将军饮马与二次函数题型Word文件下载.docx

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（1）将点A、点B的坐标代入可求出b、c的值，继而可得出该抛物线的解析式；

（2）连接BC，则BC与对称轴的交点，即是点Q的位置，求出直线BC的解析式后，可得出点Q的坐标．

【解答】解

（1）把A（1，0）、B（﹣3，0）代入抛物线解析式可得：

，

解得：

故抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．

（2）存在．

由题意得，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，连接BC，则BC与抛物线对称轴的交点是点Q的位置，

设直线BC解析式为y=kx+b，把B（﹣3，0）、C（0，3）代入得：

则直线BC的解析式为y=x+3，

令QX=﹣1得Qy=2，

故点Q的坐标为：

（﹣1，2）．

【点评】本题考查了二次函数的综合运用，涉及了顶点坐标的求解、三角形的面积及轴对称求最短路径的知识，解答本题的关键是熟练各个知识点，注意培养自己解综合题的能力．

（1）抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），求得b，c值；

（2）设点P的坐标为（x，y），求得y值，分别代入从而求得点P的坐标；

（3）由AC长为定值，要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小．又能求得由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x=1的交点，再求得BC的直线，从而求得点Q的坐标．

【解答】解：

（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），

∴

解之，得

∴所求抛物线的解析式为：

y=x2﹣2x﹣3；

（2）设点P的坐标为（x，y），由题意，得

S△ABC=

×

4×

|y|=8，

∴|y|=4，

∴y=±

4，

当y=4时，x2﹣2x﹣3=4，

∴x1=1+

，x2=1﹣

当y=﹣4时，x2﹣2x﹣3=﹣4，

∴x=1，

∴当P点的坐标分别为

、

、（1，﹣4）时，S△PAB=8；

（3）在抛物线y=x2﹣2x﹣3的对称轴上存在点Q，使得△QAC的周长最小．

∵AC长为定值，

∴要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小．

∵点A关于对称轴x=1的对称点是B（3，0），

∴由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x=1的交点，

抛物线y=x2﹣2x﹣3与y轴交点C的坐标为（0，﹣3），设直线BC的解析式为y=kx﹣3．

∵直线BC过点B（3，0），

∴3k﹣3=0，

∴k=1．

∴直线BC的解析式为y=x﹣3，

∴当x=1时，y=﹣2．

∴点Q的坐标为（1，﹣2）．

【点评】本题考查了二次函数的综合运用，

（1）抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），很容易得到b，c值；

（3）由AC长为定值，要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小．又能求得由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x=1的交点，再求得BC的直线，从而求得点Q的坐标．本题有一定难度，需要考虑仔细，否则漏解．

（1）根据抛物线的对称轴可得出A点坐标，然后根据O、A、B三点坐标，用待定系数法可求出抛物线的解析式．

（2）可根据B、C的坐标，求出BC的长，然后根据CB=CE，将C点坐标向上或向下平移BC个单位即可得出E点坐标．

（3）本题的关键是确定P点的位置，可取B关于抛物线对称轴的对称点D，连接DG，直线DG与抛物线对称轴的交点即为所求P点的位置．可先求出直线DG的解析式，然后联立抛物线对称轴方程即可求出P点坐标．

（1）由题意知：

A（4，0）；

设抛物线的解析式为y=ax（x﹣4），已知抛物线过B（﹣2，3）；

则有：

3=ax（﹣2）×

（﹣2﹣4），

a=

∴抛物线的解析式为：

y=

x2﹣x；

（2）过点B作BM⊥MC，

∵B点坐标为：

（﹣2，3），C点坐标为：

（2，0），

∴MC=4，BM=3，

BC=

=5，

∴|CE|=5，

∴E1（2，5），E2（2，﹣5）；

（3）存在．

①当E1（2，5）时，G1（0，4），设点B关于直线x=2的对称点为D，

其坐标为（6，3）

直线DG1的解析式为：

y=﹣

x+4，

∴P1（2，

）

②当E2（2，﹣5）时，G2（0，﹣1），直线DG2的解析式为：

x﹣1

∴P2（2，

综合①、②存在这样的点P，使得△PBG的周长最小，且点P的坐标为（2，

或（2，

）．

【点评】本题考查了二次函数解析式的确定、等腰三角形的判定、轴对称图形的性质等知识，（3）中能正确找出P点位置是解题的关键．

（1）设交点式为y=a（x﹣1）（x﹣4），然后把C点坐标代入求出a=

，于是得到抛物线解析式为y=

x2﹣

x+3；

（2）先确定抛物线的对称轴为直线x=

，连结BC交直线x=

于点P，如图，利用对称性得到PA=PB，所以PA+PC=PC+PB=BC，根据两点之间线段最短得到PC+PA最短，于是可判断此时四边形PAOC的周长最小，然后计算出BC=5，再计算OC+OA+BC即可．

（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣4），

把C（0，3）代入得a•（﹣1）•（﹣4）=3，解得a=

所以抛物线解析式为y=

（x﹣1）（x﹣4），即y=

因为A（1，0）、B（4，0），

所以抛物线的对称轴为直线x=

连结BC交直线x=

于点P，如图，则PA=PB，PA+PC=PC+PB=BC，此时PC+PA最短，

所以此时四边形PAOC的周长最小，

因为BC=

所以四边形PAOC周长的最小值为3+1+5=9．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：

在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；

当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；

当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了最短路径问题．

将军饮马模型及其变形

一．解答题（共2小题）

1．（2015•上城区一模）设抛物线y=

（x+1）（x﹣2）与x轴交于A、C两点（点A在点C的左边），与y轴交于点B．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）已知点D在坐标平面内，△ABD是顶角为120°

