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有一个时期，这些特色或者被当作批判扬弃的对象，或者被认为是雕虫小技不予重视，还有一些则停留在朴素的层面，缺乏理论加工。
相对于大肆追捧国外的一些光怪陆离却并无实践效果的“概念”和理论，我们未免有点“妄自菲薄”，太瞧不起自己了。
以下我们分别简述中国数学教育的六个特征，并和国外的有关提法相对照，借以显示中国数学教育的特色所在。
1．注重“导入”环节。
涂荣豹指出，中国数学教学长于由“旧知”导出“新知”，“引入新课”往往是数学教师最为精心设计的部分①。
注重“导入”环节，是贯彻启发式教学的关键之一。
一个好的“导入”设计，往往会成为一堂课成功的关键。
经过多年的积累，我国在“数学导入”上，已经发展为一门艺术。
国外引进的、强调联系学生日常生活的“情境设置”，只是“导入”的一种。
事实上，就数学课堂而言，能够设置与学生的日常生活相联系的“情境”，只能是少数。
大多数的数学课，尤其是大量的“数与式”的运算规则的程序性数学内容，多半没有现实情境可言。
例如，因式分解、合并同类项、幂和指数运算等，很难设置现实情境。
但是可以用适当的方式导入。
比如，用“整数的质因数分解”导出“因式分解”、用“同类归并”的朴素思想导入“合并同类项”、用“连加为乘”导出“连乘为幂”等都是可行的。
中国数学课堂上，呈现了许多独特的导入方式，除了现实“情境呈现”之外，还包括“假想模拟”、“悬念设置”、“故事陈述”、“旧课复习”、“提问诱导”、“习题评点”、“铺垫搭桥”、“比较剖析”等手段。
这些导入方式，是“启发式”教学的有机组成部分。
最近一段时间以来，我们提倡“情境教学”是正确的，但是，人不能事事都直接经验，大量获得的是间接经验。
从学生的日常生活情境出发进行数学教学，只能是启发式的“导人”的一种加强和补充，不能取消或代替“导入”教学环节的设置。
坚持“导人新课”的教学研究，弄清它和“情境设置”的关系，是我们的一项任务。
2．“尝试教学”。
1980年代，顾泠沅通过群众性地总结当时的数学教育优秀个案，提出“尝试指导、效果回授”的教学策略②，风靡大江南北。
小学数学教育界，则有邱学华倡导的“尝试教学法”③，具有全国性影响。
他们的经验中都有“尝试”二字。
这是一个有价值的“创造”。
西方相应的理念是“探究、发现、创造”。
但是，对于中小学生而言，在课堂学习中，要在短短的九年义务教育中，把人类几千年来反复思考、经过实践检验的最基础的知识“探究、发现、创造出来”，那是难以做到的。
在数学教学中，让学生进行“尝试”，比较符合基础教育的实际。
尝试的含义是，提出自己的想法，可以对，也可以不对；
可以成功，也可以失败；
可以做到底，也可以中途停止。
尝试，不一定要“自己”把结果发现出来，但是却要有所设想、敢于提问、勇于试验。
让学生在听取教师的讲课时，根据自己或对或错的“尝试”进行对照，并通过师生互动，最后把握知识的真谛，这是有效的可以操作的自主学习方式。
总之，“尝试教学”的含义较广，它可以延伸为“探究、发现”。
“尝试教学”，可以在每一节课上使用，探究、发现数学规律，则只能少量为之。
“尝试教学”，应该从理论上进一步探讨。
3．师班互动。
国外盛行的“分组探究”、“代表汇报”、“彼此讨论”、“教师总结”，是一种有效的师生互动形式，但是比较适合于小班教学。
如果班上人数超过30人，分组很多，教师对小组的指导就难以全面。
据曹一鸣等的调查，“师班互动”是课堂师生互动的主要类型④。
中国的课堂人数相对较多，一般是40人，多的达60人。
这样的大班上课，用分组讨论、汇报交流的教学方式十分困难。
那么，数学课堂如何避免“满堂灌”，实现师生互动呢?
