静力学平衡.docx

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静力学平衡

静力学平衡

△处理静力学平衡问题的三种巧妙方法：

※巧用矢量图解

1.如图所示，三角形ABC三边中点分别为D、E、F，在三角形中任取一点O，如果、、三个矢量代表三个力，那么这三个力的合力为多少？

解：

如图所示：

因为，，，所以，则这三个力的合力。

2.如图所示，一个重为G的小环，套在竖直放置的半径为R的光滑大圆环上．有一劲度系数为k，自然长度为L（L＜2R）的轻弹簧，其上端固定在大圆环的最高点A，下端与小环相连，不考虑一切摩擦，则小环静止时弹簧与竖直方向的夹角为多大？

解：

由几何关系知，①

由力的矢量三角形与几何三角形相似得；

，②

联立①②得：

，

3.如图所示，倾角为的斜面与水平面保持静止,斜面上有一重为G的物体A与斜面间的动摩擦因数为,且,现给A施以一水平力F,设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等,求水平推力F多大时物体能地斜面上静止？

解：

静摩擦力达到最大时,斜面约束力作用线方向与斜面法线成摩擦角。

①

②

联立①②得：

4．如图所示，放在水平面上的质量为m的物体，在水平恒力作用下，刚好做匀速直线运动．若再给物体加一个恒力，且使=，要使物体仍按原方向做匀速直线运动，力应沿什么方向？

此时地面对物体的作用力大小如何？

解：

水平恒力与重力、地面约束力作用而平衡时,三力构成闭合三角形；

加仍构成闭合三角形：

；

。

5.如图所示，一光滑三角支架，顶角为，在AB和AC两光滑杆上分别套有铜环，两铜环间有细线相连，释放两环，当两环平衡时，细线与杆AB夹角为60°，试求两环质量比。

解：

系统处于平衡时,两环所受绳拉力沿绳且等值反向,支架施支持力垂直各杆,以此为依据作每环三力平衡矢量图:

对环M运用正弦定理：

①

对环m运用正弦定理：

②

联立①②得：

6.如图所示，用细绳拴住两个质量为、（＜）的质点，放在表面光滑的圆柱面上，圆柱的轴是水平的，绳长为圆柱横截面周长的。

若绳的质量及摩擦均不计，系统静止时，处细绳与水平夹角是多少？

解：

系统处于平衡时,两质点所受绳拉力沿绳切向且等值,圆柱施支持力垂直柱面,以此为依据作每质点三力平衡矢量图:

对质点：

①

对质点：

②

联立①②得；=

，

7.如图所示，两个质量相等而粗糙程度不同的物体和，分别固定在一细棒的两端，放在一倾角为的斜面上，设和与斜面的摩擦因数为和，并满足，细棒的质量不计，与斜面不接触，试求两物体同时有最大静摩擦力时棒与斜面上最大倾斜线AB的夹角。

解：

系统处于平衡时,两物体所受轻杆力等值反向,沿斜面上每物体受下滑力、最大静摩擦力及杆作用力，每物体三力平衡矢量关系如图，

在力矢量三角形中运用余弦定理：

；

①

②

在力矢量三角形中运用余弦定理：

；

③

联立①②③得：

※巧取研究对象

8.一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直，表面光滑，AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一不可伸长的轻绳相连，并在某一位置平衡，如图所示．现将P向左移一小段距离，两环再次达到平衡，试分析，移动后的平衡状态与原来相比，AO杆对P环的支持力、摩擦力及细绳上的拉力的变化情况。

解：

取两环一线为研究对象：

取下环为研究对象：

综上所述，不变，变小，变小。

9.三根不可伸长的相同细绳，一端系在半径为的环1上，彼此间距相等。

绳穿过半径为的第3个圆环，另一端用同样方式系在半径为的圆环2上，如图所示．环1固定在水平面上，整个系统处于平衡。

试求第2个环中心与第3个环中心之距离（三个环用同种金属丝制作，摩擦不计）。

解：

取2、3两环为研究对象，3环重力设为G。

取2环为研究对象：

，

由几何关系得：

，

10.一个底面粗糙质量为M的劈放在粗糙的水平面上，劈的斜面光滑且与水平面成30°夹角，用一端固定的轻绳系一质量为m的小球，轻绳与斜面的夹角为30°，如图所示。

当劈静止时，求绳中拉力的大小；若地面对劈的最大静摩擦力等于地面对劈的支持力的k倍，为使整个系统静止，求k的最小值。

解：

取小球为研究对象求绳中拉力:

