最新导数压轴题专项分析.docx

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最新导数压轴题专项分析

导数压轴题专项分析

内容提要

纵观历年高考真题，我们发现高考数学既注重考查中学数学基础知识的掌握程度，又体现选拔培养拔尖人才功能.因此高考数学压轴题，常以高等数学为背景命题，掌握罗比塔法则，确立分类讨论的标准，处理解答这类导数压轴题行之有效的方法.本文以2020届四川省成都二诊函数与导数压轴题为例，分析解剖，首先归纳同构思想，然后介绍洛必达法则实际应用，以供读者参考.

归纳类型

同构式与方程问题

同构式与不等式问题

同构式与反函数问题

洛必达法则与分类讨论问题

1.（2020届四川省成都二诊12题理）已知函数，若存在，使得成立，则的最大值为（）

A.B.C.D.

同构式与方程问题

【分析】，，观察共性，借助共性，构造函数，利用函数单调性解方程.

【解析】由，得，

在单调递增，单调递减，且满足.

则在单调递增，当时，.

，，，

，.

于单调递增，单调递减..故选C.

【评析】本题主要考查同构思想，通过恒等变形，构造函数，利用导数研究函数单调性解方程，注意左右代数结构一致，考查数形结合思想，考查的核心素养是逻辑推理，数学运算.

2.（2020届四川省成都二诊12题）已知函数，若存在，使得成立，则的最小值为（）

A.B.C.D.

【分析】，，观察共性，借助共性，构造函数，利用函数单调性解方程.

【解析】由，得，在单调递增，单调递减，

且满足.则在单调递增，当时，.

，，

设，（），则.

于单调递增，单调递减.

，故选D.

同构式与不等式问题

变式1：

1．（2019湖南长沙一中高三月考理数）若对任意，恒有，则实数的最小值为（）

A．B．C．D．

【分析】不等式两边同时乘以，等价变形为，利用，，将不等式变形为，构造函数，不等式变形为，利用导数判断函数在上单调递增，从而确定在恒成立，即在恒成立.构造新函数，利用导数求函数的最大值，确定的取值范围，即可.

【解析】由题意可知，不等式变形为.

设，则

.

当时，即在上单调递减.

当时，即在上单调递增.

则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最小值点.

所以，即在上单调递增.

若使得对任意，恒有成立.

则需对任意，恒有成立.

即对任意，恒有成立，则在恒成立.

设则.

当时，，函数在上单调递增

当时，，函数在上单调递减

则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最大值点.

所以，即，则实数的最小值为.故选：

D

【评析】本题主要考查同构思想，通过恒等变形，构造函数，利用导数研究函数单调性解不等式，注意左右代数结构一致，考查数形结合思想，考查的核心素养是逻辑推理，数学运算.

变式2．（2019浙江杭州第二中学高三月考）已知不等式对恒成立，则实数的最小值为（）

A．B．C．D．

【解析】不等式对恒成立，可变形为,

即对恒成立，设，则，

当时,,即在时单调递增

当时,,即在时单调递减

因而在上恒成立即可，当时,，

而当时（因四个选项都小于0,所以只需讨论的情况）

因为在时单调递减,若，只需

不等式两边同取自然底数的对数,可得，

当时,，化简不等式可得，只需

令,，则,令，解得

当时,,则在内单调递增，

当时,,则在内单调递减，

所以在处取得最大值,，故，

所以实数的最小值为，故选:

C.

【评析】本题考查了导数在研究函数单调性与最值中的综合应用,根据不等式恒成立问题求参数的取值,利用同构思想，构造函数法求最值,对函数式的变形尤为重要,考查数形结合思想，考查的核心素养是逻辑推理，数学运算.

同构式与反函数问题

例2．（2020全国高三月考）已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______.

【分析】先将不等式变形为，令，，由与互为反函数得只需要即可，即，然后用导数求出左边的最小值即可.

【解析】显然，由，得，

则令，，

因为与互为反函数，

所以只需要即可，即，

令，则，

所以可得在上单调递减，在上单调递增，

所以，即.

故答案为：

【评析】利用同构思想，观察互为反函数，根据互为反函数的两个函数的图象关于对称.

3．（2020届四川省成都二诊21题理）已知函数，其中m∈R．

（Ⅰ）当m>0时，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）设，若，在上恒成立，求实数m的最大值．

洛必达法则与分类讨论问题

【分析】分离参数，当时，出现“”型代数式，

，确定分类讨论的划分标准.

【评析】不等式恒成立问题中求参数范围的一般采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题，但是分离后函数结构过于复杂，建议使用罗比塔法则，探寻分类讨论边界，语言描述更为简练.

4.（2020届四川省成都二诊21题）已知函数，其中．

（Ⅰ）若，求函数的极值；

（Ⅱ）设．若在（1，+∞）上恒成立，求实数的取值范围．

【分析】分离参数，当时，出现“”型代数式，

，确定分类讨论的划分标准.

【解析】

【评析】不等式恒成立问题中求参数范围的一般采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题，但是分离后函数结构过于复杂，建议使用罗比塔法则，探寻分类讨论边界，语言描述更为简练.

变式：

（2020浙江杭州高级中学高三）已知.

（1）求的单调区间；

（2）当时，求证：

对于，恒成立；

（3）若存在，使得当时，恒有成立，试求的取值范围.

