx;
解是周期函数,周期为l=2.
（4）y=xcosx;
解不是周期函数.
（5）y=sin2x.
解是周期函数,周期为l=p.
14.求下列函数的反函数:
（1）y=x+1错误！
未指定书签。
错误！
;
解由y=x+1得x=y3-1,所以y=x+1的反函数为y=x3-1.
（2）y=1-x错误！
1-y解由y=1-x得x=,所以y=1-x的反函数为y=1-x.1+y1+x1+x1+x
（3）y=ax+b（ad-bc¹
0）;
cx+d
-dy+b解由y=ax+b得x=,所以y=ax+b的反函数为y=-dx+b.cy-acx+dcx+dcx-a
（4）y=2sin3x;
y解由y=2sin3x得x=1arcsin,所以y=2sin3x的反函数为y=1arcsinx.3232
（5）y=1+ln（x+2）;
解由y=1+ln（x+2）得x=ey-1-2,所以y=1+ln（x+2）的反函数为y=ex-1-2.
x2（6）y=x.2+1
xxy2x.解由y=2得,所以的反函数为x=logy=y=log221-y1-x2x+12x+1
15.设函数f（x）在数集X上有定义,试证:
函数f（x）在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.
证明先证必要性.设函数f（x）在X上有界,则存在正数M,使|f（x）|£
M,即-M£
f（x）£
M.这就证明了f（x）在X上有下界-M和上界M.
再证充分性.设函数f（x）在X上有下界K1和上界K2,即K1£
K2.取M=max{|K1|,|K2|},则-M£
K1£
K2£
M,
即|f（x）|£
M.
这就证明了f（x）在X上有界.
16.在下列各题中,求由所给函数复合而成的函数,并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值:
（1）y=u2,u=sinx,x1=p,x2=p;
63
解y=sin2x,y1=sin2p=（12=1,y2=sin2p=（）2=3.324624
（2）y=sinu,u=2x,x1=p,x2=p;
84
解y=sin2x,y1=sin（2×
p）=sinp=,y2=sin（2×
p）=sinp=1.84242
（3）y=,u=1+x2,x1=1,x2=2;
解y=+x2,y1=+12=,y2=+22=.
（4）y=eu,u=x2,x1=0,x2=1;
解y=ex,y1=e0=1,y2=e1=e.
（5）y=u2,u=ex,x1=1,x2=-1.
解y=e2x,y1=e2×
1=e2,y2=e2×
（-1）=e-2.
17.设f（x）的定义域D=[0,1],求下列各函数的定义域:
（1）f（x2）;
解由0£
x2£
1得|x|£
1,所以函数f（x2）的定义域为[-1,1].
（2）f（sinx）;
sinx£
1得2np£
x£
（2n+1）p（n=0,±
2×
）,所以函数f（sinx）的定义域为
[2np,（2n+1）p]（n=0,±
）.
（3）f（x+a）（a&
gt;
x+a£
1得-a£
1-a,所以函数f（x+a）的定义域为[-a,1-a].
（4）f（x+a）+f（x-a）（a>
0）.
1且0£
x-a£
1得:
当0<
a£
1时,a£
1-a;
当a>
1时,无解.因此22
当0<
1时函数的定义域为[a,1-a],当a>
1时函数无意义.22
1|x|<
1ï
18.设f（x）=í
0|x|=1,g（x）=ex错误！
求f[g（x）]和g[f（x）],并
ï
î
-1|x|>
1222
作出这两个函数的图形.
1|ex|<
1ì
1x<
0ï
解f[g（x）]=í
0|ex|=1,即f[g（x）]=í
0x=0.
-1|ex|>
-1x>
0î
e1|x|<
1ì
e|x|<
1,即g[f（x）]=í
1|x|=1.g[f（x）]=ef（x）=í
e0|x|=
-1ï
e-1|x|>
1î
e|x|>
1î
19.已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角j=40°
（图1-37）.当过水断面ABCD的面积为定值S0时,求湿周
L（L=AB+BC+CD）与水深h之间的
函数关系式,并指明其定义域.
图1-37
解BC=AB=DC=hsin40,又从1h[BC+（BC+2cot40o×
h）]=S02得So-cot40×
h,所以h
S2-cos40o
L=+h.hsin40
自变量h的取值范围应由不等式组
Soh>
0,0-cot40×
h>
0h
确定,定义域为0<
h<
0cot40.
