9.右图是判断输入的年份x是否是闰年的程序框图,若先后输入x＝1900,x＝2400,则输出的结果分别是（注：
xMODy表示x除以y的余数）
A.1900是闰年,2400是闰年B.1900是闰年,2400是平年
C.1900是平年,2400是闰年D.1900是平年,2400是平年
10.将函数f（x）＝sin2x的图像上所有点向左平移个单位长度,得到g（x）的图像,则下列说法正确的是
A.g（x）的最小正周期为2πB.是g（x）的一个对称中心
C.x＝是g（x）的一条对称轴D.g（x）在上单调递增
11.已知Sn为数列{an}的前n项和,3Sn＝an＋2,则数列{Sn}
A.有最大项也有最小项B.有最大项无最小项
C.无最大项有最小项D.无最大项也无最小项
12.在三棱锥P－ABC中,∠BAC＝∠PBA＝∠PCA＝90°,PB＝PC＝,点P到底面ABC的距离为l,则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为
A.3πB.C.4πD.
二、填空题：
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.己知＝5,b＝（2,1）,且a∥b,则向量a的坐标是。
14.若x,y满足约束条件,则z＝3x－y的最大值为。
15.己知直线过椭圆（a>b>0）的左焦点F,交椭圆于A,B两点,交y轴于点C,若,则该椭圆的离心率是。
16.已知函数f（x）＝（ex－ax）（lnx－ax）,若f（x）<0恒成立,则a的取值范围是。
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第（22）、（23）题为选考题,考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17.（12分）
某音乐院校举行“校园之星”评选活动,评委由本校全体学生组成,对A、B两位选手,随机调查了20个学生的评分,得到下面的茎叶图：
（1）通过茎叶图比较A,B两位选手所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值,得出结论即可）；
（2）举办方将会根据评分结果对选手进行三向分流：
根据所得分数,估计A,B两位选手中哪位选手直接晋级的概率更大,并说明理由。
18.（12分）
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知△ABC的面积：
。
（1）证明：
b＝3ccosA；
（2）若,求tanA。
19.（12分）
如图,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD＝DC＝2,点E是PC的中点。
（1）求证：
PA∥平面BED；
（2）若直线BD与平面PBC所成的角为30°,求四棱锥P－ABCD的体积。
20.（12分）
已知F为抛物线C：
x2＝12y的焦点,直线l：
y＝kx＋4与C相交于A,B两点。
（1）O为坐标原点,求；
（2）M为C上一点,F为△ABM的重心（三边中线的交点）,求k。
21.（12分）
己知函数f（x）＝axsinx＋bcosx,且曲线y＝f（x）与直线相切于点。
（1）求f（x）；
（2）若f（x）≤mx2＋1,求实数m的取值范围。
（二）选考题：
共10分。
请考生在第（22）,（23）题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。
22.[选修4－4：
坐标系与参数方程]（10分）
在极坐标系中,圆C：
ρ＝4cosθ。
以极点O为原点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy,直线l经过点M（－1,－）且倾斜角为α。
（1）求圆C直角坐标方程和直线l的参数方程；
（2）己知直线l与圆C交于A,B,满足A为MB的中点,求α。
23.[选修4－5：
不等式选讲]（10分）
设函数。
（1）画出y＝f（x）的图象；
（2）若,求m＋n的最小值。
绝密★启用前
河北省唐山市2020届高三年级上学期摸底考试
数学（文）试题参考答案
一．选择题：
A卷：
DACBDCDCCBAA
B卷：
DACBDADCCBAC
二．填空题：
（13）（2,）或（－2,－）（14）0（15）（16）（,e）
三．解答题：
17．解：
（1）通过茎叶图可以看出,A选手所得分数的平均值高于B选手所得分数的平均值；A选手所得分数比较集中,B选手所得分数比较分散．…6分
（2）A选手直接晋级的概率更大．
用CA表示事件“A选手直接晋级”,CB表示事件“B选手直接晋级”．由茎叶图得
P（CA）的估计值为（5＋3）÷20＝＝，
