《平行线的有关证明》单元测试 解析版Word格式文档下载.docx
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④线段PC的长是点P到直线l的距离,其中,正确的是( )
A.②③B.①②③C.③④D.①②③④
【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短”;
“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离”进行判断,即可解答.
①线段AP是点A到直线PC的距离,错误;
②线段BP的长是点P到直线l的距离,正确;
③PA,PB,PC三条线段中,PB最短,正确;
④线段PC的长是点P到直线l的距离,错误,
A.
【点睛】此题主要考查了垂线的两条性质:
①从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.②从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短.
4.(4分)(2019春•淮北期末)如图,直线AB,CD,MN两两相交.则图中同旁内角的组数有( )
A.8组B.6组C.4组D.2组
【分析】截线AB、CD与被截线MN所截,可以得到两对同旁内角,同理AB、MN被CD所截,CD、MN被AB所截,又可以分别得到两对.
根据同旁内角的定义,直线AB、CD被直线MN所截可以得到两对同旁内角,
同理:
直线AB、MN被直线CD所截,可以得到两对,
直线CD、MN被直线AB所截,可以得到两对.
因此共6对同旁内角.
B.
【点睛】本题考查同旁内角的定义,同旁内角就是在截线的同一侧,在两条被截线的内部的两个角,是需要熟记的内容.
5.(4分)(2019春•孝义市期末)如图,在一张半透明的纸上画一条直线l,在直线l外任取一点A、折出过点A且与直线l垂直的直线.这样的直线只能折出一条,理由是( )
A.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短
B.两点之间线段最短
C.在平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】在平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,根据垂线的性质可得答案.
这样的直线只能折出一条,理由是:
在平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,
【点睛】本题考查了垂线,利用了垂线的性质:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
6.(4分)(2019春•肥城市期末)如图,下列条件:
①∠1=∠2;
②∠4=∠5;
③∠1=∠3;
④∠6=∠1+∠2,其中能判断直线l1∥l2的有( )
A.5个B.4个C.3个D.2个
【分析】根据平行线的判定定理,对各小题进行逐一判断即可.
①∵∠1=∠2不能得到l1∥l2,故本条件不合题意;
②∵∠4=∠5,∴l1∥l2,故本条件符合题意;
③∵∠1=∠3,∴l1∥l2,故本条件符合题意;
④∵∠6=∠2+∠3=∠1+∠2,∴∠1=∠3,∴l1∥l2,故本条件符合题意.
【点睛】本题考查的是平行线的判定,熟记平行线的判定定理是解答此题的关键.
7.(4分)(2018秋•汾阳市期末)如图,直线AB∥CD,直线EF分别与直线AB,CD相交于点O与点G,OP平分∠EOB,若∠EOP=65°
,则∠DGF的度数为( )
A.50°
B.60°
C.65°
D.75°
【分析】依据OP平分∠EOB,即可得到∠BOG=2∠EOP=2×
65°
=130°
,再根据平行线的性质,即可得出∠DGF+∠BOE=180°
,进而得到∠DGF=180°
﹣130°
=50°
.
∵OP平分∠EOB,
∴∠BOG=2∠EOP=2×
,
又∵AB∥CD,
∴∠DGF+∠BOE=180°
∴∠DGF=180°
【点睛】本题主要考查了平行线的性质,解题时注意:
两直线平行,同旁内角互补.
8.(4分)(2019春•相城区期末)如图,∠ABC=∠ACB,AD、BD、CD分别平分∠EAC、∠ABC和∠ACF.以下结论:
①AD∥BC;
②∠ACB=2∠ADB;
③∠BDC=∠BAC;
④∠ADC=90°
﹣∠ABD.其中正确的结论是( )
A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④
【分析】根据平行线的判定和性质,角平分线的定义一一判断即可.
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB,
∵∠ABC=∠ACB,∠EAD=∠DAC,
∴∠EAD=∠ABC,
∴AD∥BC,故①正确,
∴∠ADB=∠DBC,
∵∠ABD=∠DBC,
∴∠ACB=∠ABC=2∠DBC=2∠ADB,故②正确,
∵∠ADC=180°
﹣(∠DAC+∠DCA)
=180°
﹣
(∠EAC+∠FCA)
(∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC)
=90°
ABC
﹣∠ABD,故④正确,
无法判定③正确,
D.
