北京市大兴区学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案Word下载.docx
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}C．{a|1＜a＜6}D．{a|a＞6}
10．当x1≠x2时，有f（
）
，则称函数f（x）是“严格下凸函数”，下列函数是严格下凸函数的是（）
A．y=xB．y=|x|C．y=x2D．y=log2x
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．函数
的定义域__________．
12．
，若f（x）=10，则x=__________．
13．A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|x＞a}，A⊆B，则a取值范围是__________．
14．若函数f（x）=（a﹣2）x2+（a﹣1）x+3是偶函数，则f（x）的增区间是__________．
15．求满足
＞4﹣2x的x的取值集合是__________．
16．奇函数f（x）满足：
①f（x）在（0，+∞）内单调递增；
②f
（1）=0，则不等式x•f（x）＜0的解集为__________．
三、解答题（本题共4小题，每小题9分，共36分）
17．设A={x|x2+ax+12=0}，B={x|x2+3x+2b=0}，A∩B={2}．
（1）求实数a、b的值及集合A、B；
（2）设全集U=A∪B，求（∁UA）∪（∁UB）．
18．已知函数f（x）=lg（3+x）+lg（3﹣x）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性．
19．当x∈时，求函数f（x）=x2+（2﹣6a）x+3a2的最小值．
20．设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）的值；
（2）求证f（x）为奇函数；
（3）若函数f（x）是R上的增函数，已知f
（1）=1，且f（2a）＞f（a﹣1）+2，求a的取值范围．
北京市大兴区2018-2019学年高一上学期期中考试
数学试题参考答案
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】集合．
【分析】根据题意和补集、交集的运算分别求出∁UM、（∁UM）∩N．
【解答】解：
因为全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={1，3，5，7}，所以∁UM={2，4，6，8}，又N={2，5，8}，则（∁UM）∩N={2，8}，
故选：
C．
【点评】本题考查了交、补、并集的混合运算，属于基础题．
【分析】由全集R及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．
∵全集U=R，A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，
∴∁UB={x|x≤1}，
则A∩∁UB={x|0＜x≤1}，
B．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
【考点】对数函数的定义域．
【专题】计算题．
【分析】根据对数的真数大于0建立不等式，解之可得其定义域．
要使函数f（x）=ln（x﹣1）有意义，必有x﹣1＞0，即x＞1．
故函数f（x）=ln（x﹣1）的定义域为{x|x＞1}
故选A．
【点评】本题主要考查对数函数的定义域的求法，解题时注意负数和0没有对数，属于基础题．
【考点】函数奇偶性的判断；
函数单调性的判断与证明．
【分析】利用f（﹣x）=﹣x3=﹣f（x）可判断函数f（x）的奇偶性，再利用导数值的符号与原函数单调性的关系可判断函数f（x）的单调性，两者结合即可判断选项．
函数f（x）=x3的定义域为R，关于原点对称，
又∵f（﹣x）=﹣x3=﹣f（x），
∴函数f（x）=x3为奇函数，
∵f′（x）=3x2≥0，故函数f（x）=x3在（﹣∞，+∞）上单调递增．
【点评】本题考查函数奇偶性的判断、函数单调性的判断与证明，着重考查导数工具的应用，属于基础题．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】根据f（x）=ax3+bx﹣4，可得f（x）+f（﹣x）=﹣8，从而根据f
（2）=6，可求f（﹣2）的值．
∵f（x）=ax3+bx﹣4
∴f（x）+f（﹣x）=ax3+bx﹣4+a（﹣x）3+b×
（﹣x）﹣4=﹣8
∴f（x）+f（﹣x）=﹣8
∵f
（2）=6
∴f（﹣2）=﹣14
【点评】本题以函数为载体，考查函数的奇偶性，解题的关键是判断f（x）+f（﹣x）=﹣8，以此题解题方法解答此类题，比构造一个奇函数简捷，此法可以推广．
【考点】函数的值．
【专题】计算题；
函数的性质及应用．
【分析】由题意，代入分段函数求函数的值．
f（﹣10）=f（﹣10+3）=f（﹣7）=f（﹣7+3）
=f（﹣4）=f（﹣4+3）=f（﹣1）=f（﹣1+3）=f
（2）
=log22=1．
故选D．
【点评】本题考查了分段函数的应用，属于基础题．
【考点】函数的图象．
【专题】作图题．
【分析】由容器的形状可知：
