八年级数学上等腰三角形的性质和判定培优辅导讲义拔尖训练题含试题解析Word文档格式.docx

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若不成立，说明理由；

（3）如图3，已知∠AOC＝∠BOC＝∠BAC＝60°

，求证：

①△ABC是等边三角形；

②OC＝OA+OB．

7．如图，△ABC中，∠C＝60°

，以AB为边作等边△ABD，过D作DE⊥CB延长线于E，若BE＝2，BC＝10，则AC＝　　．

8．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上．

（1）如图，若∠BAO＝60°

，∠BCO＝40°

，BD、CE是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长　　．

（2）如图，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接QD并延长，交y轴于点P，当点C运动到什么位置时，满足PD

DC？

请求出点C的坐标；

（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．

9．五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河．如图，l1∥l2表示小河甲，l3∥l4表示小河乙，A为校本部大门，B为分校大门．为方便人员来往，要在两条小河上各建一条桥，桥面垂直于河岸．

图中的尺寸是：

甲河宽8米，乙河宽10米，A到甲河垂直距离40米，B到乙河垂直距离20米，两河距离100米，A、B两点水平距离（与小河平行方向）120米．为使A、B两点间来往路程最短，两条桥都按这个目标而建，那么，此时A、B两点间来往的路程是　　米．

