同济大学第六版高等数学课后答案全集Word文档格式.docx

1、f（B） f（A）所以 f（A4. 设映射f : XY, 若存在一个映射g: YX, 使gof=IX, fog=IY, 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射, 即对于每一个xX, 有IX x=x; 对于每一个yY, 有IY y=y. 证明: f是双射, 且g是f的逆映射: g=f -1.证明 因为对于任意的yY, 有x=g（y）X, 且f（x）=fg（y）=Iy y=y, 即Y中任意元素都是X中某元素的像, 所以f为X到Y的满射.又因为对于任意的x1x2, 必有f（x1）f（x2）, 否则若f（x1）=f（x2）g f（x1）=gf（x2） x1=x2.因此f既是单射, 又是满射, 即f是双

2、射.对于映射g:X, 因为对每个yY, 有g（y）=xX, 且满足f（x）=fg（y）=Iy y=y, 按逆映射的定义, g是f的逆映射.5. 设映射f :X . 证明:（1）f -1（f（A）A;（2）当f是单射时, 有f -1（f（A）=A .证明 （1）因为xA f（x）=yf（A） f -1（y）=xf -1（f（A）,所以 f -1（f（A）A.（2）由（1）知f -1（f（A）另一方面, 对于任意的xf -1（f（A）存在yf（A）, 使f -1（y）=xf（x）=y . 因为yf（A）且f是单射, 所以xA. 这就证明了f -1（f（A）A. 因此f -1（f（A）=A . 6.

3、 求下列函数的自然定义域:（1）y=x+2;解 由3x+20得x-2. 函数的定义域为-2, +）. 33（2）y=12; 1-x解 由1-x20得x1. 函数的定义域为（-, -1）（-1, 1）（1, +）.（3）y=1-x2; x解 由x0且1-x20得函数的定义域D=-1, 0）（0, 1.（4）y=1; 4-x2解 由4-x20得 |x|0得函数的定义域D=（-1, +（10）y=ex.（0, +7. 下列各题中, 函数f（x）和g（x）是否相同？为什么？（1）f（x）=lg x2, g（x）=2lg x;（2） f（x）=x, g（x）=x2;（3）f（x）=x4-x3,g（x）=

4、xx-1.（4）f（x）=1, g（x）=sec2x-tan2x .解 （1）不同. 因为定义域不同.（2）不同. 因为对应法则不同, x0时, g（x）=-x.（3）相同. 因为定义域、对应法则均相相同.（4）不同. 因为定义域不同.|sinx| |x|0, 1-x20. 因为当x1x2时, y1-y2=xxx-x-=0, 1-x11-x2（1-x1）（1-x2）所以函数y=x在区间（-, 1）1-x（2）对于任意的x1, x2）, 当x1x2时, 有y1-y2=（x1+lnx1）-（x2+lnx2）=（x1-x2）+lnx0）.1且0x-a1得: 当01时, 无解. 因此22当01时函数无

5、意义. 221 |x|1222作出这两个函数的图形.1 |ex|11 x-1 x0e1 | x | 1e |x| 1e |x|119. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角j=40（图1-37）. 当过水断面ABCD的面积为定值S0时, 求湿周L（L=AB+BC+CD）与水深h之间的函数关系式, 并指明其定义域.图1-37解BC= AB=DC=hsin40, 又从1hBC+（BC+2cot40oh）=S02得So-cot40h, 所以 hS2-cos40oL=+h. hsin40自变量h的取值范围应由不等式组Soh0, 0-cot40h0 h确定, 定义域为0h0cot40.20. 收敛音机每台

6、售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.（1）将每台的实际售价p表示为订购量x的函数;（2）将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数;（3）某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？解 （1）当0100时, p=90.令0.01（x0-100）=90-75, 得x0=1600. 因此当x1600时, p=75.当100x1600时,p=90-（x-100）0.01=91-0. 01x.综合上述结果得到90 0100 p=91-0.01x 1001600.75 x160030x 01

