中科大算法实验4求平面最近点对算法Word格式文档下载.docx

1、如果组成S的最接近点对的2个点都在S1中或都在S2中，则问题很容易解决。但是，如果这2个点分别在S1和S2中，则对于S1中任一点p，S2中最多只有n/2个点与它构成最接近点对的候选者，仍需做n2/4次计算和比较才能确定S的最接近点对。因此，依此思路，合并步骤耗时为O（n2）。整个算法所需计算时间T（n）应满足:T（n）=2T（n/2）+O（n2）在一维的情形，距分割点距离为的2个区间（m-,m（m,m+中最多各有S中一个点。因而这2点成为唯一的末检查过的最接近点对候选者。二维的情形则要复杂些，此时，P1中所有点与P2中所有点构成的点对均为最接近点对的候选者。在最坏情况下有n2/4对这样的候选者

2、。但是P1和P2中的点具有以下的稀疏性质，它使我们不必检查所有这n2/4对候选者。考虑P1中任意一点p,它若与P2中的点q构成最接近点对的候选者，则必有d（p,q）。满足这个条件的P2中的点有多少个呢？容易看出这样的点一定落在一个2的矩形R中.因此d（u,v）5/6 。这与的意义相矛盾。也就是说矩形R中最多只有6个S中的点。图4（b）是矩形R中含有S中的6个点的极端情形。由于这种稀疏性质，对于P1中任一点p，P2中最多只有6个点与它构成最接近点对的候选者。因此，在分治法的合并步骤中，我们最多只需要检查6n/2=3n对候选者，而不是n2/4对候选者。这是否就意味着我们可以在O（n）时间内完成分治

3、法的合并步骤呢？现在还不能作出这个结论，因为我们只知道对于P1中每个S1中的点p最多只需要检查P2中的6个点（确切的说，是矩形R中的6个S中的点），但是我们并不确切地知道要如何检查。为了解决这个问题，我们可以将p和P2中所有S2的点投影到垂直线l上。由于能与p点一起构成最接近点对候选者的S2中点一定在矩形R中，并且要满足d（p,q）m2. 1:=CPAIR2（S1）;2:=CPAIR2（S2）;3. m:=min（1,2）;4. 设P1是S1中距垂直分割线l的距离在m之内的所有点组成的集合， P2是S2中距分割线l的距离在m之内所有点组成的集合。将P1和P2中的点依其y坐标值从小到大排序，并设

4、P1*和P2*是相应的已排好序的点列;5. 通过扫描P1*以及对于P1*中每个点检查P2*中与其距离在m之内的所有点（最多6个）可以完成合并。当P1*中的扫描指针逐次向上移动 时，P2*中的扫描指针可在宽为2m的一个区间内移动。设l是按 这种扫描方式找到的点对间的最小距离;6. =min（m,l）;end;return（）;下面我们来分析一下算法CPAIR2的计算复杂性。设对于n个点的平面点集S，算法耗时T（n）。算法的第1步和第5步用了O（n）时间，第3步和第6步用了常数时间，第2步用了2T（n/2）时间。若在每次执行第4步时进行排序，则在最坏情况下第4步要用O（nlogn）时间。这不符合我

5、们的要求。因此，在这里我们要作一个技术上的处理。我们采用设计算法时常用的预排序技术，即在使用分治法之前，预先将S中n个点依其y坐标值排好序，设排好序的点列为P*。在执行分治法的第4步时，只要对P*作一次线性扫描，即可抽取出我们所需要的排好序的点列P1*和P2*。然后，在第5步中再对P1*作一次线性扫描，即可求得l。因此，第4步和第5步的两遍扫描合在一起只要用O（n）时间。这样一来，经过预排序处理后的算法CPAIR2所需的计算时间T（n）满足递归方程：显而易见T（n）=O（nlogn），预排序所需的计算时间为O（n1ogn）。因此，整个算法所需的计算时间为O（nlogn）。在渐近的意义下，此算法