20.收敛音机每台售价为90元,成本为60元.厂方为鼓励销售商大量采购,决定凡是订购量超过100台以上的,每多订购1台,售价就降低1分,但最低价为每台75元.
（1）将每台的实际售价p表示为订购量x的函数;
（2）将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数;
（3）某一商行订购了1000台,厂方可获利润多少？
解
（1）当0£
100时,p=90.
令0.01（x0-100）=90-75,得x0=1600.因此当x³
1600时,p=75.
当100<
x<
1600时,
p=90-（x-100）´
0.01=91-0.01x.
综合上述结果得到
900£
100ï
p=í
91-0.01x100<
1600.
75x³
1600î
30x0£
100ì
（2）P=（p-60）x=í
31x-0.01x2100<
15xx³
（3）P=31´
1000-0.01´
10002=21000（元）.
习题1-2
1.观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势,写出它们的极限:
（1）xn=1
2
1=0.解当n®
¥
时,xn=1®
0,limn®
2n2n
（2）xn=（-1）n1;
n
解当n®
时,xn=（-1）n1®
0,lim（-1）n1=0.n®
nn
（3）xn=2+1;
1）=2.解当n®
时,xn=2+1®
2,lim（2+n®
nn（4）xn=n-1;
n+1
时,xn=n-1=1-2®
0,limn-1=1.n®
n+1n+1n+1
（5）xn=n（-1）n.
时,xn=n（-1）n没有极限.
cos.问limx=?
求出N,使当n>
N时,x与其2.设数列{xn}的一般项xn=nnn®
n
极限之差的绝对值小于正数e,当e=0.001时,求出数N.解limxn=0.n®
||co£
1."
e>
0,要使|x-0|<
e,只要1<
e,也就是n>
1.取|xn-0|=nnnne
N=1,e
则"
n>
N,有|xn-0|<
e.
当e=0.001时,N=[1]=1000.3.根据数列极限的定义证明:
（1）lim1=0;
n®
n分析要使|1
2-0|=1
2<
e,只须n2>
1,即n>
1.nn1=0.证明因为"
e>
0,$N=[1,当n>
N时,有|1,所以-0|<
elimn®
nn
（2）lim3n+1=3;
2n+12
3n+1-3|=1<
1<
e分析要使|,只须1<
e,即n>
1.2n+122（2n+1）4n4e4n
证明因为"
N时,有|3n+1-3|<
e,所以lim3n+1=3.n®
2n+122n+124e
（3）limn®
n2+a2=1;
2222222n+an+a-naaa-1|==<
<
e,只须n>
.分析要使|22nnen（n+a+n）n
222an+a证明因为"
0,$N=[],当"
N时,有|-1|<
e,所以nn®
limn2+a2=1.n
n®
n个（4）lim0.4999×
4×
9=1.123
e,即1.分析要使|0.99×
9-1|=1,只须<
en>
1+lg10n-110证明因为"
0,$N=[1+lg1],当"
N时,有|0.99×
9-1|<
e,所以4243n®
1
n个
lim0.999×
9=1.4.limun=a,证明lim|un|=|a|.并举例说明:
如果数列{|xn|}有极限,但数列n®
{xn}未必有极限.
证明因为limun=a,所以"
0,$NÎ
N,当n>
N时,有|un-a|<
e,从而n®
||un|-|a||£
|un-a|<
这就证明了lim|un|=|a|.n®
数列{|xn|}有极限,但数列{xn}未必有极限.例如lim|（-1）n|=1,但lim（-1）n不n®
存在.