7、00 （2）P=（p-60）x=31x-0.01x2 100N时, x与其 2. 设数列xn的一般项xn=nnnn极限之差的绝对值小于正数e , 当e =0.001时, 求出数N. 解 limxn=0. n|co1. e 0, 要使|x-0|e , 只要11. 取 |xn-0|= nnnneN=1, e则nN, 有|xn-0|e .当e =0.001时, N=1=1000. 3. 根据数列极限的定义证明:（1）lim1=0; nn 分析 要使|12-0|=121, 即n1. nn1=0. 证明 因为e0, $N=1, 当nN时, 有|1, 所以-0|elimnnn （2）lim3n+1=3;2

8、n+123n+1-3|=11e 分析 要使|, 只须11. 2n+122（2n+1）4n4e4n证明 因为N时, 有|3n+1-3|e, 所以lim3n+1=3. n2n+122n+124e（3）limnn2+a2=1;2222222n+an+a-naaa-1|=. 分析 要使|22nnen（n+a+n）n222an+a证明 因为0, $N=, 当N时, 有|-1|e, 所以nnlimn2+a2=1. nnn个 （4）lim0.4999 4 9=1. 123e , 即1. 分析 要使|0.99 9-1|=1, 只须1+lg10n-110证明 因为0, $N=1+lg1, 当N时, 有|0.99

9、 9-1|N时, 有|un-a|e, 从而 n|un|-|a|un-a|这就证明了lim|un|=|a|. n数列|xn|有极限, 但数列xn未必有极限. 例如lim|（-1）n|=1, 但lim（-1）n不n存在.5. 设数列xn有界, 又limyn=0, 证明: limxnyn=0. n 证明 因为数列xn有界, 所以存在M, 使nZ, 有|xn|M. 又limyn=0, 所以N时, 有|yn|N时, 有 nM |xnyn-0|=|xnyn|M|yn|2K1-1时, 有| x2k-1-a|2K2时, 有|x2k-a|N, 就有|xn-a|e . 因此xna （n习题1-31. 根据函数极限

10、的定义证明:（1）lim（3x-1）=8; x3分析 因为|（3x-1）-8|=|3x-9|=3|x-3|,所以要使|（3x-1）-8|e , 只须|x-3|1e. 30, $d=1e, 当0|x-3|d时, 有 3|（3x-1）-8|e ,所以lim（3x-1）=8. x（2）lim（5x+2）=12;2|（5x+2）-12|=|5x-10|=5|x-2|,所以要使|（5x+2）-12|e , 只须|x-2|1e. 50, $d=e, 当0|x-2|d时, 有 |（5x+2）-12|所以lim（5x+2）=12. x2152x-4=-4; （3）limx-2x+222x-4x+4x+4=|x

11、+2|=|x-（-2）|, -（-4）=x+2x+22所以要使x-4-（-4）e, 只须|x-（-2）|e. x+2|x-（-2）|d时, 有2x-4-（-4）e, x+22x-4=-4. 所以limx31-4x=2. （4）lim2x+1x-23 1-4x-2=|1-2x-2|=2|x-（-1|, 2x+123所以要使1-4x-2e, 只须|x-（-1）|1e. 2x+122|x-（-1|d时, 有 2231-4x-2e, 2x+131-4x=2. 所以lim12x+1x- 2. 根据函数极限的定义证明:31; （1）lim1+x=x2x3231=1+x3-x3=1, 1+x-2x22x2|

12、x|31+x1e, 只须11. 所以要使-2x22|x|3e0, $X=1, 当|x|X时, 有 31+x1e, -2x3231. 所以lim1+x=x（2）limsinx=0. x+xx|1x-0=|sin sin. xxx所以要使sinx-02. exx0, $X=1, 当xX时, 有 e2x-0e, sin所以limsinx=0. x3. 当x2时, y=x24. 问d等于多少, 使当|x-2|<d时, |y-4|&0.001？ 解 由于当x2时, |x-2|0, 故可设|x-2|1, 即13.要使|x2-4|=|x+2|x-2|5|x-2|0.001, 只要|x-2|0.001=0.0002. 5取d=0.0002, 则当0d时, 就有|x2-4|X时, |y-1|0.01? x+32 解 要使x2-1-1=244-3=, 故X=. 0.01x+3x+35. 证明函数f（x）=|x|当x0时极限为零.|f（x）-0|=|x|-0|=|x|=|x-0|,所以要使|f（x）-0|e, 只须|x|e.因为对0, $d=e, 使当0|x-0|d, 时有|f（x）-0|=|x|-0|0, 使当x-X1时, 有|f（x）-A|