【点睛】本题考查平行线的判定和性质,角平分线的定义等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
10.(4分)(2019春•嘉兴期中)如图,已知DC∥FP,∠1=∠2,∠FED=32°
,∠AGF=76°
,FH平分∠EFG,则∠PFH的度数是( )
A.54°
B.44°
C.32°
D.22°
【分析】由DC∥FP知∠3=∠2=∠1,可得DC∥AB,利用平行线的判定得到AB∥PF∥CD,根据平行线的性质得到∠AGF=∠GFP,∠DEF=∠EFP,然后利用已知条件即可求出∠PFH的度数.
∵DC∥FP,
∴∠3=∠2,
又∵∠1=∠2,
∴∠3=∠1,
∴DC∥AB;
∵DC∥FP,DC∥AB,∠FED=32°
∴∠EFP=∠FED=32°
,AB∥FP,
又∵∠AGF=76°
∴∠GFP=∠AGF=76°
∴∠GFE=∠GFP+∠EFP=76°
+32°
=108°
又∵FH平分∠GFE,
∴∠GFH=
∠GFE=54°
∴∠PFH=∠GFP﹣∠GFH=76°
﹣54°
=22°
【点睛】此题主要考查了平行线的性质与判定,首先利用同位角相等两直线平行证明直线平行,然后利用平行线的性质得到角的关系解决问题.
二.填空题(共6小题,满分24分,每小题4分)
11.(4分)(2019春•包河区期末)如图,已知,AB、CD、EF相交于O点,∠1=35°
,∠2=35°
,则∠3的度数是 110°
.
【分析】依据AB、CD、EF相交于O点,∠1=35°
,即可得到∠BOC=180°
﹣∠1﹣∠2=110°
,再根据对顶角相等,即可得出∠3=∠BOC=110°
∵AB、CD、EF相交于O点,∠1=35°
∴∠BOC=180°
又∵∠3与∠BOC是对顶角,
∴∠3=∠BOC=110°
故答案为:
110°
【点睛】本题考查了对顶角相等的性质,平角的定义,准确识图是解题的关键.
12.(4分)(2019春•上杭县期末)已知直线AB,CB,l在同一平面内,若AB⊥l,垂足为B,CB⊥l,垂足也为B,则符合题意的图形可以是如图中的图 乙 (填甲或乙),你选择的依据是 在平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (写出你学过的一条公理)
【分析】根据题意画出图形即可.
根据题意可得图形
,依据是在平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
乙;
在平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
【点睛】此题主要考查了垂线,关键是掌握垂线的定义:
当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.
13.(4分)(2019春•闵行区校级期末)如图,与∠1构成内错角的角是 ∠DEF或∠DEC .
【分析】根据内错角的定义即可判断,注意有两解.
∠1与∠DEF可以看成直线AB与直线EF被直线DE所截的内错角,
∠1与∠DEC可以看成直线AB与直线AC被直线DE所截的内错角,
故答案为∠DEF或∠DEC.
【点睛】本题看成内错角、同位角、同旁内角等知识,解题的关键是理解内错角的定义,属于基础题.
14.(3分)(2018秋•襄汾县期末)如图,直线a∥b,直角角板的直角顶点C在直线b上,若∠1=32°
,则∠2= 58°
【分析】由平行线a∥b,其性质得∠1=∠3,∠2=∠4,再由平角的定义得3+∠ABC+∠4=180°
,直角,角的和差和等量代换求得∠2=58°
如图所示:
∵a∥b,
∴∠1=∠3,∠2=∠4,
又∵∠1=32°
∴∠3=32°
又∵∠3+∠ABC+∠4=180°
∠ABC=90°
∴∠3+∠4=90°
∴∠4=58°
∴∠2=58°
故答案为58°
【点睛】本题综合考查了平行线的性质,平角的定义,角的和差和等量代换等知识,重点掌握平行线的判定.