在长期的实践中，中国的数学教师采用了“设计提问”、“学生口述”、“教师引导”、“全班讨论”、“黑板书写”、“严谨表达”、“互相纠正”等措施，实现了师生之间用数学语言进行交流，和谐对接，最后形成共识的过程。
这是一个具有中国特色的创造。
我们注意到，当教师提出数学问题时，会要求学生站起来回答。
学生或者用口头的数学语言叙述证明过程，或者使用心算得出计算结果。
如果一位学生回答不完整，由其他学生补充和更正。
最后，教师将学生语言的表达，经过提炼形成严谨的书面数学语言，写在黑板上。
这样，学生和学生、学生和教师之间通过“大声说”的方式，暴露数学思维过程，进行心算演练，而且在讨论中互相补充纠正，教师点拨总结，最后用严谨的书面语言写在黑板上。
这是一种和谐的数学语言对接。
笔者曾经接待过一位美国同行，他对此非常赞赏。
小班的合作学习，与大班的“师班互动”，各有短长。
不过，大班上课是中国国情所决定的，它仍是主流。
4．解题变式演练。
变式教学为我国各科教学所采用，但以数学教学中运用更为普遍。
尤其是数学解题过程中采用变式练习，成为中国数学教育的重要特色。
数学的变式教学就是通过不同的角度、不同的侧面、不同的背景从多个方面变更所提供的数学对象的某些内涵以及数学问题的呈现形式，使数学内容的非本质特征时隐时现而本质特征保持不变的教学形式。
变式教学使学生做练习时的思维过程具有合适的梯度，逐步增加创造性因素；
有时可将一道题进行适当的引申和变化，为学生提供尝试发展的阶梯；
练习题的组合应有利于学生概括各种解题技能，或从不同的角度更换解题的技能和方法。
在数学解题教学中进行变式练习，要求教师编制成顺序排列的训练题，为学生的思维发展提供一个个的阶梯。
练习题虽重复但不呆板，有利于学生构建完整、合理的新知识。
每一个变式，具有一定的创新意味，但是又能夯实基础，实现“在坚实的基础上有所发展”的教学理念。
教育的一条基本规律是“循序前进”。
在面对成绩中下的学生时，曾经有“小坡度，小转弯，小步走”的“三小”教学法；
考试辅导书中大量编制的各种水平的变式练习题，这些都和数学变式练习密切相关。
5．提炼“数学思想方法”。
数学教学中关注数学思想方法的提炼，是中国数学教育的重要特征。
长期以来，我国的数学教学重视概念的理解、证明的过程、解题的思路，提倡数学知识发生过程的教学。
这些都是重视数学思想方法的教学理念。
1980年代，徐利治正式提出“数学思想方法”的理论，用来指导中小学数学教学。
这一构想，迅速在中国数学教育界获得热烈反响，并直接用于课堂教学。
除了“分析综合”、“归纳演绎”、“联想类比”等一般数学思想方法之外，还使用“数形结合”、“化归方法”、函数思想、方程思想、关系一映射一反演原理以及“几何变换”、“等价转换”、“逐步逼近”、“特例解剖”等解题策略。
至于“变量替换”、“待定系数法”、“十字相乘法”等具体解题方法，一向都有，现在更加丰富起来。
最可贵的是，这些数学思想方法，不是停留在理论探讨上，而是付诸实践，成为每一个中国数学教师的共识。
数学教师普遍具有数学思想方法的教学意识，掌握数学思想方法的内涵，将数学思想方法用于解题，并能够用数学思想方法进行总结和反思。
这是一笔巨大的精神财富。
学生在进行数学学习的时候，不仅会解题，而且得到数学思想方法的训练和熏陶，发展自己的数学思维能力。
这是一道多么亮丽的教育风景!