P（CB）的估计值为（5＋2）÷20＝，
所以，A选手直接晋级的概率更大．…12分
18．解：
（1）由S＝bcsinA＝b2tanA得3csinA＝btanA．
因为tanA＝，所以3csinA＝，
又因为0＜A＜π，所以sinA≠0，
因此b＝3ccosA．…4分
（2）由
（1）得b＝3ccosA＝3cosA，所以2bccosA＝30cos2A．…6分
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，
所以8＝45cos2A＋5－30cos2A，
解得cos2A＝，…10分
因此sin2A＝，即tan2A＝4．
由
（1）得cosA＞0，所以tanA＞0，
故tanA＝2．…12分
19．解：
（1）连接AC交BD于O，连接OE．
由题意可知，PE＝EC，AO＝OC，
∴PA∥EO，又PA⊄平面BED，EO⊂平面BED，
∴PA∥平面BED．…4分
（2）由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC，
又由题意可知CD⊥BC，且PD∩CD＝D，
∴BC⊥平面PCD，则BC⊥DE．
由PE＝EC，PD＝DC，则PC⊥DE，且PC∩BC＝C，
∴DE⊥平面PBC，所以∠DBE即为直线BD与平面PBC所成的角．…8分
设AD＝x，在Rt△DBE中，DE＝，BD＝，则
sin∠DBE＝＝，解得x＝2．…10分
∴四棱锥P−ABCD的体积V＝×PD×S矩形ABCD＝．…12分
20．解：
（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），
将l的方程代入C得：
x2－12kx－48＝0，
所以x1＋x2＝12k，x1x2＝－48，即y1y2＝＝16，
从而•＝x1x2＋y1y2＝－32．…6分
（2）依题意得F（0，3），设M（x3，y3），
因为F为△ABM的重心，所以x1＋x2＋x3＝0，y1＋y2＋y3＝9，
从而x3＝－（x1＋x2）＝－12k，
y3＝9－（y1＋y2）
＝9－
＝9－
＝1－12k2．…10分
因为M（x3，y3）在抛物线C上，
所以（－12k）2＝12（1－12k2），即k2＝．
故k＝或－．…12分
21．解：
（1）由f（）＝＝得a＝1．…2分
f'（x）＝xcosx＋（1－b）sinx，
由f'（）＝1－b＝0得b＝1．
所以f（x）＝xsinx＋cosx．…4分
（2）令g（x）＝mx2＋1－f（x）＝mx2－xsinx－cosx＋1，
由g（x）≥0得g（2π）＝4π2m≥0，所以m≥0．
显然g（x）为偶函数，所以只需x≥0时，g（x）≥0．…6分
g'（x）＝2mx－xcosx＝x（2m－cosx），
当m≥时，g'（x）≥0，即g（x）在[0，＋∞）上单调递增，
所以g（x）≥g（0）＝0，
从而m≥时，f（x）≤mx2＋1成立．…8分
当0≤m＜时，因为y＝2m－cosx在（0，）上单调递增，
又x＝0时，y＝2m－1＜0；x＝时，y＝2m≥0，
所以存在x0∈（0，]，使得2m－cosx0＝0，
因此x∈（0，x0）时，2m－cosx＜0，g'（x）＜0，即g（x）在（0，x0）上单调递减，
所以x∈（0，x0）时，g（x）＜g（0）＝0，与g（x）≥0矛盾，
因此0≤m＜时不成立．
综上，满足题设的m的取值范围是m≥．…12分
22．解：
（1）由圆C：
ρ＝4cosθ可得ρ2＝4ρcosθ，
因为x＝ρcosθ，ρ2＝x2＋y2，
所以x2＋y2＝4x，即（x－2）2＋y2＝4．
直线l：
（t为参数，0≤α＜π）．…5分
（2）设A，B对应的参数分别为tA，tB，
将直线l的方程代入C并整理，得t2－6t（sinα＋cosα）＋32＝0，
所以tA＋tB＝6（sinα＋cosα），tA·tB＝32．
又A为MB的中点，所以tB＝2tA，
因此tA＝2（sinα＋cosα）＝4sin（α＋），tB＝8sin（α＋），…8分
所以tA·tB＝32sin2（α＋）＝32，即sin2（α＋）＝1．
因为0≤α＜π，所以≤α＋＜，
从而α＋＝，即α＝．…10分
23．解：
（1）f（x）＝…3分
y＝f（x）的图象如图所示：
…5分
（2）一方面，由f（x）≤m|x|＋n得f（0）≤n，解得n≥2．
因为f（x）≥|（2x－1）＋（x＋1）|＝3|x|，所以m|x|＋n≥3|x|．（※）
若m≥3，（※）式明显成立；若m＜3，则当|x|＞时，（※）式不成立．…8分
另一方面，由图可知，当m≥3，且n≥2时，f（x）≤m|x|＋n．
故当且仅当m≥3，且n≥2时，f（x）≤m|x|＋n．
因此m＋n的最小值为5．…10分
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