15.(4分)(2019春•张店区期末)如图,点E是AD延长线上一点,∠B=30°
,∠C=120°
.如果添加一个条件,使BC∥AD,则可添加的条件为 ∠1=30°
或∠2=120°
.(只填一个即可)
【分析】根据平行线的判定即可解决问题.
可以添加:
∠1=30°
或∠C=120°
即可.
理由:
∵∠1=30°
,∠B=30°
∴∠B=∠1,
∴BC∥AE.
∵∠C=∠2=120°
【点睛】本题考查平行线的判定,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
16.(3分)(2019春•锦江区期末)如图,m∥n,A,B为直线m,n上的两点,且AB⊥BC,∠BAC=28°
,则∠1与∠2的度数之和为 62°
【分析】如图,作CE∥直线m,首先证明∠1+∠2=∠ACB,求出∠ACB即可
如图,作CE∥直线m,
∵m∥n,
∴CE∥n,
∴∠1=∠ACE,∠2=∠ECB,
∴∠ACB=∠1+∠2,
∵AB⊥BC,
∴∠ABC=90°
∵∠BAC=28°
∴∠ACB=62°
∴∠1+∠2=62°
故答案为62°
【点睛】本题考查平行线的性质,垂线的性质,三角形内角和定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
三.解答题(共6小题,满分52分)
17.(8分)(2018秋•潜江期末)如图,直线AB和CD相交于点O,∠COE与∠AOC互为余角,∠AOF:
∠FOD=2:
3,∠AOC=30°
,求∠COE,∠AOF的度数.
【分析】首先根据∠AOF:
3,设∠AOF=2x°
,∠FOD=3x°
,根据平角的定义列方程可得x的值,从而得∠AOF的度数,根据∠COE与∠AOC互为余角进而得出∠COE的度数.
设∠AOF=2x°
∵∠AOC=30°
∴2x+3x+30=180,
x=30°
∴∠AOF=60°
∵∠COE与∠AOC互为余角,
∴∠COE+∠AOC=90°
∴∠COE=60°
【点睛】此题主要考查了平角的定义,余角的定义及角的和与差,关键是正确理清图中角之间的和差关系.
18.(8分)(2015秋•北仑区期末)如图,平原上有A,B,C,D四个村庄,为解决当地缺水问题,政府准备投资修建一个蓄水池.
(1)不考虑其他因素,请你画图确定蓄水池H点的位置,使它到四个村庄距离之和最小;
(2)计划把河水引入蓄水池H中,怎样开渠最短并说明根据.
【分析】
(1)由两点之间线段最短可知,连接AD、BC交于H,则H为蓄水池位置;
(2)根据垂线段最短可知,要做一个垂直EF的线段.
(1)∵两点之间线段最短,
∴连接AD,BC交于H,则H为蓄水池位置,它到四个村庄距离之和最小.
(2)过H作HG⊥EF,垂足为G.
“过直线外一点与直线上各点的连线中,垂线段最短”是把河水引入蓄水池H中开渠最短的根据.
【点睛】本题考查了线段和垂线的性质在实际生活中的运用.
19.(8分)(2019春•市北区期末)已知:
如图,AB∥CD,∠B=∠D.点EF分别在AB、CD上.连接AC,分别交DE、BF于G、H.
求证:
∠1+∠2=180°
证明:
∵AB∥CD,
∴∠B= ∠BFC . 两直线平行,内错角相等
又∵∠B=∠D,
∴ ∠D = ∠DFC .(等量代换)
∴ DE ∥ BF . 同位角相等,两直线平行
∴∠l+∠2=180°
. 两直线平行,同旁内角互补
【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论.
【答案】证明:
∴∠B=∠BFC.(两直线平行,内错角相等)
∴∠D=∠DFC.(等量代换)
∴ED∥BF.(同位角相等,两直线平行)
.(两直线平行,同旁内角互补).
∠BFC,∠BFC,两直线平行,内错角相等,∠D,ED,BF,同位角相等,两直线平行,两直线平行,同旁内角互补
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质,熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题的关键.