注入水的高度随着时间的增长越来越高，但增长的速度越来越慢，即图象开始陡峭，后来趋于平缓，考查选项可得答案．
由容器的形状可知：
注入水的高度随着时间的增长越来越高，
但增长的速度越来越慢，
即图象开始陡峭，后来趋于平缓，
综合考查几个选项可知只有B符合，
故选B
【点评】本题考查函数的图象，注意理解图象的变化趋势是解决问题的关键，属基础题
【考点】二次函数的性质．
【分析】先用配方法将二次函数变形，求出其对称轴，再由“在（﹣∞，4]上是减函数”，知对称轴必须在区间的右侧，求解即可得到结果．
∵f（x）=x2+2（a﹣1）x+2=（x+a﹣1）2+2﹣（a﹣1）2
其对称轴为：
x=1﹣a
∵函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数
∴1﹣a≥4
∴a≤﹣3
故选A
【点评】本题主要考查二次函数的单调性，解题时要先明确二次函数的对称轴和开口方向，这是研究二次函数单调性和最值的关键．
【考点】函数单调性的性质．
综合题．
【分析】根据题意当x≥1时，f（x）=logax在
∴当x＜1时，f（x）=（6﹣a）x﹣4a＜0，
∴f
（1）=（6﹣a）•1﹣4a≤0，即5a≥6，a≥
④
由③④可得
≤a＜6．
【点评】本题考查函数单调性的性质，难点在于对“f（x）=
是（﹣∞，+∞）上的增函数”的分段讨论与整体把握，特别是对“当x＜1时，f（x）=（6﹣a）x﹣4a＜0”的理解与应用，易错点在于忽略“f
（1）=（6﹣a）•1﹣4a≤0”中的等号，属于难题．
【考点】对数函数的单调性与特殊点；
函数单调性的性质．
新定义．
【分析】先求出f（
）的解析式以及
的解析式，利用函数的单调性、基本不等式判断f（
）和
的大小关系，再根据“严格下凸函数”的定义域，
得出结论．
A、对于函数y=f（x）=x，当x1≠x2时，有f（
）=
，
=
f（
，故不是严格下凸函数．
B、对于函数y=f（x）=|x|，当x1≠x2＞0时，f（
）=|
|=
C、对于函数y=f（x）=x2，当x1≠x2时，有f（
，显然满足f（
，故是严格下凸函数．
D、对于函数y=f（x）=log2x，f（
）＞
故选C．
【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，基本不等式的应用，“严格下凸函数”的定义，属于中档题．
的定义域{x|x≠±
2}．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】本题中的函数是一个分工型函数，故可令分母不为零，解出使分母有意义的自变量的取值范围，此范围即函数的定义域．
由题设，令x2﹣2≠0，解得x≠±
2
故函数的定义域为{x|x≠±
2}
故答案为：
{x|x≠±
【点评】本题的考点是函数的定义域及共求法，求函数的定义域即求使得函数的解析式有意义的自变量的取值集合，其方法一般是令分母不为0，偶次根式根号下非负，对数的真数大于0等．解题时要注意积累求定义域的规律．
，若f（x）=10，则x=3或﹣5．
【考点】分段函数的应用；
函数的值．
函数思想；
【分析】利用分段函数的解析式列出方程，求解即可．
，f（x）=10，
当x＞0时，x2+1=10，解得x=3，
当x≤0时，﹣2x=10，解得x=﹣5．
3或﹣5．
【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点的求法，考查计算能力．
13．A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|x＞a}，A⊆B，则a取值范围是（﹣∞，﹣2）．
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】借助于子集概念得到两集合端点值的关系，求解不等式得到m的范围．
因为A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|x＞a}，A⊆B，
所以a＜﹣2，
故答案为（﹣∞，﹣2）．
【点评】本题考查了集合的包含关系判断及应用，体现了数形结合思想．
14．若函数f（x）=（a﹣2）x2+（a﹣1）x+3是偶函数，则f（x）的增区间是（﹣∞，0]（也可以填（﹣∞，0））．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】由已知中函数f（x）=（a﹣2）x2+（a﹣1）x+3是偶函数，根据偶函数的性质，我们可以求出满足条件的a的值，进而求出函数的解析式，根据二次函数的性质，即可得到答案．
∵函数f（x）=（a﹣2）x2+（a﹣1）x+3是偶函数，
∴a﹣1=0
∴f（x）=﹣x2+3，其图象是开口方向朝下，以y轴为对称轴的抛物线
故f（x）的增区间（﹣∞，0]
（﹣∞，0]（也可以填（﹣∞，0））
【点评】本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合，其中根据已知条件结合偶函数的性质，得到a值，是解答本题的关键．
＞4﹣2x的x的取值集合是（﹣2，4）．
【考点】指、对数不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】先将指数不等式的底数化成相同，然后将底数跟1进行比较得到单调性，最后根据单调性建立关系式，解之即可求出所求．