【分析】分离参数，当时，出现“”型代数式，

，确定分类讨论的划分标准.

【解析】

（1），

当时，.解得．当时，解得．

所以单调减区间为，单调增区间为．

（2）设，

当时，由题意，当时，恒成立．

，

∴当时，恒成立，单调递减．

又，∴当时，恒成立，即．

∴对于，恒成立．

（3）因为．

由

（2）知，当时，恒成立，

即对于，，不存在满足条件的；

当时，对于，，此时．

∴，即恒成立，不存在满足条件的；

当时，令，可知与符号相同，

当时，，，单调递减．

∴当时，，即恒成立．

综上，的取值范围为．

【评析】本题主要考查导数和单调区间，导数与不等式的证明，导数与恒成立问题的求解方法.不等式恒成立问题中求参数范围的一般采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题，但是分离后函数结构过于复杂，建议使用罗比塔法则，探寻分类讨论边界，语言描述更为简练.

往事如梦

1．（2019深圳中学5月高三适应性考试）设函数.

（1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值；

（2）讨论函数零点的个数；

（3）若对任意恒成立，求的取值范围.

2．（2020宁夏海原县第一中学高三上期期末考试）设函数.

（1）若，求的单调区间；

（2）若当时恒成立，求的取值范围．

3．（2019陕西西安远东一中高二期末考试）设函数.

（I）讨论函数的单调性；

（II）当时，，求实数的取值范围.

4．（2019湖南高三）已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．

5．（2020四川高三）已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．

6．（2020武邑宏达中学高二月考）已知函数．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）若对任意的，都有成立，求a的取值范围．

暮然回首

1．【解析】

（1）由题设，当时，，易得函数的定义域为

，当时，，此时在上单调递减；

当时，，此时在上单调递增；

当时，取得极小值，的极小值为2

（2）函数，

令，得，设，

，

当时，，此时在上单调递增；

当时，，此时在上单调递减；

所以是的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是的最大值点，

的最大值为，

又，结合y=的图像（如图），可知

①当时，函数无零点；

②当时，函数有且仅有一个零点；

③当时，函数有两个零点；

④时，函数有且只有一个零点；

综上所述，当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点.

（3）对任意恒成立，等价于恒成立

设，在上单调递减

在恒成立

恒成立

（对，仅在时成立），的取值范围是

【评析】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值.

2．【解析】

（1）a＝0时，f（x）＝ex－1－x，f′（x）＝ex－1.

当x∈（－∞，0）时，f′（x）<0；当x∈（0，＋∞）时，f′（x）>0.故f（x）在（－∞，0）单调减少，在（0，＋∞）单调增加

（2）f′（x）＝ex－1－2ax.由

（1）知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立．故f′（x）≥x－2ax＝（1－2a）x，从而当1－2a≥0，即a≤时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）＝0，于是当x≥0时，f（x）≥0.由ex>1＋x（x≠0）得e－x>1－x（x≠0），从而当a>时，f′（x）

综上可得a的取值范围为（－∞，]．

【评析】本题考查利用导数研究函数的性质，属中档题.

3．【解析】

（1）f’（x）=（1-2x-x2）ex

令f’（x）=0得x=-1-，x=-1+

当x∈（-∞，-1-）时，f’（x）<0；当x∈（-1-，-1+）时，f’（x）>0；当x∈（-1+，+∞）时，f’（x）<0

所以f（x）在（-∞，-1-），（-1+，+∞）单调递减，在（-1-，-1+）单调递增

（2）f（x）=（1+x）（1-x）ex

当a≥1时，设函数h（x）=（1-x）ex，h’（x）=-xex＜0（x＞0），因此h（x）在[0，+∞）单调递减，而h（0）=1，

故h（x）≤1，所以f（x）=（x+1）h（x）≤x+1≤ax+1

当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex-x-1，g’（x）=ex-1＞0（x＞0），所以g（x）在在[0，+∞）单调递增，而g（0）=0，故ex≥x+1

当0＜x＜1，，，取

则

当

综上，a的取值范围[1，+∞）

【评析】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

4．【解析】

（1）的定义域为，，

若，则恒成立，∴在上单调递增；

若，则由，

当时，；当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减．

综上可知：

若，在上单调递增；

若，在上单调递增，在上单调递减．

（2），令，，

，令，

①若，，在上单调递增，，

∴在上单调递增,，从而不符合题意．

②若，当，，∴在上单调递增，

从而，∴在上单调递增,，

从而不符合题意．

③若，在上恒成立，

∴在上单调递减，，

∴在上单调递减,，.

综上所述，a的取值范围是．

【评析】本题主要考查函数单调性的求法，满足条件的实数的取值范围的求法，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高，解题时应注意导数性质的合理利用．

5．【解析】的定义域为

当时，，故函数在单调递增；

当时，时，，当时，，故函数在单调递增，在单调递增；

令，则，

对任意等价于，，

当时，，则存在，使使，，在上是减函数，

时，，与条件不符，当时，由，可知，故，

，在上是增函数，时，，即；

综上，实数的取值范围为．

【评析】本题考查含参数函数的单调性及不等式恒成立问题转化为函数问题.导数法研究函数在内单调性的步骤:

（1）求；

（2）确定在内的符号；（3）作出结论：

时为增函数；时为减函数．研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．

不等式恒成立问题的求解方法：

（1）已知不等式（为实参数