到现在为止，西方的数学教育界还没有提出能够直接与“数学思想方法”相对应的数学教育研究领域。
至于“过程性”教学目标的提法，则比较笼统。
6。
解读“熟能生巧”。
“熟能生巧”，是中国文化传统的组成部分，也是中国数学教育的重要理念之一。
查查国外的教育文献，没有一种教育理论是支持“熟能生巧”的。
即使中国社会普遍接受“熟能生巧”，国内的教育文献，也鲜见于著述。
教育界似乎把“熟能生巧”等同于“死记硬背”了。
那么，“熟能生巧”为什么是正确的呢?
大数学家华罗庚有诗云：
“妙算还从拙中来，愚公智叟两分开。
积久方显愚公智，发白始知智叟呆。
埋头苦干是第一，熟能生出百巧来。
勤能补拙是良训，一分辛劳一分才。
”⑤数学大师陈省身先生在一次《焦点访谈》节目中说：
“做数学，要做得很熟练，要多做，要反复地做，要做很长时间，你就明白其中的奥妙，你就可以创新了。
灵感完全是苦功的结果，要不灵感不会来。
”⑥
研究数学如此，学习数学何尝不是如此?
西方的教育理论忽视这一点，是不明智的。
数学教育应该率先总结“熟能生巧”的规律。
具体说来，“熟能生巧”有以下教育内涵：
1。
记忆通向理解。
2．速度赢得效率。
3．严谨形成理性。
4。
重复依靠变式。
此外，“熟能生巧”、“温故而知新”等传统格言，在基础训练和创新思维之间的关系上，具有独特的中国视野。
综上所述，我们可以借用“数学双基模块”的三维图示⑦（见下图）作一个概括。
首先是发挥教师的主导作用，组织学生的尝试活动，将主要的基本知识基桩经过配套连接，成为一条“数学基本知识链”，然后通过“变式”形成知识网络，做到熟能生巧，再经过数学思想方法的提炼，得到数学能力的升华，形成立体的知识模块。
学生的数学结构正是由一个个的“双基”模块叠加、耦合、连接所构成的。
这里出现的元素，都是中国特色的。
如何对待“数学基础”，是一个全球性的问题。
美国在1960年代搞“新数学”运动，强调创新，却忽视基础；
于是在1970年代提出要“回到基础”；
1980年代提出“问题解决”的口号，再次倡导创新发展；
2008年的口号是“为了成功打好基础”⑧。
这是美国的“翻烧饼”式的折腾。
我国的数学“双基”教学，也是在儒家文化、科举文化、考据文化的传统上，经过正反两方面的实践所形成的。
此外，中国数学教育的特色并非一成不变。
“双基”可以发展。
例如提出增加“数学基本活动”和“基本数学思想方法”成为“四基”，也是可行的。
但是，“四基”毕竟是在“双基”之上发展起来的。
数学教育的改革，不能割断历史，不能废弃传统，不能“以洋非中”。
（作者单位系华东师范大学数学系）
注释：
（1）涂荣豹：
《“知识本位”的教学环境》，收入张奠宙编：
《中国数学双基教学》，上海教育出版社，2006，第9页。
②上海市青浦县数学教改实验小组：
《学会教学》，人民教育出版社，1991。
③邱学华：
《尝试教学法》，福建教育出版社，1995。
④曹一鸣、贺晨：
《初中数学课堂师生互动行为主体类型研究》，《数学教育学报》2009年第5期。
⑨华罗庚著：
《从孙子的“神机妙算”谈起》，科学出版社，1963。
（9陈永JII：
《怀念恩师陈省身先生》，www‘c~mbinat~rics‘net‘crdnews／zu~tardzuotanl205．htm。
（z）张奠宙：
《中国数学双基教学》，上海教育出版社，2006。
⑧NationalMathematicsAdvisoryPanel．FoundationsfnrSuccess：
TheFinalReport0ftheNationalMathematicsAd-w‘soryPanel．U．S．DepartmentofEdu-cati’on：
Washington．DC．2008．
“重视双基”能成为我们的优良传统吗？
