函数及其表示知识点与题型归纳.docx

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函数及其表示知识点与题型归纳

●高考明方向

1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的

定义域和值域，了解映射的概念．

2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当

的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数．

3.了解简单的分段函数，并能简单地应用.

★备考知考情

　从近三年的高考试题看，函数的表示方法多以选择题、填空题形式出现，高考命题仍将集中在理解函数的概念，会求一些简单函数的定义域，而且经常与其他知识结合考查，如解不等式、能够利用解析式求函数值，并且多以分段函数形式给出.

函数的图象主要体现在选择与填空题中用

数形结合法解题和识图能力，大题常在应用题中给

出图象求解析式．

一、知识梳理《名师一号》P10

知识点一函数的基本概念

1、函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么

就称f：

A→B为集合A到集合B的一个函数，

记作y＝f（x），x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围

A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函

数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．

显然，值域是集合B的子集．

从映射的角度看，函数是由一个非空数集

到另一个非空数集的映射．

温馨提示：

（1）A、B都是非空数集，因此定义域（或值域）为空集的函数不存在．

（2）函数关系的判断要注意“每一个”、“都有”、“唯一”等关键词．

（3）注意f（x）与f（a）的区别，f（a）表示当x＝a时的函数值，是一个常量；而f（x）是关于x的函数，一般情况下是一个变量，f（a）是f（x）的一个特殊值．

2、函数的构成要素：

定义域、对应关系和值域

由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．

3、函数的表示法有：

解析法、列表法、图像法

知识点二映射

映射的概念：

设A、B是两个集合，如果按照某种对应法

则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B

中都有唯一确定的元素与它对应，这样的对应关系

叫做从集合A到集合B的映射，记作f：

A→B.

（补充）象和原象：

给定一个集合A到B的映射，且a∈A，b∈B，

如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做

元素a的象，元素a叫做元素b的原象．

注意：

《名师一号》P11问题探究问题2

函数与映射的区别与联系

（1）函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合A与集合B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的映射；

（2）映射不一定是函数，从A到B的一个映射，若A，B不是数集，则这个映射便不是函数．

知识点三分段函数

若函数在其定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．

（补充）复合函数

二、例题分析：

（一）映射与函数的概念

例1．

（1）（补充）

（1），，；

（2），，

；

（3），，．

上述三个对应是到的映射．

答案：

（2）

注意：

（补充）

判断对应是否为映射，即看A中元素是否满足

“每元有像”且“像唯一”；即要注意：

允许一对一、多对一，但不允许一对多；

B中元素可有剩余（即允许B中有的元素没有原象）.

例1．

（2）（补充）点在映射的作用下的象是，则在映射的作用下点的原象是

答案：

例2.《名师一号》P11高频考点例1

有以下判断：

①f（x）＝与g（x）＝表示同一函数；

②函数y＝f（x）的图象与直线x＝1的交点最多有1个；

③f（x）＝x2－2x＋1与g（t）＝t2－2t＋1是同一函数；

④若f（x）＝|x－1|－|x|，则f＝0.

其中正确判断的序号是________．

答案:

②③.

解析：

对于①，由于函数f（x）＝的定义域为

{x|x∈R且x≠0}，而函数g（x）＝的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f（x）定义域内的值，则直线x＝1与y＝f（x）的图象没有交点，如果x＝1是y＝f（x）定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f（x）的图象只有一个交点，即y＝f（x）的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f（x）与g（t）的定义域、值域和对应关系均相同，所以f（x）和g（t）表示同一函数；对于④，由于f＝－＝0，所以f＝f（0）＝1.

综上可知，正确的判断是②③.

注意：

《名师一号》P11高频考点例1规律方法

函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；

当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数，值得注意的是，函数的对应关系是就效果而言的（判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同）．

简而言之

1、函数是一类特殊的映射，是由一个非空数集到另一个

非空数集的映射。

是一对一或多对一

2、函数的三要素（定义域、值域、对应法则）

可简化为两要素（定义域、对应法则）

练习：

《名师一号》P10对点自测1---图像

练习：

温故知新P11第9题

解析式为，值域为的函数共有个。

答案：

9

（二）求函数解析式

例1.

（1）《名师一号》P11高频考点例2

（1）已知f＝x2＋，求f（x）的解析式．

解析：

（1）由于f＝x2＋＝2－2，

所以f（x）＝x2－2，x≥2或x≤－2，

故f（x）的解析式是f（x）＝x2－2（x≥2或x≤－2）．

注意：

《名师一号》P11高频考点例2规律方法

求函数解析式常用以下解法：

（1）配凑法：

由已知条件f（g（x））＝F（x），可将F（x）改写成关于g（x）的表达式，然后以x替代g（x），便得f（x）的表达式．

例1.

（2）《名师一号》P11高频考点例2

（2）已知f＝lgx，求f（x）；

解析：

（2）令t＝＋1，则x＝，

∴f（t）＝lg，即f（x）＝lg.

