中科大算法实验4求平面最近点对算法Word格式文档下载.docx
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如果组成S的最接近点对的2个点都在S1中或都在S2中，则问题很容易解决。
但是，如果这2个点分别在S1和S2中，则对于S1中任一点p，S2中最多只有n/2个点与它构成最接近点对的候选者，仍需做n2/4次计算和比较才能确定S的最接近点对。
因此，依此思路，合并步骤耗时为O（n2）。
整个算法所需计算时间T（n）应满足:
T（n）=2T（n/2）+O（n2）
在一维的情形，距分割点距离为δ的2个区间（m-δ,m]（m,m+δ]中最多各有S中一个点。
因而这2点成为唯一的末检查过的最接近点对候选者。
二维的情形则要复杂些，此时，P1中所有点与P2中所有点构成的点对均为最接近点对的候选者。
在最坏情况下有n2/4对这样的候选者。
但是P1和P2中的点具有以下的稀疏性质，它使我们不必检查所有这n2/4对候选者。
考虑P1中任意一点p,它若与P2中的点q构成最接近点对的候选者，则必有d（p,q）<
δ。
满足这个条件的P2中的点有多少个呢？
容易看出这样的点一定落在一个δ×
2δ的矩形R中.
因此d（u,v）≤5δ/6<
δ。
这与δ的意义相矛盾。
也就是说矩形R中最多只有6个S中的点。
图4（b）是矩形R中含有S中的6个点的极端情形。
由于这种稀疏性质，对于P1中任一点p，P2中最多只有6个点与它构成最接近点对的候选者。
因此，在分治法的合并步骤中，我们最多只需要检查6×
n/2=3n对候选者，而不是n2/4对候选者。
这是否就意味着我们可以在O（n）时间内完成分治法的合并步骤呢？
现在还不能作出这个结论，因为我们只知道对于P1中每个S1中的点p最多只需要检查P2中的6个点（确切的说，是矩形R中的6个S中的点），但是我们并不确切地知道要如何检查。
为了解决这个问题，我们可以将p和P2中所有S2的点投影到垂直线l上。
由于能与p点一起构成最接近点对候选者的S2中点一定在矩形R中，并且要满足d（p,q）<
δq∈P2,因此满足条件的点它们在直线l上的投影点距p在l上投影点的距离小于δ，由上面的分析可知，这种投影点不多于6个。
因此，若将P1和P2中所有S的点按其y坐标排好序，则对P1中所有点p，对排好序的点列作一次扫描，就可以找出所有最接近点对的候选者，对P1中每一点最多只要检查P2中排好序的相继6个点。
至此，我们可以给出用分治法求二维最接近点对的算法CPAIR2如下:
functionCPAIR2（S）;
begin
if|S|=2
thenδ:
=S中这2点的距离
elseif|S|=0
=∞
else
1.m:
=S中各点x坐标值的中位数;
构造S1和S2，使S1={p∈S|px≤m}和S2={p∈S|px>
m}
2.δ1:
=CPAIR2（S1）;
δ2:
=CPAIR2（S2）;
3.δm:
=min（δ1,δ2）;
4.设P1是S1中距垂直分割线l的距离在δm之内的所有点组成的集合，P2是S2中距分割线l的距离在δm之内所有点组成的集合。
将P1和P2中的点依其y坐标值从小到大排序，并设P1*和P2*是相应的已排好序的点列;
5.通过扫描P1*以及对于P1*中每个点检查P2*中与其距离在δm之内的所有点（最多6个）可以完成合并。
当P1*中的扫描指针逐次向上移动时，P2*中的扫描指针可在宽为2δm的一个区间内移动。
设δl是按这种扫描方式找到的点对间的最小距离;
6.δ=min（δm,δl）;
end;
return（δ）;
下面我们来分析一下算法CPAIR2的计算复杂性。
设对于n个点的平面点集S，算法耗时T（n）。
算法的第1步和第5步用了O（n）时间，第3步和第6步用了常数时间，第2步用了2T（n/2）时间。
若在每次执行第4步时进行排序，则在最坏情况下第4步要用O（nlogn）时间。
这不符合我们的要求。
因此，在这里我们要作一个技术上的处理。
我们采用设计算法时常用的预排序技术，即在使用分治法之前，预先将S中n个点依其y坐标值排好序，设排好序的点列为P*。
在执行分治法的第4步时，只要对P*作一次线性扫描，即可抽取出我们所需要的排好序的点列P1*和P2*。
然后，在第5步中再对P1*作一次线性扫描，即可求得δl。
因此，第4步和第5步的两遍扫描合在一起只要用O（n）时间。
这样一来，经过预排序处理后的算法CPAIR2所需的计算时间T（n）满足递归方程：
显而易见T（n）=O（nlogn），预排序所需的计算时间为O（n1ogn）。
因此，整个算法所需的计算时间为O（nlogn）。
在渐近的意义下，此算法已是最优的了。
二、核心代码：
1.生成随机数：
如图，使用C#代码，先生成坐标的随机数：
2.生成的随机数之后，将这些点以中位数分治：
Closetpair是递归函数。
3.求中位数的最进点对，将这些点对放到新的数组中：
4.将这些最近点对按y坐标排序：
由于C#库函数只能对数组排序，不得不将对象数组取出来，拍完序之后再放回去：
5.每个点与附近7个点进行比较：
三、结果与分析：
1.输出15，随机生成15个坐标对：
2.输入155，随机生成坐标对：
随机生成15万个：
分析：
如果在递归调用时，不对Y排序，非常卡，运行15万个坐标至少要运行5分钟。
。
所以，主函数要对X排序，递归时要对Y排序。
四、备注
总结：
本实验重点：
（1）主函数对X排序，递归时对Y排序。
（2）筛选的中位数附近的点，对每个点取六个比较即可。
（3）如图：
附录（源代码）
算法源代码（C/C++/JAVA描述）C#：