10．

（1）问题背景：

如图1，点A，B在直线l同侧，在直线上找一点P，使AP+BP的值最小．

作法如下：

作点B关于直线L的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．

（2）实践应用：

如图2，等边三角形中，E是AB的中点，P为高AD上一点，AD＝3，求BP+PE的最小值．

（3）拓展延伸：

如图3，∠AOB＝30°

，P是四边形OACB内一定点，Q、R分别是OA、OB上的动点，当△PQR周长的最小值为5时，求OP的长．

2021年09等腰三角形的性质和判定

参考答案与试题解析

一．试题（共10小题）

【解答】解：

设∠A＝x，

∵AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，

∴∠A＝∠AP2P1＝∠AP13P14＝x，

∴∠P2P1P3＝∠P13P14P12＝2x，

∴∠P3P2P4＝∠P12P13P11＝3x，

…，

∠P7P6P8＝∠P8P9P7＝7x，

∴∠AP7P8＝7x，∠AP8P7＝7x，

在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7＝180°

，

即x+7x+7x＝180°

解得x＝12°

即∠A＝12°

，则原三角形最大内角的所有可能值为　72°

或90°

或108°

或126°

或132°

　．

①原三角形是锐角三角形，最大角是72°

的情况：

如图∠ABC＝∠ACB＝72°

，∠A＝36°

，AD＝BD＝BC，则最大角是72°

；

②原三角形是直角三角形，最大角是90°

如图∠ABC＝90°

，AD＝CD＝BD，；

③原三角形是钝角三角形，最大角是108°

如图∠BAC＝108°

，∠B＝36°

，BD＝AB，AD＝DC，

④原三角形是钝角三角形，最大角是126°

如图∠ABC＝126°

，∠C＝36°

，AD＝BD＝BC，

⑤原三角形是钝角三角形，最大角是132°

如图∠C＝132°

，∠ABC＝36°

，AD＝BD，CD＝CB，

故答案为：

72°

延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．

∵AD⊥BH，

∴∠ADB＝∠ADH＝90°

∴∠ABD+∠BAD＝90°

，∠H+∠HAD＝90°

∵∠BAD＝∠HAD，

∴∠ABD＝∠H，

∴AB＝AH，∵AD⊥BH，

∴BD＝DH，

∵DC＝CA，

∴∠CDA＝∠CAD，

∵∠CAD+∠H＝90°

，∠CDA+∠CDH＝90°

∴∠CDH＝∠H，

∴CD＝CH＝AC，

∵AE＝EC，

∴S△ABE

S△ABH，S△CDH

S△ABH，

∵S△OBD﹣S△AOE＝S△ADB﹣S△ABE＝S△ADH﹣S△CDH＝S△ACD，

∵AC＝CD＝3，

∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为

3×

3

故选：

C．

（1）∠DAC的度数不会改变；

∵EA＝EC，

∴∠EAC＝∠C，①，

∵BA＝BD，

∴∠BAD＝∠BDA，

∵∠BAE＝90°

∴∠B＝90°

﹣∠AED＝90°

﹣2∠C，

∴∠BAD

（180°

﹣∠B）

[180°

﹣（90°

﹣2∠C）]＝45°

+∠C，

∴∠DAE＝90°

﹣∠BAD＝90°

﹣（45°

+∠C）＝45°

﹣∠C，②

由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°

﹣∠C+∠C＝45°

（2）设∠ABC＝m°

则∠BAD

﹣m°

）＝90°

m°

，∠AEB＝180°

﹣n°

∴∠DAE＝n°

﹣∠BAD＝n°

﹣90°

∴∠CAE

AEB＝90°

n°

∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°

+90°

【解答】证明：

∵△ABC、△CDE都是正三角形，

∴将△CAD绕C点逆时针旋转60°

，得到△CBE，

∴AD＝BE，且AD、BE夹角为60°

∵AD＝DK，

∴DK＝AD＝BE，且DK、BE的夹角是60°

又∵△EHK是正三角形，

∴将△HBE绕H顺时针旋转60°

，点E转到K，线段EB与KD重合，即B转到D，

∴HB＝HD，∠BHD＝60°

∴△BHD是正三角形．

【解答】

（1）证明：

过A作AG⊥OF于G，AH⊥OE于H，

则∠AHO＝∠AGO＝90°

∵∠EOF＝120°

∴∠HAG＝60°

＝∠BAC，

∴∠HAG﹣∠BAH＝∠BAC﹣∠BAH，

∴∠BAG＝∠CAH，

∵OM平分∠EOF，AG⊥OF，AH⊥OE，

∴AG＝AH，

在△BAG和△CAH中，

∵

∴△BAG≌△CAH（ASA），

∴AB＝AC；

（2）结论还成立，

证明：

与

（1）证法类似根据ASA证△BAG≌△CAH（ASA），

则AB＝AC；

（3）证明：

①如图，∠FOA＝180°

﹣120°

＝60°

∠FOC＝60°

+60°

＝120°

即OM平分∠COF，

由

（2）知：

AC＝AB，

∵∠CAB＝60°

∴△ABC是等边三角形；

②在OC上截取BO＝ON，连接BN，

∵∠COB＝60°

∴△BON是等边三角形，

∴ON＝OB，∠OBN＝60°

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝60°

＝∠NBO，

∴都减去∠ABN得：

∠ABO＝∠CBN，

在△AOB和△CNB中

∴△AOB≌△CNB（SAS），

∴NC＝OA，

∴OC＝ON+CN＝OB+OA，

即OC＝OA+OB．

，以AB为边作等边△ABD，过D作DE⊥CB延长线于E，若BE＝2，BC＝10，则AC＝　7　．

延长CB到H使得BH＝AC，连接HD交CA的延长线于G．

∵△ABD是等边三角形，

∴AB＝BD，∠ABD＝∠C＝60°

∵∠ABH＝∠C+∠CAB＝∠ABD+∠DBH，

∴∠CAB＝∠DBH，

在△CAB和△HBD中，

∴△CAB≌△HBD，

∴∠C＝∠H＝60°

，BC＝DH，

∵DE⊥BH，

∴∠DEH＝90°

，∠EDH＝30°

∴EH

DH＝5，

∴BH＝BE+EH＝2+5＝7，

∴AC＝7．

故答案为7．

，BD、CE是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长　6　．

（1）作∠DCH＝10°

，CH交BD的延长线于H，

∵∠BAO＝60°

∴∠ABO＝30°

∴AB＝2OA＝6，

∴∠ABC＝180°

﹣60°

﹣40°

＝80°

∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠ABD＝∠CBD＝40°

∴∠CBD＝∠DCB，∠OBD＝40°

﹣30°

＝10°

∴DB＝DC，

在△OBD和△HCD中，

∴△OBD≌△HCD（ASA），

∴OB＝HC，

在△AOB和△FHC中，

∴△AOB≌△FHC（ASA），

∴CF＝AB＝6，

6；

（2）∵△ABD和△BCQ是等边三角形，

∴∠ABD＝∠CBQ＝60°

∴∠ABC＝∠DBQ，

在△CBA和△QBD中，

∴△CBA≌△QBD（SAS），

∴∠BDQ＝∠BAC＝60°

∴∠PDO＝60°

∴PD＝2DO＝6，

∵PD

DC，

∴DC＝9，即OC＝OD+CD＝12，

∴点C的坐标为（12，0）；

（3）如图3，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F．

由

（2）得，△AEP≌△ADB，

∴∠AEP＝∠ADB＝120°

∴∠OEF＝60°

∴OF＝OA＝3，

∴点P在直线EF上运动，

当OP⊥EF时，OP最小，

∴OP

OF

则OP的最小值为

甲河宽8米，乙河宽10米，A到甲河垂直距离40米，B到乙河垂直距离20米，两河距离100米，A、B两点水平距离（与小河平行方向）120米．为使A、B两点间来往路程最短，两条桥都按这个目标而建，那么，此时A、B两点间来往的路程是　218　米．

作AA′⊥河岸，BB′⊥河岸，方向是对着小河，使AA′＝小河甲宽度．BB′＝小河乙宽度，连接A′B′，过点D作DC⊥l1，过点E作EF⊥l4，垂足分别为C、F，连接AC，BF，

∵AA′⊥l1，DC⊥l1，AA′＝CD，

∴四边形AA′DC是平行四边形，

∴AC+CD＝AA′+A′D．

同理可得，BF+EF＝BB′+B′E，

∵甲河宽8米，乙河宽10米，

∴最短路径为：

AC+CD+DE+EF+BF＝AA′+A′B′+BB′＝8+A′B′+10，

∵A′B′

200（米），

∴A、B两点间来往的路程＝200+8+10＝218（米）．

218．

（1）如图1，因为两点之间线段最短，所以线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．

（2）如图2，∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，

∴B、C关于AD对称，∠ABC＝60°

∴PB＝PC，

∴EC就是BP+PE的最小值，

∵等边三角形中，E是AB的中点，

∴CE⊥AB，

∴CE＝AD＝3，

∴BP+PE的最小值为3；

（3）分别作点P关于OA、OB的对称点E、D，连接ED，分别交OA、OB于点Q、R，连接OE、OD．

∵点P关于OA的对称点为E，关于OB的对称点为D，

∴PQ＝EQ，OP＝OE，∠COA＝∠POA；

∵点P关于OB的对称点为D，

∴PR＝DR，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，

∴OC＝OD＝OP，∠EOD＝∠EOA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°

∴△EOD是等边三角形，

∴ED＝OE＝OD．

∴OP＝ED，

∵△PQR周长的最小值＝PQ+QR+PR＝EQ+QR+RD＝ED，

∴OP＝△PQR周长的最小值＝5．