6、已是最优的了。二、核心代码：1. 生成随机数： 如图，使用C#代码，先生成坐标的随机数：2. 生成的随机数之后，将这些点以中位数分治：Closetpair是递归函数。3. 求中位数的最进点对，将这些点对放到新的数组中：4. 将这些最近点对按y坐标排序：由于C#库函数只能对数组排序，不得不将对象数组取出来，拍完序之后再放回去：5.每个点与附近7个点进行比较：三、结果与分析：1.输出15，随机生成15个坐标对：2.输入155，随机生成坐标对：随机生成15万个：分析：如果在递归调用时，不对Y排序，非常卡，运行15万个坐标至少要运行5分钟。所以，主函数要对X排序，递归时要对Y排序。四、备注总结：本实验

7、重点：（1） 主函数对X排序，递归时对Y排序。（2） 筛选的中位数附近的点，对每个点取六个比较即可。（3） 如图：附录（源代码）算法源代码（C/C+/JAVA描述）C#： public partial class Form1 : Form public Form1（） InitializeComponent（）; public class Point public float x, y; public static float No_distance = 1000000; public static float AAA, BBB, CCC, DDD; public static void Se

8、tPoints（Point points, int length） Random ra = new Random（）; for （int i = 0; i length; i+） pointsi = new Point（）; pointsi.x = （float）ra.NextDouble（） * 200 - 100; pointsi.y = （float）ra.NextDouble（） * 200 - 100; public static float Distance（Point a, Point b） return （float）Math.Sqrt（a.x - b.x） * （a.x -

9、b.x） + （a.y - b.y） * （a.y - b.y）; public static float Closetspair（Point points, int length, Point a, Point b） float distance;/记录集合中最近的两点 float d1, d2;/记录分割后两个子集中各自最小点对距离 int i = 0, j = 0, k = 0;/用于控制for循环的循环变量 Point a1 = new Point（）; Point b1 = new Point（）; Point a2 = new Point（）; Point b2 = new Poi

10、nt（）; /保存分割后两个子集中最小点对 if （length 2） return No_distance;/如果子集长度小于2，定义为最大距离，表示不可达 if （length = 2） distance = Distance（points0, points1）; else Point pts1 = new Pointlength;/两个子集分别放入这两个 Point pts2 = new Pointlength; float mid = points（length - 1） / 2.x;/排完序后的中间下标值，即中位数 for （i = 0; length / 2; pts1i = po

11、intsi; for （j = 0, i = length / 2; pts2j+ = pointsi; d1 = Closetspair（pts1, length / 2, a1, b1）; d2 = Closetspair（pts2, length - length / 2, a2, b2）; if （d1 d2） distance = d1; a = a1; b = b1; else distance = d2; a = a2; b = b2; /求解跨分割线，并在6*26区间内最近的点对 Point pts3 = new Pointlength; for （i = 0, k = 0;

12、if （Math.Abs（pointsi.x - mid） = distance） pts3k+ = pointsi; float array = new floatk; for （int iii = 0; iii k; iii+） arrayiii = pts3iii.x; Array.Sort（array）; for （int ia = 0; ia ia+） pts3ia.x = arrayia; for （j = i + 1; j = i + 7 & j+） /只需与有序的领接的的7个点进行比较 if （Distance（pts3i, pts3j） distance） /如果跨分割线的两

13、点距离小于已知最小距离，则记录该距离 distance = Distance（pts3i, pts3j）; a = pts3i; b = pts3j; AAA = a.x; BBB = a.y; CCC = b.x; DDD = b.y; return distance; private void button1_Click（object sender, EventArgs e） int N;/随机生成的点对个数。 Point a = new Point（）; Point b = new Point（）; float distence; if （textBox2.Text = ） Messag

14、eBox.Show（请您先输入需要随机生成的多少对?,你好！输入为空,MessageBoxButtons.OKCancel）; else N = Int32.Parse（textBox2.Text.Trim（）; if （N 2）请输入大于等于2的点个数！）; Point points = new PointN; SetPoints（points, N）; N; listBox1.Items.Add（ + pointsi.x + + pointsi.y + ） float array = new floatN; arrayiii = pointsiii.x; pointsia.x = arrayia; listBox2.Items.Add（ distence = Closetspair（points, N, a, b）; textBox1.Text = 最近点对为： + + AAA + + BBB + ）和 + CCC + + DDD + ; textBox3.Text=最近点对距离为： + distence;