刘坚
接到“什么是我们国家数学教育的优良传统”这个题目的约稿电话时，我的第一反应是“重视双基，即基础知识、基本技能”。
这不是我的答案，但是我知道这是许多人的答案。
我没有做调查，但是我的理性告诉我，这个“许多”可能达到“80%”甚至以上，有兴趣的读者可参阅《中国数学双基教学》一书。
为此我想谈两个问题。
一、“重视双基”出自何处？
资料表明，在我国类似“基础知识、基本技能”的提法是在1952年3月出现的。
当时教育部颁布的《中草药学暂行规程（草案）》中提出要使学生获得“现代科学的基础知识和技能”，相配套的中学《数学教学大纲》的提法是：
“教给学生以数学的基础知识，并培养他们应用这种知识来解决各种实际问题所必需的技能和熟练技巧。
”需要指出的是，这份大纲的注释指出“本《大纲》是教育部于1952年12月根据苏联中学数学教学大纲编译”；
而由我们自己的专家独立研制出的1963年《数学教学大纲》只提“牢固地掌握……的基础知识，培养……的计算能力、逻辑推理能力和空间想象能力”，“文革”后1978年的《数学教学大纲》提法上与此十分相近；
直到1986年公布的《数学教学大纲》，才第一次十分明确地表述“使学生学好从事社会主义现代化建设和进一步学习现代科学技术所必需的数学基础知识和基本技能”。
为确认资料的可靠性，我两次与西北师范大学吕世虎教授电话沟通，征询他的意见。
吕教授的博士论文中有专门一章研究这一时期教学大纲的演变。
可见，我国中小学数学教学对基础知识、基本技能的重视很大程度上源于前苏联教学大纲的影响。
也就是说“双基”一词不是中国人发明的，何况“基础知识和基本技能”完整提出，距离今天也仅仅20年出头。
相比于数以千年计的中国数学和数学教育的悠久历史，要说“重视双基”是中国数学教育的特点还真有些牵强，更不必“过早地”称之为中国数学教育的优良传统，以防止束缚住我们的思考与实践。
记得1997年春季，那时我还在北京师范大学工作，受时任香港大学工作，受时任香港大学教育学院院长、国际著名比较数学教育学者梁贯成博士的邀请，我到香港做短期学术访问。
期间，我很尊敬的张奠宙先生到香港中文大学讲学，我前去。
在极为短暂的见面时间里，张先生十分友好地提醒我们要加强对中国数学教育优良传统如“重视双基”“先记忆后理解”等的研究，我的直觉以及我十多年的研究成果让我与这一建议保持距离，当时我也很直接地表达了自己的观点。
今天，再次面对这一命题，阅读张先生及其团队十多年的研究成果，我仍然不能说明自己——这就是中国数学教育的优良传统。
正如《中国数学双基教学》一书在书末“未来展望”中写到的，“过于强调双基可能导致新的读书无用论；
容易导致迷信权威、思维定式；
导致学生负担过重、兴趣丧失……”也许这刚好印证了为什么新一轮数学课程改革中，义务教育《数学课程标准（实验稿）》提出的学生能够“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”可能更加妥当。
当然，从2003年就开始的课程标准修订工作，已经在此基础上发展成了“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验，应该说这一进度具有标志性意义。
“重视双基”不一定是我国数学教育的优良传统，这不妨碍我们在日常的数学教学实践中给予必要的关注，在这个问题上“适度”可能是最为重要的，尤其在中国！
二、哪些传统是中国数学教育的优良传统？
能够称之为中华文明的优良传统，必定能够经受中华文明上千年的时间洗礼。
吴文俊先生在为《九章算术及刘微注研究》一书的序中写道：
“我国的古代数学基本上遵循了一条从生产实践中提炼出数学问题，经过分析综合，形成概念与方法，并上升到理论阶段，精炼成极少数一般性原理，进一步庆用于多种多样的问题（的路径）。