的等腰三角形，求点D的坐标；

（3）若点P、Q位于抛物线的对称轴上，且PQ=

，求四边形ABQP周长的最小值．

2．（2015•贵阳）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．

（1）求MP的值；

（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？

（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）

2016年05月18日账号17的初中数学组卷

【考点】二次函数综合题．

（1）令x=0，求出与y轴的坐标；

令y=0，求出与x轴的坐标；

（2）分三种情况讨论：

①当AB为底时，若点D在AB上方；

若点D在AB下方；

②当AB为腰时，A为顶点时，③当AB为腰时，A为顶点时；

仔细解答即可．

（3）当AP+BQ最小时，四边形ABQP的周长最小，根据轴对称最短路径问题解答．

（1）当x=0时，y=﹣

；

当y=0时，x=﹣1或x=2；

则A（﹣1，0），B（0，﹣

），C（2，0）；

（2）如图，Rt△ABO中，OA=1，OB=

∴AB=2，∠ABO=30°

，∠BAO=60°

∴△ABD是顶角为120°

的等腰三角形．

①当AB为底时，若点D在AB上方，由∠ABO=∠BAD=30°

，AB=2，得D1（0，﹣

），

若点D在AB下方，由∠BAD=∠DBA=30°

，AB=2，得D2（﹣1，﹣

②当AB为腰时，A为顶点时，

∵∠DAB=120°

，∠OAB=60°

，AD=AB=2，

∴点D在y轴或x轴上，

若D在y轴上，得D3（0，

），若D在x轴上，得D4（﹣3，0）；

③当AB为腰时，A为顶点时，

若点D在第三象限，

∵∠DBO=150°

，BD=2，得D5（﹣1，﹣2

）；

若点D在第四象限时，

∵DB∥x轴，BD=2，得D6（2，﹣

∴符合要求的点D的坐标为（0，﹣

），（﹣1，﹣

），（0，

），（﹣3，0），（﹣1，﹣2

），（2，﹣

（3）当AP+BQ最小时，四边形ABQP的周长最小，

把点B向上平移

个单位后得到B1（0，﹣

∵BB1∥PQ，且BB1=PQ，

∴四边形BB1PQ是平行四边形，

∴BQ=B1P，

∴AP+BQ=AP+B1P，

要在直线x=

上找一点P，使得AP+B1P最小，

作点B1关于直线x=

的对称点，得B2（1，﹣

则AB2就是AP+BQ的最小值，AB2=

=

AB=2，PQ=

∴四边形ABQP的周长最小值是

+2．

【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及二次函数与x轴的交点、与y轴的交点、等腰三角形的性质、勾股定理等内容，存在性问题的出现使得难度增大．

【考点】几何变换综合题．

【专题】综合题；

压轴题．

（1）根据折叠的性质和矩形性质以得PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°

，然后利用勾股定理可计算出MP=5；

（2）如图1，作点M关于AB的对称点M′，连接M′E交AB于点F，利用两点之间线段最短可得点F即为所求，过点E作EN⊥AD，垂足为N，则AM=AD﹣MP﹣PD=4，所以AM=AM′=4，再证明ME=MP=5，接着利用勾股定理计算出MN=3，所以NM′=11，然后证明△AFM′∽△NEM′，则可利用相似比计算出AF；

（3）如图2，由

（2）知点M′是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2，连接M′R交AB于点G，再过点E作EQ∥RG，交AB于点Q，易得QE=GR，而GM=GM′，于是MG+QE=M′R，利用两点之间线段最短可得此时MG+EQ最小，于是四边形MEQG的周长最小，在Rt△M′RN中，利用勾股定理计算出M′R=5

，易得四边形MEQG的最小周长值是7+5

．

（1）∵四边形ABCD为矩形，

∴CD=AB=4，∠D=90°

∵矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，

∴PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°

∴MP=

=5；

（2）如图1，作点M关于AB的对称点M′，连接M′E交AB于点F，则点F即为所求，过点E作EN⊥AD，垂足为N，

∵AM=AD﹣MP﹣PD=12﹣5﹣3=4，

∴AM=AM′=4，

∴∠CEP=∠MEP，

而∠CEP=∠MPE，

∴∠MEP=∠MPE，

∴ME=MP=5，

在Rt△ENM中，MN=

=3，

∴NM′=11，

∵AF∥NE，

∴△AFM′∽△NEM′，

，即

，解得AF=

即AF=

时，△MEF的周长最小；

（3）如图2，由

（2）知点M′是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2，连接M′R交AB于点G，再过点E作EQ∥RG，交AB于点Q，

∵ER=GQ，ER∥GQ，

∴四边形ERGQ是平行四边形，

∴QE=GR，

∵GM=GM′，

∴MG+QE=GM′+GR=M′R，此时MG+EQ最小，四边形MEQG的周长最小，

在Rt△M′RN中，NR=4﹣2=2，

M′R=

=5

∵ME=5，GQ=2，

∴四边形MEQG的最小周长值是7+5

【点评】本题考查了几何变换综合题：

熟练掌握折叠的性质和矩形的性质；

会利用轴对称解决最短路径问题；

会运用相似比和勾股定理计算线段的长．