实际问题与一元二次方程数学组卷文档格式.docx

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20%

21%

22%

6．（2013•雅安）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x=0的两根，则x1+x2的值是（　　）

2

﹣2

4

7．（2013•泸州）设x1、x2是方程x2+3x﹣3=0的两个实数根，则

的值为（　　）

5

﹣5

1

﹣1

二．填空题（共6小题）

8．（2011•潍坊）已知线段AB的长为a，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB．取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形AENM．过E作EF丄CD，垂足为F点．若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，則AE的长为　_________　．

9．（2010•鞍山）有一块长30cm，宽20cm的纸板，要挖出一个面积为200cm2的长方形的孔，并且四周宽度相等，则这个框的宽应为　_________　cm．

10．（2000•海南）某初三一班学生上军训课，把全班人数

的排成一列，这样排成一个正方形的方队后还有7人站在一旁观看，此班有学生　_________　人．

11．（2013•黔东南州）若两个不等实数m、n满足条件：

m2﹣2m﹣1=0，n2﹣2n﹣1=0，则m2+n2的值是　_________　．

12．（2013•荆门）设x1，x2是方程x2﹣x﹣2013=0的两实数根，则

=　_________　．

13．（2012•威海）若关于x的方程x2+（a﹣1）x+a2=0的两根互为倒数，则a=　_________　．

三．解答题（共7小题）

14．（2013•襄阳）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．

（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？

（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？

15．（2013•连云港）小林准备进行如下操作实验；

把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．

（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，小林该怎么剪？

（2）小峰对小林说：

“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2．”他的说法对吗？

请说明理由．

16．（2013•来宾）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．

（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？

（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？

17．百货大楼服装柜销售中发现：

“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：

如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要使平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

请先填空后再列方程求解：

设每件童装降价　_________　元，那么平均每天就可多售出　_________　件，

现在一天可售出　_________　件，每件盈利　_________　元．

18．（2013•泰安）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？

19．（2013•贵阳）2010年底某市汽车拥有量为100万辆，而截止到2012年底，该市的汽车拥有量已达到144万辆．

（1）求2010年底至2012年底该市汽车拥有量的年平均增长率；

（2）该市交通部门为控制汽车拥有量的增长速度，要求到2013年底全市汽车拥有量不超过155.52万辆，预计2013年报废的汽车数量是2012年底汽车拥有量的10%，求2012年底至2013年底该市汽车拥有量的年增长率要控制在什么范围才能达到要求．

20．（2009•淄博）如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．

（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；

（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形；

（3）以P、Q、M、N为顶点的四边形能否为等腰梯形？

如果能，求x的值；

如果不能，请说明理由．

2014年4月千羽熏的初中数学组卷

参考答案与试题解析

考点：

一元二次方程的应用．

专题：

增长率问题．

分析：

一般用增长后的量=增长前的量×

（1+增长率），2012年要投入资金是0.5（1+x）万元，在2012年的基础上再增长x，就是2013年的资金投入0.5（1+x）（1+x），由此可列出方程0.5（1+x）2=0.98，求解即可．

解答：

解：

设这两年中投入资金的平均年增长率是x，由题意得：

0.5（1+x）2=0.98，

解得：

x1=40%x2=﹣2.4（不合题意舍去）．

答：

这两年中投入资金的平均年增长率约是40%．

故选：

点评：

本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×

（1+年平均增长率）年数=增长后的量．

网格型．

可设方格纸的边长是x，灰色三角形的面积等于方格纸的面积减去周围三个直角三角形的面积，列出方程可求解．

方格纸的边长是x，

x2﹣

•x•

x﹣

•

x•

x=

x2=12．

所以方格纸的面积是12，

故选B．

本题考查识图能力，关键看到灰色三角形的面积等于正方形方格纸的面积减去周围三个三角形的面积得解．

比赛问题．

此题可通过设出队数是x，则每个队都与另外一个队进行一场比赛，每队参加x﹣1场比赛，而任何两队设都只赛一场，因而共举行

x（x﹣1）场比赛，根据题意列出一元二次方程求得．

设这次有x个队参加比赛；

由题意得，

，

解得x=10或﹣9（舍去）；

∴这次有10个队参加比赛．

故选D．

同学们应加强培养对应用题的理解能力，判断出题干信息，列出一元二次方程求解．

一元二次方程的应用；

三角形三边关系；

等腰三角形的性质；

勾股定理的逆定理．

几何图形问题；

分类讨论．

本题应先解出x的值，然后讨论是何种三角形，接着对图形进行分析，最后运用三角形的面积公式S=

×

底×

高求出面积．

x2﹣16x+60=0⇒（x﹣6）（x﹣10）=0，

∴x=6或x=10．

当x=6时，该三角形为以6为腰，8为底的等腰三角形．

∴高h=

=2

∴S△=

8×

=8

；

当x=10时，该三角形为以6和8为直角边，10为斜边的直角三角形．

6×

8=24．

∴S=24或8

．

本题考查了三角形的三边关系．

看到此类题目时，学生常常会产生害怕心理，不知如何下手答题，因此我们会在解题时一步一步地计算，让学生能更好地解出此类题目．

增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×

（1+增长率），本题可参照增长率问题求解．设这两年平均每年绿地面积的增长率是x，因为增长了2次，所以（1+x）2=1+44%，解这个方程即可求解．

设这两年平均每年绿地面积的增长率是x，则（1+x）2=1+44%，

解之得x=0.2或﹣2.2（舍去）

即x=20%．

这两年平均每年绿地面积的增长率是20%．

本题考查求平均变化率的方法．掌握求增长率的等量关系：

增长后的量=（1+增长率）增长的次数×

增长前的量．

根与系数的关系．

计算题．

利用根与系数的关系即可求出两根之和．

∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x=0的两根，

∴x1+x2=2．

故选B

此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．

先利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，将两根之和与两根之积代入计算即可求出值．

∵x1、x2是方程x2+3x﹣3=0的两个实数根，

∴x1+x2=﹣3，x1x2=﹣3，

则原式=

=

=﹣5．

此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．

8．（2011•潍坊）已知线段AB的长为a，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB．取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形AENM．过E作EF丄CD，垂足为F点．若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，則AE的长为　