从问题而不是从公理发发，以解决问题而不是以推理论证为主旨，这与西方之以欧几里得几何为代表的所谓演绎体系旨趣迥异，途径亦殊。
“我国传统数学在从问题出发解决问题为主旨的发展过程中建立了以构造性与机械性为其特色的算法体系，这与西方数学以欧几里得《几何原本》为代表的所谓公理化演绎体系正好遥遥相对……肇始于我国的这种机械化体系，在经过明代以来几百年的相对消沉后，由于计算机的出现，已越来越为数学所认识和重视，势将重新登上历史舞台。
《九章》和《刘注》所贯穿的机械化思想，不仅曾经深刻影响了数学的历史进程，而且对数学的现状也画龙点睛在发扬（挥）它日益显著的影响，它在进入21世纪后在数学中的地位，几乎可以预卜。
”
1992年10月，在中国科学院数学所的一次座谈会上，吴文俊先生发表了《数学教育现代化问题》的演讲。
在谈到中小学课程内容时，吴先生讲了这样一段话：
“关于中小学的数学内容，我想借用斯托克斯（做微分几何研究的学者）的话，他写过一本叫数学简史的书，他给西方以外的数学起了名字叫东方数学。
他说中小学里边的数学，跟我们现在搞数学的人接触的大学数学和数学研究的那种数学味道非常不同，他把它叫做东方数学，中小学里面学习的数学是来源于东方的数学。
我说这个东方应该主要指中国，他这个说法非常对，整个中小学的数学内容应该是东方的或者说是中国的。
事实上，《九章算术》是我国历史上最早的一本数学教科书，它对中国数学和数学教育产生了极其深远的重大影响，它在国际数学界和数学教育界的地位也有待重新确认。
以《九章算术》为代表的我国传统数学形成的从问题出发、以解决问题为主旨、以构造性与机械化为其特色的算法体系，蕴藏着深厚的数学教育思想，凝聚了中华文化的精华，需要后人发扬光大。
可以说，义务教育《数学课程标准（实验稿）》中提出“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展”，就是这样一种努力的产物。
当然，从自己的传统文化中汲取精华并不排斥我们大胆引进国外先进的数学教育思想，集众家之所长从来就是人类社会的一种美好追求。
也谈我国数学教育的优良传统
康世刚
“传统既是历史又是现实，它是历史在现实中的沉积。
它不仅作用于过去，而且构成一种强大的现实力量作用于当前乃至未来”，而且“在教育发生历史性变革的情况下，我们既要看到，传统是教育改革的惰力，同时又不能不承认传统是今天教育的根基”。
从数学发展史上看，我国古代数学有悠久的辉煌史，取得了至今国内外数学史家高度赞美的卓越成应变。
1949年以来，我国的数学教育取得了一些举世瞩目的成绩，引起国际上数学教育研究者的广泛关注，而这些成绩与我国数学教育的优良传统密切相关。
在新一轮数学课程改革中，批判地继承我国数学教育传统，坚持古为今用成为我国数学教育界的共识，但是，哪些是优良传统，哪些传统应该得到继承，到目前为目仍争论不休，所以，研究我国数学教育优良传统是当前数学课程改革中解决“继承与创新”的关键。
实际上，研究我国数学教育优良传统也有助于形成具有中国特色的数学教育理论。
一、什么是“传统”？
什么是“教育传统”？
为了确立新的理念，批判传统成为一些研究者立论的主要思路之一。
无论在数学课程改革中，还是在数学教育国际比较中，都批评我国传统数学教育内容与现实生活脱离，但是，翻开我国从《周算经》到宋代的《四元玉鉴》这些数学典籍，很难说我国传统的数学教育脱离实际生活。
南宋数学教育家杨辉甚至要求“命题须择实有”。
其原因在于，在批判传统时，很少有人真正讨论过“传统”和“数学教育优良传统”的含义，由于缺乏对这些概念具体含义的思考，对“传统”的理解普遍存在随意性和片面性，给“数学教育优良传统”带来许多偏见，造成对我国数学教育的误读和误导，甚至一些人片面地认为：