publicpartialclassForm1:
Form
{
publicForm1（）
InitializeComponent（）;
}
publicclassPoint
publicfloatx,y;
publicstaticfloatNo_distance=1000000;
publicstaticfloatAAA,BBB,CCC,DDD;
publicstaticvoidSetPoints（Point[]points,intlength）
Randomra=newRandom（）;
for（inti=0;
i<
length;
i++）
points[i]=newPoint（）;
points[i].x=（float）ra.NextDouble（）*200-100;
points[i].y=（float）ra.NextDouble（）*200-100;
publicstaticfloatDistance（Pointa,Pointb）
return（float）Math.Sqrt（（a.x-b.x）*（a.x-b.x）+（a.y-b.y）*（a.y-b.y））;
publicstaticfloatClosetspair（Point[]points,intlength,Pointa,Pointb）
floatdistance;
//记录集合中最近的两点
floatd1,d2;
//记录分割后两个子集中各自最小点对距离
inti=0,j=0,k=0;
//用于控制for循环的循环变量
Pointa1=newPoint（）;
Pointb1=newPoint（）;
Pointa2=newPoint（）;
Pointb2=newPoint（）;
//保存分割后两个子集中最小点对
if（length<
2）returnNo_distance;
//如果子集长度小于2，定义为最大距离，表示不可达
if（length==2）
distance=Distance（points[0],points[1]）;
else
Point[]pts1=newPoint[length];
//两个子集分别放入这两个
Point[]pts2=newPoint[length];
floatmid=points[（length-1）/2].x;
//排完序后的中间下标值，即中位数
for（i=0;
length/2;
pts1[i]=points[i];
for（j=0,i=length/2;
pts2[j++]=points[i];
d1=Closetspair（pts1,length/2,a1,b1）;
d2=Closetspair（pts2,length-length/2,a2,b2）;
if（d1<
d2）{distance=d1;
a=a1;
b=b1;
else{distance=d2;
a=a2;
b=b2;
//求解跨分割线，并在6*26区间内最近的点对
Point[]pts3=newPoint[length];
for（i=0,k=0;
if（Math.Abs（points[i].x-mid）<
=distance）pts3[k++]=points[i];
float[]array=newfloat[k];
for（intiii=0;
iii<
k;
iii++）
array[iii]=pts3[iii].x;
Array.Sort（array）;
for（intia=0;
ia<
ia++）
pts3[ia].x=array[ia];
for（j=i+1;
j<
=i+7&
&
j++）//只需与有序的领接的的7个点进行比较
if（Distance（pts3[i],pts3[j]）<
distance）
{//如果跨分割线的两点距离小于已知最小距离，则记录该距离
distance=Distance（pts3[i],pts3[j]）;
a=pts3[i];
b=pts3[j];
AAA=a.x;
BBB=a.y;
CCC=b.x;
DDD=b.y;
returndistance;
privatevoidbutton1_Click（objectsender,EventArgse）
intN;
//随机生成的点对个数。
Pointa=newPoint（）;
Pointb=newPoint（）;
floatdistence;
if（textBox2.Text=="
"
）
MessageBox.Show（"
请您先输入需要随机生成的多少对?
"
你好！
输入为空"
MessageBoxButtons.OKCancel）;
else{
N=Int32.Parse（textBox2.Text.Trim（））;
if（N<
2）
请输入大于等于2的点个数！
！
）;
Point[]points=newPoint[N];
SetPoints（points,N）;
N;
listBox1.Items.Add（"
（"
+points[i].x+"
+points[i].y+"
）"
float[]array=newfloat[N];
array[iii]=points[iii].x;
points[ia].x=array[ia];
listBox2.Items.Add（"
distence=Closetspair（points,N,a,b）;
textBox1.Text="
最近点对为：
+"
+AAA+"
+BBB+"
）和"
+CCC+"
+DDD+"
;
textBox3.Text="
最近点对距离为：
+distence;
}
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