5.设数列{xn}有界,又limyn=0,证明:
limxnyn=0.n®
证明因为数列{xn}有界,所以存在M,使"
nÎ
Z,有|xn|£
M.又limyn=0,所以"
N时,有|yn|<
e.从而当n>
N时,有n®
M|xnyn-0|=|xnyn|£
M|yn|<
M×
e=e,M所以limxnyn=0.n®
6.对于数列{xn},若x2k-1®
a（k®
）,x2k®
a（k®
）,证明:
xn®
a（n®
证明因为x2k-1®
）,所以"
0,$K1,当2k-1>
2K1-1时,有|x2k-1-a|<
e;
$K2,当2k>
2K2时,有|x2k-a|<
取N=max{2K1-1,2K2},只要n>
N,就有|xn-a|<
e.因此xn®
a（n®
习题1-3
1.根据函数极限的定义证明:
（1）lim（3x-1）=8;
x®
3
分析因为
|（3x-1）-8|=|3x-9|=3|x-3|,
所以要使|（3x-1）-8|<
e,只须|x-3|<
1e.3
0,$d=1e,当0<
|x-3|<
d时,有3
|（3x-1）-8|<
e,
所以lim（3x-1）=8.x®
（2）lim（5x+2）=12;
2
|（5x+2）-12|=|5x-10|=5|x-2|,
所以要使|（5x+2）-12|<
e,只须|x-2|<
1e.5
0,$d=e,当0<
|x-2|<
d时,有|（5x+2）-12|<
所以lim（5x+2）=12.x®
215
2x-4=-4;
（3）limx®
-2x+2
22x-4x+4x+4=|x+2|=|x-（-2）|,-（-4）=x+2x+2
2所以要使x-4-（-4）<
e,只须|x-（-2）|<
e.x+2
|x-（-2）|<
d时,有
2x-4-（-4）<
e,x+2
2x-4=-4.所以limx®
31-4x=2.（4）lim2x+1x®
-2
31-4x-2=|1-2x-2|=2|x-（-1|,2x+12
3所以要使1-4x-2<
e,只须|x-（-1）|<
1e.2x+122
|x-（-1|<
d时,有22
31-4x-2<
e,2x+1
31-4x=2.所以lim12x+1x®
-2.根据函数极限的定义证明:
31;
（1）lim1+x=x®
2x32
31=1+x3-x3=1,1+x-2x22x2|x|31+x1<
e,只须1<
e,即|x|>
1.所以要使-2x22|x|3e
0,$X=1,当|x|>
X时,有31+x1<
e,-2x32
31.所以lim1+x=x®
（2）limsinx=0.x®
+¥
x
x|1x-0=|sinsin.£
xxx
所以要使sinx-0<
e,即x>
2.exx
0,$X=1,当x>
X时,有e2
x-0<
e,sin
所以limsinx=0.x®
3.当x®
2时,y=x2®
4.问d等于多少,使当|x-2|&
lt;
d时,|y-4|&
0.001？
解由于当x®
2时,|x-2|®
0,故可设|x-2|<
1,即1<
3.
要使
|x2-4|=|x+2||x-2|<
5|x-2|<
0.001,只要|x-2|<
0.001=0.0002.5
取d=0.0002,则当0<
d时,就有|x2-4|<
0.001.
24.当x®
时,y=x
2-1®
1,问X等于多少,使当|x|>
X时,|y-1|<
0.01?
x+3
2解要使x
2-1-1=24<
0.01,只要|x|>
4-3=,故X=.0.01x+3x+3
5.证明函数f（x）=|x|当x®
0时极限为零.
|f（x）-0|=||x|-0|=|x|=|x-0|,
所以要使|f（x）-0|<
e,只须|x|<
e.
因为对"
0,$d=e,使当0<
|x-0|<
d,时有
|f（x）-0|=||x|-0|<
e,
所以lim|x|=0.x®
|x|6.求f（x）=x,j（x）=当x®
0时的左﹑右极限,并说明它们在x®
0时的极xx
限是否存在.
lim-f（x）=lim-x=lim-1=1,x®
0x®
0xx®
lim+f（x）=lim+x=lim+1=1,x®
lim-f（x）=lim+f（x）,x®
所以极限limf（x）存在.x®
因为
|x|=lim--x=-1,x®
0x
|x|x=1,limj（x）=li=lix®
0+x®
0+xx®
0+xlim-j（x）=lim-
j（x）¹
limj（x）,lim-+x®
所以极限limj（x）不存在.x®
7.证明:
若x®
及x®
-¥
时,函数f（x）的极限都存在且都等于A,则x®
limf（x）=A.
x®
证明因为limf（x）=A,limf（x）=A,所以"
e&
0,
$X1>
0,使当x<
-X1时,有|f（x）-A|<
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