24知识讲解抛物线的方程与性质基础Word下载.docx
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设|KF|=p（p>
0），那么焦点
设点M（x,y）是抛物线上任意一点,
F的坐标为（卫,0），准线I的方程为x
2
点M到I的距离为
P
2.
d.由抛物线的定义，抛物线就是集合
P{M||MF|d}
P2|MF|{（X才）
d|x
{（X7）2y2|
将上式两边平方并化简,
y22px（p0）.①
方程①叫抛物线的标准方程,
它表示的抛物线的焦点在
x轴的正半轴上，坐标是
（卫,0）它的准线方程
曰P
是x—.
抛物线标准方程的四种形式:
根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式
0）。
2222
y2px,y2px,x2py,x2py（p
要点诠释:
1只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程;
2抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上,
且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛
物线x2
20y的一次项为20y，故其焦点在y轴上，且开口向负方向（向下）
系数为20，故其焦点坐标是（0,5）。
•般情况归纳:
方程
图象的开口方向
焦点
准线
y2kx
k0时开口向右
（k，0）
4
k
x—
k0时开口向左
x2ky
k0时开口向上
（0,-）
y7
k0时开口向下
4从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。
用待定系数法求抛物线的标准方程时，首
，然后求
先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型）一次项的系数，否则，应展开相应的讨论
⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数P,若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。
要点三、抛物线的简单几何性质:
抛物线标准方程寸2px（p0）的几何性质
范围：
｛XX0｝，｛yyR｝，
抛物线y2=2px（p>
0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x,y）的横坐
标满足不等式x>
0;
当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
抛物线是无界曲线。
对称性：
关于X轴对称
抛物线y2=2px（p>
0）关于X轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。
抛物线只有一条对称轴。
顶点：
坐标原点
0,0）。
0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。
抛物线的顶点坐标是（离心率：
e1.
0）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。
用
示，e=1。
抛物线的通径
通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。
因为通过抛物线y2=2px（p>
0）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为卫，P,
R,P，所以抛物线的通径长为2p。
这就是抛物线标准方程中2p的一种几何意义。
另一方面，由通径
【解析】设M（x，y）为抛物线上的任意一点,
两边平方，整理得y
【解析】
，延长PN交I于N,
解法二：
设P（X,y）,作I:
x3，过P作PNI于N
由抛物线定义可知,
P点轨迹是以0（0,0）为顶点，C（3,0）为焦点，I:
X3为准线的抛物线,
故y212x为所求.
【总结升华】求动点的轨迹方程时，可用定义法列等量关系，化简求解；
也可判断后，用类似于公式法的待定系数法求解，但要判断准确，注意挖掘题目中的隐含条件，防止重、漏解。
举一反三:
【变式1】平面上动点P到定点F（1，0）的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程。
故点P在以F为焦点，x=—1为准线的抛线物上，其轨迹方程为y2=4xO
故所求动点P的轨迹方程为y2=4x（x>
0）或y=1（X<
0）。
【变式2】若点P到定点F（4,0）的距离比它到直线x+5=0的距离小1,求点P的轨迹方程。
•••点M在抛物线上,
因此所求方程是x2
出焦参数P.
【变式】求过点（3,2）的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程:
224
•-P；
，二yTx,
33
当抛物线开口方向上时，
y1.
3
（3）由已知得P3，所以所求抛物线标准方程为y6x，焦点坐标为e,o），准线方程为
【答案】
故p=4,
•••抛物线的准线方程为x=—2.
故答案为：
x=—2
例5.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M（m，—3）到焦点的距离为5,求m的值、抛物线的方程和准线方程。
【解析】解法一：
因为顶点在原点，对称轴是y轴，点M（m，—3）位于第三或第四象限
故设抛物线方程为x2=—2py（p>
0）,则焦点F（0,-p）;
•••M（m,—3）在抛物线上且|MF|=5,
•••m2晶,
抛物线方程为x2=—8y,准线方程为y=2。
如图所示：
l:
yp，作MN丄I，垂足为N,
则|MN|=|MF|=5，而|MN|3号
•3夕5，-p=4,
由m2=—8（—3），得m2^6。
抛物线方程为x2=—8y,准线方程为y=2.
【总结升华】抛物线的定义与方程的形式是解决抛物线几何性质问题时必须要考虑的两个重要因素
举一反三：
【变式1】设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点（k,—2）与F点的距离为4,则k的值是（）
C.—2
【答案】B
B.4或—4
D.2或—2
【变式2】
（2014新课标I）已知抛物线C:
y2=8x的焦点为F，准线为I,P是I上一点，Q是直线PF与C
的一个交点，若FP=4FQ，则|QF|=（
A.7
【答案】B.
【解析】设Q到I的距离为d,则|QF|=d,
5
C.-
D.2
•/FP=4FQ,
•••IPQ|=3d,
•••直线PF的斜率为一2血,
•-F（2,0）,
•••直线PF的方程为y=—2^2（x—2），与
y2=8x联立可得X=1,
•-|QF|=d=1+2=3,故选：
B.
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