中国数学教育等于“双基”教学。
什么是“传统”？
传统是人类创造的不同形态的特质经同历史凝聚而沿传着的、流变着的诸文化因素构成的有机系统。
教育传统是指历史上形成并世代相传，至今仍有一定影响的教育理念、教育思想、教育理论、教育形式、教育方法、教育技术、教育体制等的总称。
其特点是：
（1）相对的稳定性、凝固性。
由于世代相传，在人们心理上形成一种定势，继承性较强，不易冲破。
（2）民族性、地区性。
不同民族、地区有不同的经济文化背景和历史背景，因而教育传统不同。
（3）时代性。
教育传统具有相对凝固性，但并非一成不变。
它会吸收符合时代的新内容，从而得到发展。
由于其起源不同，形成过程中的文化背景和历史不同，因而教育传统的组成是多元的。
（4）双重性。
任何一种教育传统都存在精华和糟粕两种成分。
（5）局限性。
任何教育传统都不可能完全适应新时代社会发展的需要，总有一定的局限。
由此可见，数学教育优良传统是指在长期的数学教育实践中形成的，被数学教育工作者认同的，具有一定的稳定性的数学教育经验、教育思想、教育理念等内容。
它具有明显而深厚的民族性和地域性文化特征，尽管随时代的变化而不断完善，但是其核心的内容对数学教育的发展具有积极的作用。
二、如何确立为我国数学教育的优良传统？
数学教育优良传统确立的思路直接决定着结果的科学性，也能够规范研究者对这个命题的科学研究。
基于以上对数学教育优良传统内涵的理解，笔者认为，应按照以下思路来确定：
1、历史与现实结合。
2、整体与部分结合。
3、内部发展与外部影响结合。
三、需要继承哪些数学教育的优良传统？
我国的数学教育优良传统是我国数学教育研究者和一大批实践者在实践研究基础上形成的，对我国数学教育不同时期的发展起到了巨大的推动作用，凝聚了许多人的智慧。
更为重要的是，它深深地扎根于中国文化土壤之中。
依据以上所谈思路，笔者认为，“双基”教学、熟能生巧、变式教学、精讲精缗、解题教学乃至三大能力培养是我们需要继承的数学教育的优良传统。
1、“双基”教学。
“双基”及其教学对我国的数学教育具有重要的影响，是我国数学教育实践者比较稳定的教学理念之一。
“双基”的形成有深厚的中国社会文化背景（如稻作文化、考据文化、科举考试等）。
研究表明，1949年以来，从双基到双基教学的提出都具有特殊的历史背景，对我国不同时期的数学教育具有重要的贡献乃至成为一种稳定的教学理念。
尽管都有不同的历史背景，但其核心理念一直是稳定不变的。
双基教学模式已经在我国的数学教学实践中具有稳定的操作程序，并为我国数学教师所熟练掌握。
即“复习旧知——导入新课——讲解分析——样例练习——小结作业”；
双基教学还含有启发性、问题驱动性、示范性、层次性、巩固性等内隐特征。
2、熟能生巧
熟能生巧是我国教育的古训，也是各行各业普遍认同的优良传统。
在数学学习研究中，对熟能生巧的研究也取得了重要的成果。
根据现代数学学习心理学的研究，熟能生巧中的熟可以理解为三个层次，即常规笥的操作性练习、大运动量解题训练以及将训练强调到不适当的地地步，一味地采用灌输知识的办法加大运动量的解题训练。
如果作为适度的常规的操作性练习，熟能生巧则是学生理解、领会和形成概念的必要条件。
而如果进行大运动量的解题训练就会生笨，缺少创造性能力，也缺乏理解力；
如果一味地采用灌输知识的办法加大运动量进行解题训练就会产生厌，即不良的信念、情绪、态度。
调查研究表明，如果将熟能生巧中的巧分为两个层次，就低层次的巧而言，将巧理解为“知其然”“学会某一方法”或“掌握某一技巧”等，那么熟确实能生巧；
就高层次的巧而言，熟仅是巧的必要条件，
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