①

取整体为研究对象求地面k值：

②

③

④

联立①②③④得：

11.如图所示，一长L、质量均匀为M的链条套在一表面光滑，顶角为的圆锥上，当链条在圆锥面上静止时，链条中的张力是多少？

解：

链条的受力具有旋转对称性。

链条各部分间的张力属于内力,需将内力转化为外力，我们可以在链条中隔离出任一微元作为研究对象，链条其它部分对微元的拉力就成为外力，对微元根据平衡规律求解。

当时，，，链条微元处于平衡状态。

，。

12.压延机由两轮构成，两轮直径各为d＝50cm，轮间的间隙为a＝0.5cm，两轮按反方向转动，如图上箭头所示。

已知烧红的铁板与铸铁轮之间的摩擦系数＝0.1。

问能压延的铁板厚度b是多少？

解：

分析铁板受力如图：

铁板能前进，应满足：

①

分析几何关系求角：

②

联立①②得：

※巧解汇交力系

13.如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O是球心，碗的内表面光滑。

一根轻质杆的两端固定有两个小球，质量分别是、，当它们静止时，、与球心的连线跟水平面分别成60°和30°角，则碗对两小球的弹力大小之比是多少？

解：

取两球一杆为研究对象，分析受力。

研究对象处于静止，所受三力矢量构成闭合三角形，由力矢量三角形即得：

14.如图所示，BC两个小球均重G,用细线悬挂而静止于A、G两点，细线BC伸直。

求:

（1）AB和CD两根细线的拉力各多大？

（2）细线BC与竖直方向的夹角是多大？

解：

BC球系统为一“三力杆”。

（1）由三力平衡关系图得：

（2）由几何关系图得：

细线BC与竖直成60°角

15.如图所示，光滑半球壳直径为a，与一光滑竖直墙面相切，一根均匀直棒AB与水平成60°角靠墙静止，求棒长。

解：

棒AB受三力，棒AB处于静止,三力作用线汇交于一点。

，①

②

联立①②得：

，

16.如图所示，在墙角处有一根质量为m的均匀绳，一端悬于天花板上的A点，另一端悬于竖直墙壁上的B点，平衡后最低点为C，测得绳长AC=2CB，且在B点附近的切线与竖直成角，则绳在最低点C处的张力和在A处的张力各多大？

解：

取BC段绳为研究对象:

最低点C处的张力为：

取AC段绳为研究对象:

17.如图所示，有一轻杆AO竖直放在粗糙的水平地面上，A端用细绳系住，细绳另一端固定于地面上B点，已知=30°，若在AO杆中点施一大小为F的水平力，使杆处于静止状态，请说明这时地面O端的作用力的大小和方向。

解:

分析杆AO受力:

研究对象处于静止，所受三力矢量构成闭合三角形。

所以，此时地面O端的作用力的大小为F，和方向是与杆成30°

18.一均匀光滑的棒，长l，重G，静止在半径为R的半球形光滑碗内，如图所示，R＜＜2R。

假如为平衡时的角度，P为碗边作用于棒上的力。

求证：

（1）；

（2）。

解：

分析棒的受力如图：

棒处于平衡状态,三力作用线汇交于一点。

由几何关系：

；

由正弦定理:

，，

三力构成闭合三角形。

在力三角形中：

，，

19.一吊桥由六对钢杆悬吊着，六对钢杆在桥面上分列两排，其上端挂在两根钢绳上，如图所示为其一侧截面图．已知图中相邻两钢杆间距离均为9m，靠桥面中心的钢杆长度为5m（即==5m），=，=，又已知两端钢绳与水平成45°角，若不计钢杆与钢绳自重，为使每根钢杆承受负荷相同，则=____m，=____m。

解：

所以，=14m，=8m。

20.如图所示，一根重量为G的绳子，两端固定在高度相同的两个钉子上，在其最低点再挂上一重物．设、分别是绳子在最低点和悬点处的切线与竖直方向的夹角，试求所挂物体的重量。

解：

分析绳最低点受重物拉力和半边绳的受力，

①

对力三角形运用正弦定理：

②

联立①②得：

21.如图所示，半圆柱体重G，重心C到圆心O的距离为，其中R为圆柱体半径．如半圆柱体与水平面间的摩擦因数为，求半圆柱体被拉动时所偏过的角度。

解：

由半圆柱处于平衡,三力作用线汇交于一点来确定地面约束力。

半圆柱所受三力矢量构成闭合三角形。

摩擦角：

①

由三角形与几何三角形相似，得：

②

联立①②得：

，

22.如图所示，一个半径为R的光滑圆柱面放置在水平面上。

柱面上置一线密度为的光滑均匀铁链，其一端固定在柱面顶端A，另一端B恰与水平面相切，试求铁链A端所受拉力以及均匀铁链的重心位置。

解：

利用元功法：

确定链子重心,可用三力杆平衡法。

由图示三力汇交平衡关系得：

在图示三角形中由正弦定理：

23.如图所示，对均匀细杆的一端施力F，力的方向垂直于杆。

要将杆从地板上慢慢地无滑动地抬起，试求杆与地面间的最小摩擦因数。

解：

杆处于一系列可能的动态平衡,当杆抬起,重力、地面约束力及F力三力汇交，以此为依据作杆三力平衡矢量图:

由图示几何关系：

整理得：

利用基本不等式性质：

∵（恒定）

∴当且仅当时，，此时