∵
＞4﹣2x，
∴
＞
又∵
∴x2﹣8＜2x，解得﹣2＜x＜4，
∴满足
（﹣2，4）．
【点评】本题主要考查了指数不等式的解法，一般解指数不等式的基本步骤是将指数化成同底，然后将底数跟1进行比较得到单调性，最后根据单调性建立关系式，属于基础题．
②f
（1）=0，则不等式x•f（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】利用奇函数在对称区间上有相同的单调性，结合题意即可求得不等式x•f（x）＜0的解集．
∵f（x）在（0，+∞）内单调递增，且f
（1）=0，
∴当0＜x＜1时，f（x）＜0；
当x＞1时，f（x）＞0；
∴当x＞0时，x•f（x）＜0的解集为（0，1）；
①
∵f（x）为奇函数，
∴f（x）在对称区间上有相同的单调性，
∴f（x）在（﹣∞，0）内单调递增，且f（﹣1）=0，
∴当x＜0时，x•f（x）＜0的解集为（﹣1，0）；
②
综合①②知，不等式x•f（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）．
（﹣1，0）∪（0，1）．
【点评】本题考查奇函数的单调性与对称性，考查解不等式的能力，考查逻辑思维与运算能力，属于中档题．
【分析】
（1）根据条件求出a，b的值，然后求出集合A，B的元素，
（2）结合集合的基本运算即可得到结论．
（1）∵A∩B={2}．
∴2∈A，2∈B，
则4+2a+12=0，且4+6+2b=0，
解得a=﹣8，b=﹣5．
此时A={x|x2﹣8x+12=0}={2，6}，B={x|x2+3x﹣10=0}={2，﹣5}，
（2）U=A∪B={2，6，﹣5}，
则∁UA={﹣5}，∁UB={6}，（∁UA）∪（∁UB）={﹣5，6}．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据集合的交，补运算是解决本题的关键．
函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
（1）欲使f（x）有意义，须有
，解出即可；
（2）利用函数奇偶性的定义即可作出判断；
（1）依题意有
，解得﹣3＜x＜3，
所以函数f（x）的定义域是{x|﹣3＜x＜3}．
（2）由
（1）知f（x）定义域关于原点对称，
∵f（x）=lg（3+x）+lg（3﹣x）=lg（9﹣x2），
∴f（﹣x）=lg（9﹣（﹣x）2）=lg（9﹣x2）=f（x），
∴函数f（x）为偶函数．
【点评】本题考查函数定义域的求解及函数奇偶性的判断，属基础题，定义是解决函数奇偶性的基本方法．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【专题】综合题；
数形结合；
分类讨论；
数形结合法．
【分析】先求得函数f（x）=x2+（2﹣6a）x+3a2的对称轴，为x=3a﹣1，由于此问题是一个区间定轴动的问题，故分类讨论函数的最小值
该函数的对称轴是x=3a﹣1，
①当3a﹣1＜0，即
时，fmin（x）=f（0）=3a2；
②当3a﹣1＞1，即
时，fmin（x）=f
（1）=3a2﹣6a+3；
③当0≤3a﹣1≤1，即
时，fmin（x）=f（3a﹣1）=﹣6a2+6a﹣1．
综上所述，函数的最小值是：
当
时，fmin（x）=f（0）=3a2，当
【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，解题的关键是根据二次函数的性质对函数在区间的最值进行研究得出函数的最小值，二次函数在闭区间上的最值问题分为两类，一类是区间定轴动的问题，如本题，另一类是区间动轴定的问题，两类问题求共性都是要分类讨论求最值，此问题是高考解题的一个热点，很多求最值的问题最后都归结为二次函数的最值，对此类问题求最值的规律要认真总结，熟记于心．
抽象函数及其应用．
转化思想．
（1）令x=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）可构造一个关于f（0）的方程，解方程即可得到答案；
（2）令y=﹣x，f（x+y）=f（x）+f（y），可得到f（﹣x）与f（x）的关系，结合函数奇偶性的定义即可得到结论；
（3）由f
（1）=1，我们根据f（x+y）=f（x）+f（y），易得f
（2）=2，故可将f（2a）＞f（a﹣1）+2转化为一个关于a的二次不等式，解不等式即可得到a的取值范围．
（1）令y=x=0得
f（0）=2f（0）
∴f（0）=0
（2）令y=﹣x得f（0）=f（x）+f（﹣x）→f（﹣x）=﹣f（x）
又函数的定义域为R
∴f（x）为奇函数
（3）∵f（x+y）=f（x）+f（y）又f
（1）=1
∴2=f
（1）+f
（1）=f（1+1）=f
（2）
∴f（2a）＞f（a﹣1）+2即为f（2a）＞f（a﹣1）+f
（2）
又f（a﹣1）+f
（2）=f（a﹣1+2）=f（a+1）
∴f（2a）＞f（a+1）
又函数f（x）是R上的增函数
∴2a＞a+1得a＞1
∴a的取值范围是{a|a＞1}
【点评】本题考查的知识点是抽象函数函数值的求法，单调性的判断及单调性的应用，其中抽象函数“凑”的思想是解答的关键．
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