20.(8分)(2019春•滦州市期末)已知:
如图,直线AB,CD与直线EF分别相交于点M和N,MP平分∠AMF,若NQ平分∠END,若∠AME=∠DNF,请对MP∥NQ说明理由.
【分析】由等角的补角相等易证AB∥CD,则有∠AMN=∠DNM,进而由角平分线得出∠PMN=∠QNM,由内错角相等两直线平行即可得出结论.
∵∠AME=∠DNF,∠AME+∠AMN=∠DNF+∠DNM=180°
∴∠AMN=∠DNM,
又∵
∴∠PMN=∠QNM,
∴MP∥NQ.
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质,先根据题意得出AB∥CD是解答此题的关键.
21.(10分)(2019春•韶关期末)如图,∠AGF=∠ABC,∠1+∠2=180°
(1)试判断BF与DE的位置关系,并说明理由;
(2)若BF⊥AC,∠2=150°
,求∠AFG的度数.
(1)由于∠AGF=∠ABC,可判断GF∥BC,则∠1=∠3,由∠1+∠2=180°
得出∠3+∠2=180°
判断出BF∥DE;
(2)由BF∥DE,BF⊥AC得到DE⊥AC,由∠2=150°
得出∠1=30°
,得出∠AFG的度数
(1)BF∥DE,理由如下:
∵∠AGF=∠ABC,
∴GF∥BC,
∴∠1=∠3,
∵∠1+∠2=180°
∴∠3+∠2=180°
∴BF∥DE;
(2)∵BF∥DE,BF⊥AC,
∴DE⊥AC,
,∠2=150°
∴∠1=30°
∴∠AFG=90°
﹣30°
=60°
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质:
内错角相等,两直线平行;
两直线平行,同位角相等,同旁内角互补.
22.(10分)(2019春•安庆期末)小明同学在完成第10章的学习后,遇到了一些问题,请你帮助他.
(1)图1中,当AB∥CD,试说明∠AEC=∠BAE+∠DCE.
(2)图2中,若∠AEC=∠BAE+∠DCE,则AB∥CD吗?
请说明理由.
(3)图3中,AB∥CD,若∠BAE=x°
,∠AEF=y°
,∠EFD=z°
,∠FDC=m°
,则m= x+z﹣y .(直接写出结果,用含x,y,z的式子表示)
(1)过E作EM∥AB,求出AB∥CD∥EM,根据平行线的性质得出∠BAE=∠AEM,∠DCE=∠CEM,即可得出答案;
(2)过E作EM∥AB,根据EM∥AB得出∠BAE=∠AEM,求出∠DCE=∠CEM,根据平行线的判定得出EM∥CD即可;
(3)过E作EM∥AB,过F作FN∥AB,求出AB∥CD∥EM∥FN,根据平行线的性质得出∠BAE=∠AEM,∠FEM=∠EFN,∠DFN=∠CDF,求出∠BAE+∠EFD=∠AEF+∠CDF,代入即可得出答案.
(1)
过E作EM∥AB,
∴AB∥CD∥EM,
∴∠BAE=∠AEM,∠DCE=∠CEM,
∴∠AEC=∠AEM+∠CEM=∠BAE+∠DCE;
(2)
∵EM∥AB,
∴∠BAE=∠AEM,
∵∠AEC=∠BAE+∠DCE,
∴∠DCE=∠CEM,
∴EM∥CD,
∵AB∥EM,
∴AB∥CD;
(3)
过E作EM∥AB,过F作FN∥AB,
∴AB∥CD∥EM∥FN,
∴∠BAE=∠AEM,∠FEM=∠EFN,∠DFN=∠CDF,
∴∠BAE+∠EFN+∠DFN=∠AEM+∠FEM+∠CDF,
∴∠BAE+∠EFD=∠AEF+∠CDF,
∵∠BAE=x°
∴x+z=y+m,
∴m=x+z﹣y,
x+z﹣y.
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定,能灵活运用定理进行推理是解此题的关键.