注意：

《名师一号》P11高频考点例2规律方法

求函数解析式常用以下解法：

（3）换元法：

已知复合函数f（g（x））的解析式，

可用换元法，此时要注意新元的取值范围．

例1.（3）《名师一号》P11高频考点例2

（3）已知f（x）是二次函数且f（0）＝2，

f（x＋1）－f（x）＝x－1，求f（x）；

解析：

（3）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），由f（0）＝2，

得c＝2，

f（x＋1）－f（x）＝a（x＋1）2＋b（x＋1）－ax2－bx＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1.

∴即

∴f（x）＝x2－x＋2.

注意：

《名师一号》P11高频考点例2规律方法

求函数解析式常用以下解法：

（2）待定系数法：

若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等）可用待定系数法．

（补充）

（1）一次函数解析式：

（2）二次函数解析式：

1一般式：

2顶点式：

（顶点为）

3两根式：

（为相应方程的两根）

例1.（4）《名师一号》P11高频考点例2

（4）已知f（x）＋2f＝x（x≠0），求f（x）．

解析：

（4）∵f（x）＋2f＝x，∴f＋2f（x）＝.

解方程组

得f（x）＝－（x≠0）．

注意：

《名师一号》P11高频考点例2规律方法

求函数解析式常用以下解法：

（4）方程组法：

已知关于f（x）与f或f（－x）的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f（x）．

例1.（5）（补充）

已知函数f（x）满足f（0）＝1，

f（a－b）＝f（a）－b（2a－b＋1）（a、b∈R），求f（x）．

解析：

解法1：

令a＝0，则f（－b）＝f（0）－b（－b＋1）

＝1＋b（b－1）＝b2－b＋1，再令－b＝x得，

f（x）＝x2＋x＋1.

解法2：

令b＝a，则1＝f（0）＝f（a）－a（2a－a＋1）

＝f（a）－a（a＋1），

∴f（a）＝a（a＋1）＋1＝a2＋a＋1，即f（x）＝x2＋x＋1.

注意：

（补充）求函数解析式常用以下解法：

赋值法

此类解法的依据是：

如果一个函数关系式中的变量对某个范围的一切值都成立，则对该范围内的某些特殊值必成立，结合题设条件的结构特点，给变量适当取值，从而使问题简单化，具体化，从而获解。

（三）分段函数、复合函数

例1.

（1）《名师一号》P11对点自测4

已知函数f（x），g（x）分别由下表给出

x

1

2

3

f（x）

1

3

1

x

1

2

3

g（x）

3

2

1

则f[g

（1）]的值为______________；

满足f[g（x）]＞g[f（x）]的x的值是__________．

解析　f[g

（1）]＝f（3）＝1.

x

1

2

3

f[g（x）]

1

3

1

g[f（x）]

3

1

3

故f[g（x）]＞g[f（x）]的解为x＝2.

例1.

（2）《名师一号》P11对点自测6

（2014·浙江卷）设函数f（x）＝

若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是________．

解析　由题意得或

解得f（a）≥－2.

由或解得a≤.

例2.《名师一号》P12高频考点例3

（2014·福建卷）已知函数f（x）＝

则下列结论正确的是（　　）

A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数

C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[－1，＋∞）

A项，f＝cos＝0，而f＝2＋1＝，显然f≠f，所以函数f（x）不是偶函数，排除A.

B项，当x>0时，函数f（x）单调递增，而f（x）＝cosx在区间（－2π，－π）上单调递减，故函数f（x）不是增函数，排除B.

C项，当x>0时，f（x）＝x2＋1，对任意的非零实数T，f（x＋T）＝f（x）均不成立，故该函数不是周期函数，排除C.

D项，当x>0时，f（x）＝x2＋1>1；当x≤0时，f（x）＝cosx∈[－1，1]．故函数f（x）的值域为[－1,1]∪（1，＋∞），即[－1，＋∞），所以该项正确，选D.

　注意：

《名师一号》P12高频考点例3规律方法

（1）处理分段函数问题时，首先要明确自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应关系，代入求解．

（2）如果分段函数中每一段上的解析式都是我们常见的基本初等函数，通常可以将这个分段函数的图象画出来，然后结合图象解决一些函数单调性问题、函数零点个数的判断问题、参数取值范围的讨论等问题．

例3《名师一号》P12特色专题典例

设x≥0时，f（x）＝2；x<0时，f（x）＝1，又规定：

，

试写出y＝g（x）的表达式，并画出其图象．

【规范解答】　对于x>0的不同区间，讨论x－1与x－2的符号可求出g（x）的表达式．

当0

∴g（x）＝＝1；

当1≤x<2时，x－1≥0，x－2<0，

∴g（x）＝＝；

当x≥2时，x－1>0，x－2≥0，

∴g（x）＝＝2.

故g（x）＝

其图象如下图．

注意：

分段函数意义理解不清致误

【易错分析】　

①对函数的对应法则不理解，误认为f（x－1）＝f（x－2）＝2，虽然都是x>0但已知函数y＝f（x），x是作为对应法则f下的自变量，而函数y＝f（x－1）是复合函数，对应法则f不是直接作用于x，而是作用于x－1只有x≥1时，x－1≥0，此时f（x－1）＝2才成立．

②