a　．

压轴题．

本题需先设出AE的长，从而得出BE的长，再根据题意列出方程，求出x的值即可得出AE的长．

设AE的长为x（x＞0），则BE的长为a﹣x

根据题意得：

x2=（a﹣x）•a，

∴x2+ax﹣a2=0，

∵△=a2+4a2=5a2＞0，

∴x=

a．

故答案为：

本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件和图形列出方程是本题的关键．

9．（2010•鞍山）有一块长30cm，宽20cm的纸板，要挖出一个面积为200cm2的长方形的孔，并且四周宽度相等，则这个框的宽应为　5　cm．

这个框的宽应为xcm，先表示出长方形的孔的长是（30﹣2x）cm，宽是（20﹣2x）cm，再根据长方形的面积公式即可列方程求解．

设这个框的宽应为xcm．

依题意有（30﹣2x）（20﹣2x）=200

即x2﹣25x+100=0．

解得x1=5，x2=20（不合题意舍去）．

故这个框的宽应为5cm．

判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．本题正确表示出长方形的孔的长和宽是解题的关键．

的排成一列，这样排成一个正方形的方队后还有7人站在一旁观看，此班有学生　56　人．

其他问题．

设班级学生有x人，把全班人数

的排成一列，则方队人数为（

x）2，依题意列方程．

设班级学生x人，依题意，得

（

x）2+7=x，

整理，得x2﹣64x+448=0，

解得x1=56，x2=8，

当x=8时，

x=1，1人不能成为方阵，舍去，

此班有学生56人．

本题关键是根据班级人数表示方队人数，找出等量关系．

m2﹣2m﹣1=0，n2﹣2n﹣1=0，则m2+n2的值是　6　．

根据题意知，m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，所以利用根与系数的关系来求m2+n2的值．

由题意知，m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则m+n=2，mn=﹣1．

所以，m2+n2=（m+n）2﹣2mn=2×

2﹣2×

（﹣1）=6．

故答案是：

6．

此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

=　2014　．

根与系数的关系；

一元二次方程的解．

由原方程可以得到x2=x+2013，x=x2﹣2013；

然后根据一元二次方程解的定义知，x12=x1+2013，x1=x12﹣2013．由根与系数的关系知x1+x2=1，所以将其代入变形后的所求代数式求值．

∵x2﹣x﹣2013=0，

∴x2=x+2013，x=x2﹣2013，

又∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2013=0的两实数根，

∴x1+x2=1，

∴

=x1•

+2013x2+x2﹣2013，

=x1•（x1+2013）+2013x2+x2﹣2013，

=（x1+2013）+2013x1+2013x2+x2﹣2013，

=x1+x2+2013（x1+x2）+2013﹣2013，

=1+2013，

=2014，

2014．

本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义．对所求代数式的变形是解答此题的难点．

13．（2012•威海）若关于x的方程x2+（a﹣1）x+a2=0的两根互为倒数，则a=　﹣1　．

设方程的两根分别为m与n，由m与n互为倒数得到mn=1，再由方程有解，得到根的判别式大于等于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围，然后利用根与系数的关系表示出两根之积，可得出关于a的方程，求出方程的解得到a的值即可．

设已知方程的两根分别为m，n，

由题意得：

m与n互为倒数，即mn=1，

由方程有解，得到△=b2﹣4ac=（a﹣1）2﹣4a2≥0，

﹣1≤a≤

又mn=a2，∴a2=1，

a=1（舍去）或a=﹣1，

则a=﹣1．

此题考查了根与系数的关系，倒数的定义，以及一元二次方程解的判定，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，方程有解，设此时方程的解为x1和x2，则有x1+x2=﹣

，x1x2=

（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出x，

（2）进而求出第三轮过后，又被感染的人数．

（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，

1+x+x（x+1）=64

x=7或x=﹣9（舍去）．

每轮传染中平均一个人传染了7个人；

（2）64×

7=448（人）．

第三轮将又有448人被传染．

本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键．

几何图形问题．

（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；

（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明小峰的说法错误，否则正确．

（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm，由题意，得

）2+（

）2=58，

x1=12，x2=28，

当x=12时，较长的为40﹣12=28cm，

当x=28时，较长的为40﹣28=12＜28（舍去）

∴较短的这段为12cm，较长的这段就为28cm；

（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm，由题意，得

）2=48，

变形为：

m2﹣40m+416=0，

∵△=（﹣40）2﹣4×

416=﹣64＜0，

∴原方程无解，

∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2．

本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，解答本题时找到等量关系建立方程和运用根的判别式是关键．

销售问题．

（1）先求出每件的利润．在乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润；

（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．

（1）由题意，得60（360﹣280）=4800元．答：

降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；

（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由题意，得（360﹣x﹣280）（5x+60）=7200，解得：

x1=8，x2=60∵有利于减少库存，

∴x=60．

要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．

本题考查了销售问题的数量关系利润=售价﹣进价的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键．

设每件童装降价　x　元，那么平均每天就可多售出　2x　件，

现在一天可售出　20+2x　件，每件盈利　40﹣x　元．

由实际问题抽象出一元二次方程．

设每件童装降价x元，那么平均每天就可多售出2x元，根据平均每天销售这种童装盈利1200元，即销量×

每件的利润=1200